Calcula el valor de A

Publicado por ^DiAmOnD^ | 16 septiembre, 2008 | Juegos | 10 |

Un problema sobre números naturales:

Sean $x, \; y$ números naturales, $x,y > 1$ , tales que $mcd(x,y)=1$ . Hallar justificadamente el valor de:
$A=\left ( \left \lfloor\cfrac{x}{y} \right \rfloor + \left \lfloor \cfrac{2x}{y} \right \rfloor + \ldots + \left \lfloor \cfrac{(y-1)x}{y} \right \rfloor \right ) - \left ( \left \lfloor \cfrac{y}{x} \right \rfloor + \left \lfloor \cfrac{2y}{x} \right \rfloor+ \ldots + \left \lfloor \cfrac{(x-1)y}{x} \right \rfloor \right )$

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Sobre el Autor

^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook. También tengo un blog dedicado a las "escape rooms", por si te apetece pasarte: XRooMers.

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Jechira

16/09/2008 13:37

No controlo el Latex pero usando la suma de la proresion aritmetica obtengo que A=(y-x)/2.

El primer termino es (x/y)*(y-1)*(y-1+1)/2= x*(y-1)/2
El segundo termino es (y/x)*(x-1)*(x-1+1)/2= y*(x-1)/2

Restandolos obtengo (y-x)/2

Responde

16/09/2008 15:08

Jechira, ese sería el resultado si obviamos las barras que denotan la parte entera de un número.

Responde

hernan

16/09/2008 22:23

me parece que tengo una mostración geométrica… a ver si lo emprolijo (y verifico)…

Lisbeth Gualpa

Reply to hernan

22/02/2018 23:25

El valor de la a es 2
Por sob no lo saben por si acaso ok… chaooo publiquen su respuesta……

Responde

hernan

16/09/2008 23:16

Sí, un par de ejemplos en excel, y el vago recuerdo de la demostración gráfica de la integración por partes definida (Rey Pastor!) me llevan a verlo así: Dibujar (en papel cuadriculado, claro está) un triángulo rectángulo con catetos de largo e . Contar los cuadraditos (o su area, como quieran) contenidos estrictamente dentro del triángulo (la condición de que los números sean coprimos elimina la pequeña complicación de que la hipotenusa pase justo por un punto de la grilla; todo cuadradito interno no toca pues la hipotenusa). Mostrar luego que ambos términos entre paréntesis equivalen a dos formas distintas… Lee más »

-3

16/09/2008 23:28

Fenomenal, hernan! Teorema de Pick al canto: https://gaussianos.com/el-teorema-de-pick/

El valor de las sumas entre paréntesis es $\cfrac{(x-1)(y-1)}{2}$ . Dichas sumas aparecen también cuando se demuestra la ley de reciprocidad cuadrática (la joya de la corona).

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Mariano

17/09/2008 03:59

Creo que la suma de cada paréntesis puede calcularse usando el teorema chino del resto: los restos de dividir $ix$ por $y$ , donde $i=1,\ldots, y-1$ , son todos diferentes, por lo tanto
$\displaystyle{y\, \sum_{i=1}^{y-1}\left\lfloor \frac{ix}{y}\right\rfloor +\sum_{i=1}^{y-1}i= \sum_{i=1}^{y-1}ix}$ , de donde se despeja el valor $\frac{(x-1)(y-1)}{2}$ .

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Sive

17/09/2008 05:52

La de Mariano es parecida a la mía. Yo lo que hago es tratar cada paréntesis como una sucesión aritmética normal, tal como hizo Jechira en el primer mensaje, y después calculo el error cometido y se lo resto a cada paréntesis.

El error es $1/y + 2/y + \ldots + (y-1)/y$ en el caso del primer paréntesis, y si se desarrolla y se resta al valor del paréntesis calculado por Jechira vuelve a salir $(x-1)(y-1)/2$ .

En el caso del segundo paréntesis, un razonamiento similar lleva al mismo resultado.

hernan

18/09/2008 02:35

Por si alguno no entendió la demostración gráfica, y por si le interesa, acá armé una imagen (no se puede embeber en el comentario, no?) http://hjg.com.ar/varios/floorpick.gif Corresponde al caso Lo primero es entender que, por ejemplo, la barra azul representa (obvio, por semejanza de triangulos), y, de la misma manera la verde es , etc… Y que tomar la parte entera corresponde a acortar el segmento al punto de la grilla. Entonces, tenemos que las barras verdes (una de las cuales se reduce a un punto) son los términos de la sumatoria del primer paréntesis. Y, simétricamente, las barras rojas… Lee más »

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