El problema de esta semana es el siguiente:
Calcular razonadamente el valor de la siguiente suma:
Repito: razonadamente, con justificación rigurosa.
Suerte.
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Dejame ver..
Tenemos que calcular (obviando los grados porque no me salen en latex)
Tenemos una identidad trigonométrica que nos dice que
elevamos al cuadrado y queda
ordenamos un poco..
Cancelamos
Y ya no dependemos más de x 😛 Nos queda ahora una constante. Luego:
y hasta ahí llegué 😛
Uhmmm, oiga Marco, revise su álgebra.
Uh, si, la flashie de lo lindo! Saqué cualquiera de factor común! jajaja Mil disculpas, la manquié jodido 😛
¿Me borran el comentario? jaja
Pues yo he llegado a que es lo mismo que
pero no sé si eso sirve para algo
Sería calcular:
Y aplicando la idea de Marco, llego a calcular:
Aquí ya no sé seguir.
«He encontrado una demostración realmente admirable, pero este margen es demasiado pequeño para contenerla» xD
Saludos.
Fabián Pereyra, puedes comprobar que el valor de la suma es un número natural.
A ver, hay que leer el enunciado con más atención: se trata se sumar tangentes al CUADRADO de los valores IMPARES de grados desde 1 hasta 89.
D’oh. Se me olvidó poner el cuadrado. Pero el cálculo está bien luego queda:
.
que hay que calcular:
Y como dije antes, aplicando la idea de Marco, llego a calcular:
![displaystyle{sum_{x=1}^{45} tan^2(2x-1)} = displaystyle{sum_{x=1}^{45} frac{e^{2zi}+ e^{-2zi}-2}{-e^{2zi}-e^{-2zi}-2}},[0.25cm] mbox{donde} z=2x-1.](https://s0.wp.com/latex.php?latex=displaystyle%7Bsum_%7Bx%3D1%7D%5E%7B45%7D+%09tan%5E2%282x-1%29%7D+%3D+displaystyle%7Bsum_%7Bx%3D1%7D%5E%7B45%7D+frac%7Be%5E%7B2zi%7D%2B+e%5E%7B-2zi%7D-2%7D%7B-e%5E%7B2zi%7D-e%5E%7B-2zi%7D-2%7D%7D%2C%5B0.25cm%5D+mbox%7Bdonde%7D+z%3D2x-1.&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "displaystyle{sum_{x=1}^{45} tan^2(2x-1)} = displaystyle{sum_{x=1}^{45} frac{e^{2zi}+ e^{-2zi}-2}{-e^{2zi}-e^{-2zi}-2}},[0.25cm] mbox{donde} z=2x-1.")
P.D.: Si pueden borren mi post anterior, gracias.
Estoy empezando a cansarme del plugin de edición de comentarios. Es cierto que se carga todo el código
. En los próximos días a ver si busco alguna solución o alguna alternativa. Perdón por las molestias.
No habia leído bien el enunciado, ahora si 😉
Saludos.
Fabián , me gustaría preguntarte por lo de la x que tiene subíndice 45.
No es esa la notación que exactamente quería poner pero para no volverme loco con el
use esa nomenclatura. Es decir:
Saludos.
Me podrías dar el desarrollo de la demostración y como llega a la conclusión de esa igualdad. Saludos.
Muy buena, Fabián. ¿Te importaría desarrollar tu argumento?
El resultado de Fabian es correcto, se consigue por fuerza bruta en un sencillo programa en excel.
La demostracion matematica esta por verse.
Gracias
Que «casualidad», el 4005 es el 45 número hexagonal: H(45) = 4005.
Esa es la formula de Fabian pero aun no consigo ver como llego a esa Ya me estoy dando por vencido :'( 🙁
Hola! no se escribir en latex, espero se entienda la idea de fondo, lo dejare «abierto» para que alguien remate al arco y haga el gol… pero en esencia la idea es esta… Escribimos Tg^2( x) = sec^2(x) -1 , para todos los angulos citados en dicha suma…. Luego, obtenemos la suma de los inversos del coseno a cuadrado para los impares entre 1 y 89…. Ahora, notando que (*) sen(x) = cos (90-x) , (al menos para los angulos que estamos trabajando) Podemos agrupar Cos^-2(1) con Cos^-2(89 ), y repitiendo el proceso , juntar «el 3 con el 87»,… Lee más »
Por favor, borrad mis comentarios fallidos… incluso éste
En lugar de pulsar en «vista previa» pulso en «Publicar»…
claro, como está en negrita (tan atracitvo) se me va el ratón a ese botón.
Otra aproximación al problema es aplicar el método que ya ha aparecido en algunos comentarios en el blog:
de la suma del problema son las raíces del polinomio:
A partir de la fórmula para el coseno del ángulo múltiplo se obtiene que los términos
De donde la suma del problema es
.
Si en lugar de los cuadrados de las tangentes sumamos las cuartas potencias, la suma sería
, y si sumamos las sextas potencias obtendríamos 
.
Excelente, fede. Como bien indicas, esa idea se consideró también en el problema de las sumas cuadráticas trigonométricas (y en el producto de senos).
Muy bueno, fede. Con ese mismo método se puede calcular lo que yo en mi primer comentario.
Saludos.
HOla… me parece muy interesante este tema sobre SUMAS
y haciendo unos trabajos encontre con este problema…
quien me puede ayudar a encontrar la SUma para los primeros numeros a la quinta???
es como la de (la suma de i² = n(n+1)/2 )
pero yo quiero la de i la quinta potencia
haber si alguien me puede ayudar porfavor… se los voy a agradecer demasiado
OK …
Al final, ¿cuál es la demostración y la solución del problema de la suma de tangentes?
Tanausu
El truco para conseguir que te aclaren el tema es poner en duda cualquier paso, da igual cuál sea, tú haces como que lo entiendes y dices que es de otra manera. Si te equivocas en un signo se ponen incluso más contentos.
quien me puede ayudar a encontrar la SUma para los primeros numeros a la quinta???
Aquí tienes un enlace que he encontrado con el Google.
http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomios_de_Bernoulli
Hay una fórmula general para la suma de las distintas potencias de enteros sucesivos. Según la página quedaría así:
Llego hasta aquí 1/Cos^2(x)Cos^2(90-x) = 4/Sen^2(2x ) (usando formula de angulo doble), pero luego ya no sé seguir.
¿Lo podrías poner más claro?
Tanausú, con el permiso de fede, te detallo algo más de donde sale el polinomio de grado 45:
si
se tiene 
y 
. Por la fórmula de De Moivre, se tiene entonces que
Desarrollando la potencia y tomando la parte real, se obtiene
Si divides por
y haces el cambio de variable 
llegas a la ecuación polinómica de fede, 
, cuyas raíces serán 
. Finalmente la suma de estas raíces se obtiene de las relaciones de Cardano-Vieta. También de aquí puede obtenerse la suma de los cuadrados, cubos, … de las raíces, tal como ha indicado fede.
Respecto a la sumas de potencias consecutivas que pide Abraham, aparte de con los polinomios de Bernoulli, podemos calcular las sumas de modo inductivo sin más que conocer el desarrollo binomial. Ya que
Sumando todas estas identidades para
, llegamos a
donde
. Para 
sigue que 
, y luego podemos ir calculando las demás de modo inductivo.
Perdón por las molestias. ¿Qué significa Re?
Tanausú, Re(z) es la parte real del número complejo z.
En ese paso se trata de obtener la fórmula para el cos(n t) (fórmula 37 de este enlace)
También puedes demostrar esa fórmula 37 por inducción (sin usar números complejos) a partir de las fórmulas para seno y coseno de la suma de 2 ángulos.
En estas 2 pagínas estan las ecuaciones para obtener la fórmula que pedía..
de 2 formas diferentes..
espero que también sea de ayuda a alguién mas…
la fórmula (25) de este enlace
http://mathworld.wolfram.com/PowerSum.html
y en este enlace también…
http://www.mathpages.com/home/kmath644/kmath644.htm
yo nosé mucho de matematicas, pero cuando las estudie aprendi una manera sencilla de conseguir la formula de la suma de los primeros «n» numeros elevados a «m»
si no recuerdo mal era algo como:
sum(k=1,n) k^m= a + bn + cn^2 + … + w^m + z ^m+1
es decir, la solucion siempre es un polinomio de 1 grado mayor.
luego simplemente tienes que irle dando valores a n (justo n+1 valores) y obtendras un sistema con solucion unica para los coeficientes del polinomio.
repito que nosé mucho de matematicas xD
me parece intersante tu propuesta lo voy a probar… con varias haber si resulta gracias…
suerte
Hola a todos. ¿Alguien conoce la fórmula que relaciona el arco en una circunferencia con su cuerda?
Gracias
Voy a usar el método del niño Gauss:
89+3=92
87+5=92
85+7=92
……………..
45+47=92
Calculamos el número de términos n:
an=a1+(n-1)×d
89=3+(n-1)×2
89=3+2n-2
89=1+2n
(88/2)=n
n=44
S=92×44=4048
arctg × tg (4048)^2=arctg x
1638304=arctg x
x=90°
S = tg 90°=(4048)^2
S = tg 90°=163804
Calculamos el número de términos n:
an=a1+(n-1)×d
89=1+(n-1)×2
89=+2n-2
89=1+2n
(88/2)=n
n=44
Calculamos la suma de lo grados:
S=[(a1+an)/2]×n
S=[(89+1)/2]×44=1980
S=45×44=1980
tg^2(1980°)=tg^2(180°)=(-tg 0°)^2
x=(-0)^2=0
La suma de tg^2[(2n-1)°]=0°
No se puede hacer por sucesiones aritmética.
S=tg^2(2025°)
180° En un cuadrante negativo.
a1=1
an=89
n=45
d=2
S=tg^2 [(2n-1°)]
S=2025°=45
Calculamos el número de términos n:
an=a1+(n-1)×d
89=1+(n-1)×2
89=+2n-1
89=2n-1
(90/2)=n
n=45
Calculamos la suma de lo grados:
S=[(a1+an)/2]×n
S=[(89+1)/2]×45=2025
S=45×45=2025
tg^2(225°)=tg^2(45°)=1
1^x=1
La suma de tg^2[(2n-1)°]=1