Cuadrados mágicos

¿Qué es un cuadrado mágico?

Un cuadrado mágico se obtiene colocando una serie de números naturales en una matriz cuadrada de tal forma que todas las filas, todas las columnas y las diagonales sumen el mismo número: la constante mágica. Generalmente suelen colocarse los números entre 1 y n², siendo n el número de filas y columnas del cuadrado. A este número n se le denomina orden del cuadrado mágico.

Formando un cuadrado mágico de orden n de esta forma la suma de cada fila, cada columna y cada diagonal es:

Una pregunta bastante lógica en ese punto es: ¿cuántos cuadrados mágicos de cada orden se pueden formar? Muy sencillo: de orden 3 hay esencialmente sólo 1 cuadrado mágico (los demás que podríamos formar surgen de rotar o reflejar este), que es:

Para los de orden 4 Frenicle De Bessy estableció en 1693 que existen 880 cuadrados mágicos. Más adelante se ha demostrado que existen 275305224 cuadrados mágicos de orden 5. Para órdenes más grandes sólo se tienen estimaciones.

Para órdenes más pequeños es bastante sencillo: para orden uno sólo existe un cuadrado mágico: el formado únicamente por el número 1. Y para orden 2 no existe ningún cuadrado mágico (os dejo propuesta la demostración de este hecho; si a alguien no le sale que mire en el enlace de la Wikipedia al final del post).

Historia

Ya en la antigua China, sobre el tercer milenio a.C., se conocían los cuadrados mágicos. También los indios, los egipcios, los árabes y los griegos tuvieron constancia de su existencia. En todas estas civilizaciones generalmente se le atribuían a estos cuadrados propiedades místicas.

La entrada de estos objetos en Europa se sitúa sobre el siglo XIV. Sus curiosas e interesnates características atrajeron la atención de muchos matemáticos importantes como Fermat, Pascal, Leibnitz, Euler…

El cuadrado mágico de Durero está considerado como el primero de las artes europeas:

La constante mágica de este cuadrado es 34. Además sus cuatros esquinas suman 34, los cuatro número centrales suman 34, los cuatro números centrales de las filas superior e inferior suman 34 al igual que los cuatro números centrales de las columnas izquierda y derecha. Si dividimos el cuadrado en cuatro cuadrados tenemos que los números que integran cada uno de ellos suman 34. Los números 3, 8, 14, 15 (movimiento de caballo de ajedrez a partir del 3) suman 34 al igual que el 2, 5, 15, 12. Y si reemplazamos cada número por su cuadrado o por su cubo obtenemos otros dos cuadrados que aunque no son mágicos también tienen propiedades interesantes. Este cuadrado mágico aparece en la obra Melancolía de Durero que data de 1514, fecha también reflejada en el propio cuadrado en los dos números centrales de la fila inferior.

En la Fachada de la Pasión de la Sagrada Familia de Barcelona también aparece otro cuadrado mágico, aunque tiene un par de números modificados para que la constante mágica sea 33, la edad de Cristo en la Pasión.

Construcción de cuadrados mágicos

Para la construcción de cuadrados mágicos tenemos varios procedimientos cuyo uso depende del orden del cuadrado que queramos construir. Tenemos reglas para construir cuadrados de orden impar, cuadrados de orden 4k y cuadrados de orden 4k + 2. Es decir, podemos construir cuadrados de cualquier orden pero con procedimientos distintos según el mismo.

1.- Cuadrados mágicos de orden impar: Método de Loubere

El primer método para la construcción de cuadrados mágicos de orden impar se debe a Loubere. Veamos en qué consiste construyendo un cuadrado mágico de orden 5:

Colocamos el 1 en la posición central de la fila superior y vamos rellenando en diagonal, es decir, el 2 se coloca en la posición (5,4) (fila 5, columna 4), el 3 en la posición (4,5), el 4 en la (3,1), y así sucesivamente. Cuando al intentar colocar un número en la posición que debe ocupar nos la encontramos ya ocupada colocamos ese número justo debajo del último que hemos colocado y continuamos colocando en diagonal.

El cuadrado mágico de orden 5 obtenido con este procedimiento es el siguiente:

Este cuadrado mágico tiene al número 65 como constante mágica.

2.- Cuadrados mágicos de orden impar: Método de Bachet

Otro método para construir cuadrados mágicos de orden impar es el denominado método de Bachet. Veamos en qué consiste construyendo también un cuadrado mágico de orden 5:

Dibujamos en cuadrado de 5×5. A partir de ahí disponemos los números del 1 al 25 como muestra la siguiente figura:

Ahora, colocamos los números que han quedado fuera del cuadrado en las posiciones opuestas que quedaron libres. Queda el siguiente cuadrado:

3.- Cuadrados mágicos de orden 4k

Construímos un cuadrado con los números dispuestos de forma consecutiva. Una vez hecho esto conservamos la submatriz central de orden n/2 y las cuatro submatrices de las esquinas de orden n/4. Los números restantes se giran 180º respecto del centro del cuadrado, o si se prefiere se recolocan en orden decreciente.

Para k = 2 obtenemos el siguiente cuadrado mágico de orden 8:

Partiendo del cuadrado con los números dispuestos consecutivamente y eligiendo patrones simétricos distintos podemos obtener otros cuadrados mágicos. Por ejemplo:

4.- Cuadrados mágicos de orden 4k + 2

Este es el método más complicado de todos los que hemos comentado. Por ello simplemente voy a dar algunas pautas para usarlo. Para más información os recomiendo el enlace a la Wikipedia que hay al final.

El método se denomina LUX. Consiste en dividir el cuadrado en subcuadrados 2×2 y etiquetarlos según ciertas reglas con las letras L, U y X. Después se realiza algún intercambio entre cuadrados 2×2 y luego se colocan números siguiendo en procedimiento de Loubere comentado antes para etiquetar cada subcuadrado también con un número. Después se asocian los números que corresponden a cada subcuadrado y luego se colocan de una cierta forma según la letra que correspondía a cada uno.

Conclusiones

Como habéis podido ver el mundo de los cuadrados mágicos es muy interesante. Nos hemos dejado muchas cosas por comentar, como por ejemplo los cuadrados p-mágicos (cuadrados que siguen siendo mágicos si colocamos en cada casilla la potencia p de cada número), cuadrados mágicos esotéricos (que cumplen que entre los números que forman el cuadrado hay tantas cifras como casillas tiene el cuadrado), etc, pero creo que al menos habremos conseguimos que os pique un poco el gusanillo con este tema. Sólo una cosa más:

Utilizando el procedimiento de Loubere podemos obtener un cuadrado mágico de orden 3. Si queremos obtener un cuadrado mágico de orden 9 también podemos utilizar ese procedimiento con los número del 1 al 81, pero podemos actuar de otra forma: construir el de orden 3 del 1 al 9, el de orden 3 del 10 al 18, y así sucesivamente y luego colocarlos en un cuadrado 9×9 dividido en cuadrados 3×3 también mediante el procedimiento de Loubere. Podéis mirar el último enlace de la lista de abajo para más detalles.

Fuentes y enlaces interesantes:

• Cuadrado Mágico en la Wikipedia
• La web de Yakov Perelman
• Math Forum
• Grogono Magic Squares
• Math Fun Facts