Calculando el producto de las longitudes

Os dejo el problema de la semana:

En un polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia de radio 1 se fija un vértice V_1 y se trazan los segmentos V_1V_2, V_1V_3, \ldots ,V_1V_n. Calcular el valor del producto de las longitudes de dichos segmentos.

A por él.

Author: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

6 Comments

  1. Vaya, vengoroso, no conocía que este ejercicio estuviera así etiquetado 🙂 Aunque este tipo de rankings son subjetivos, me gustaría que nos dijeras cuál es el primero.

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  2. Olá,

    É só para dizer que visito com alguma frequência este site e que gosto muito do vosso trabalho.

    Maria José, Prof. de Matemática (PORTUGAL)

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  3. Pues yo llegué a la solución calculando cada segmento calculando cada norma |V_1V_k|, y usando coordenadas polares llegué a
    |V_1V_k| = 2 \sin \left(\dfrac{\pi}{n}(k-1) \right)
    Y el producto final:
    \displaystyle P = 2^{n-1} \prod_{k=1}^{n-1} \sin \frac{\pi k}{n}
    Viendo el resultado de vengoroso me parece muy curiosa esta igualdad
    \displaystyle \prod_{k=1}^{n-1} \sin \frac{\pi k}{n} = \frac{n}{2^{n-1}}
    A ver si alguien logra demostrarla. Hasta luego

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  4. muy buena, dargor, esa es otra forma de demostrarlo. Aunque en esencia es la misma prueba que indica vengoroso. La igualdad que comentas ya la hemos visto en un post sobre el producto de senos https://gaussianos.com/producto-de-senos/

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  5. Pues utilizando el teorema del seno tambien se puede resolver muy fácil, fijándose para cada segmento en el triangulo isosceles con un vertice en el centro de la circunferencia que es el opuesto a dicho segmento y que tiene los lados iguales al radio(de longitud unidad). Partiendo el isósceles en dos triángulos rectángulos y aplicando el teorema del seno se puede obtener la longitud de cada segmento V1Vk. No pongo el desrrollo con formulas porke no se latex

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