Hoy martes os dejo el problema de esta semana. Ahí va:
Determina todos los rectángulos
que pueden ser recubiertos por «garfios», formados por 6 cuadrados de lado 1, como el de la figura:
Que se os dé bien.
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Dado que puedo unir 2 garfios y formar un rectángulo de 3×4, también puedo formar 3×8, 3×12,… y series similares de 6×4, 6×8, …, 9x….
Luego son infinitos.
¿Hay mas que los indicados?
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Como dice Juanjo, agrupando dos garfios, podemos formar un rectángulo de 4*3. Entonces esta claro que si un lado es múltiplo de 4 y otro múltiplo de 3, se puede. Pero no solo.
Si uno de los lados es múltiplo de mcm(3, 4) = 12, y el otro es cualquier número distinto de 1, 2 y 5, tambien. No estoy seguro de si hay otras posibilidades.
Para entender claramente mi respuesta anterior, puede verse:
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Teorema_Frobenius.html
Creo que no puede haber más que los 3i x 4j … y los 4i x 3j, claro. Primero, veamos que toda pieza «garfio» debe acabar unida a otra pieza garfio, formando piezas básicas de 2 garfios. Cada pieza de 2 garfios tiene 12 unidades cuadradas de área. El garfio comienza en un «punto» (cuadradito unidad) que llamaré muñeca y acaba en otro que llamaré punta del pincho. Y los «puntos» giran alrededor de un «punto» interior. Si hay un primer garfio deberá haber otro garfio que contenga el «punto» interior. Y ese punto interior deberá ser o bien muñeca… Lee más »
Dos garfios se pueden unir de dos formas, formando un rectángulo de 3×4 o formando una figura en la que hay dos rectángulos de 3×2 unidos por el lado largo y con uno desplazado un recuadro.
Empleando esta segunda figura, además del rectángulo 3×4, he conseguido rectángulos de 14×24 y 16×15. Aunque ambos se pueden lograr solo con rectángulos 3×4, no puedo descartar que sea posible conseguir alguno que se descomponga en dichos rectángulos.
En la imagen se ve mejor.
Acido, no puedes descartar 36×17. Puedes formar 36×8 y 36×9, y unirlos.
Acido:
Yo lo que dije es que si uno de los lados es múltiplo de 12, y el otro es cualquier número distinto de 1, 2 y 5, se puede. Simplemente porque cualquiera de estos números se puede escribir como suma de múltiplos positivos (o nulos) de 3 y 4.
No descarto con este argumento que sea posible un rectángulo de 5*12, pero parece complicado.
Tienes razón, Mmonchi, no me había dado cuenta de eso. Y muy bueno el ejemplo que pones que incluye figuras de lo que yo llamé «interior=punta» y tú llamaste «dos 3×2 desplazados» Entonces, cualquiera de las dimensiones puede ser cualquier número excepto el 5 ¿no?. Y que el producto de ambas sea múltiplo de 12. Por ejemplo, 10. 10 = 2*3+4. Si la otra es múltiplo de 6 ya tenemos un múltiplo de 12 en el producto… 12 ó 12i seguro que es posible, falta por ver si también es posible con 6 ó con 18 o, en general, con… Lee más »
Cierto Ignacio, pero el caso j=5 parece fácil demostrar que no es posible. Estamos hablando de una anchura de 5 en el rectángulo. En esa anchura de 5 es claro que debe haber una de las dos piezas de 12 cuadros… y esas piezas tienen anchura 3 o bien 4 (ninguna de esas piezas de 12 tiene anchura 1, ni anchura 2, ni anchura 5… En caso de colocar una de anchura 3 queda una anchura de 2 (o dos de 1) que es imposible cubrir sin salirse del rectángulo. En caso de una anchura de 4 tampoco (queda una… Lee más »
Perdón, quise decir:
De los 3 casos de múltiplos de 12 tenemos asegurado el primero (3ix4j) y el segundo (12ixj) que sería posible siempre que j no sea 5 ni 2 ni 1 e imposible si es 1, 2 ó 5… falta el tercero (6ix2j) con i impar, del cual todavía no sabemos nada seguro (excepto que j no puede ser 1).
Acido,
Si j es par, los de 6i*2j son realmente 3i’*4j’, y ya sabemos que se puede. La duda esta en los de la forma 6i*2j, con i*j impar. Deben ser claramente i mayor que 1 y j mayor que 3.
No pueden formarse rectángulos de la forma 6i*2j, con i y j impares, a base de rectángulos de 3*4. La razón es sencilla. Llamemos V al número de rectángulos de 4*3, colocados verticalmente, y H al número de ellos de 3*4, colocados horizontalmente. Pintamos las filas completas del rectángulo grande alternativamente blanco y negro, en igual número pues hay 2j. Cada rectangulo vertical ocupa seis casillas de cada color. Pero cada rtectángulo horizontal ocupa 8 casillas de un color y 4 de otro. Como hay el mismo número de casillas de cada color, debe haber tantos rectángulos horizontales ocupando 4… Lee más »
De acuerdo en lo primero que dices: j impar, al igual que i, es decir, ambos impares. Pero la última parte en principio tengo dudas ¿j mayor que 3? j = 1 sería 2j=2 lo cual es imposible, j=2 sería 4 y no es difícil ver que tampoco vale. Pero, ¿seguro que no puede ser j igual a 3? Por ejemplo, 30×6 Bueno, una anchura de 6 obligaría a poner 2 bloques de 3×4… y dado que el otro número no es múltiplo de 4 parece claro que no… También me parece lógico descartar i=1, por la misma razón, obligaría… Lee más »
Ignacio,
Mmonchi puso 2 ejemplos de rectángulos recubiertos con garfios que tienen partes que no son 3×4… sino de la otra figura posible que demostré que era la única alternativa al 3×4.
Lo que quedaría por ver es si los de tipo 6i * 2j (i, j impares) no pueden tener ningún bloque del segundo tipo. Ya hemos visto que sólo con bloques 3×4 no es pueden formar esos rectángulos, pero con alguna figura del otro tipo mezclada con bloques 3×4 todavía no sabemos si es imposible.
Sigo encontrando «monstruos», pero los rectángulos son siempre de los tipos 3i x 4j o 12i x j:
Creo que debe existir alguna restricción a los del tipo 12i+6 x 6j+3, pero no la veo.
Bueno, sigo por aquí … Acido, a eso me refería. Es decir, queda por ver si cualquier rectángulo que se pueda recubrir con «garfios» apareados de cualquier forma, tambien se tiene que poder recubrir necesariamente con rectángulos 3*4, como los dos ejemplos que puso Mmonchi. Los garfios tienen que ir necesariamente apareados de una de dos formas, o un rectángulo 3*4 o en un octogono no convexo. Con las filas y columnas pintadas alternativamente de blanco y de negro, cada octógono ocupa 6 casillas blancas y 6 negras, por lo que el número de rectángulos verticales debe ser igual que… Lee más »
Las 2 soluciones de Mmonchi (muy ingeniosas, por cierto) se pueden generalizar pegando 4 «piezas blancas» como en el original para el caso 1 y 4 conjuntos de doble garfio para el segundo.
Aumentamos la longitud en 12 en ambos casos
Supóngase que el rectangulo 3*4 (base 3, altura 4) esbel menor rectángulo de menor area que puede ser cubierto por los garfios. Si ponemos uno seguido del otro, su altura es constante (4) y su base sera de la forma 3n donde n es el numero de rectangulos.
Análogo si su base es constante (3) y su altura es de 4n.
La última forma es que se agregue en ambos lados, dando 3n*4n.
Por lo tanto los rectángulos son
3n*4
3*4n
3n*4n
Es evidente que cualquier rectángulo de la forma 3n*4m se puede construir. Y como se permiten rotaciones, también todos los de la forma 4n*3m, así que a estos los llamaré simétricos. Por otra parte he encontrado rectángulos adicionales que no encajan en la forma anterior: con 3 rectángulos 3*4 construimos un 3*12. Bajo el lado largo de este colocamos 4 rectángulos 4*3, que dan uno mayor 4*12. El resultado de unir 3*12 y 4*12 es un 7*12 que no corresponde ni a los 4*3 ni a los simétricos. La generalización sería (4n+3m)*12p, ya que podemos replicar independientemente el rectángulo 3*12… Lee más »