Calculando la suma

Publicado por ^DiAmOnD^ | 10 agosto, 2010 | Juegos | 43 |

El problema de esta semana es el siguiente:

Calcular razonadamente el valor de la siguiente suma:

$\tan^2(1^{\circ})+\tan^2(3^{\circ})+\ldots+\tan^2(89^{\circ})$

Repito: razonadamente, con justificación rigurosa.

Suerte.

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Sobre el Autor

^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook. También tengo un blog dedicado a las "escape rooms", por si te apetece pasarte: XRooMers.

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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$ .

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

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Bitacoras.com

10/08/2010 08:48

Información Bitacoras.com…

Valora en Bitacoras.com: El problema de esta semana es el siguiente: Calcular razonadamente el valor de la siguiente suma: Repito: razonadamente, con justificación rigurosa. Suerte. Artículos relacionadosUsando la regla y el compás Caracterizando ……

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Marco!

10/08/2010 12:46

Dejame ver..

Tenemos que calcular (obviando los grados porque no me salen en latex) $\displaystyle \Sigma_{x = 1}^{89}{tan^{2}{x}}$
Tenemos una identidad trigonométrica que nos dice que $tan(x) = \frac{e^{ix} -\ e^{-ix}}{i ( e^{ix} +\ e^{-ix})}$

elevamos al cuadrado y queda

$\frac{e^{ix2} - 2.e^{ix}.e^{-ix} + e^{-ix2}}{-1.(e^{ix2} + 2.e^{ix}.e^{-ix} + e^{ix2})}$

ordenamos un poco..

$\frac{e^{x2} ( e^{i} - 2 + e^{-i})}{-e^{x2}(e^{i} + 2 + e^{-i})}$

Cancelamos

$\frac{ ( e^{i} - 2 + e^{-i})}{-(e^{i} + 2 + e^{-i})}$

Y ya no dependemos más de x 😛 Nos queda ahora una constante. Luego:

$\displaystyle \Sigma_{x = 1}^{89}{tan^{2}{x}} = \Sigma_{x = 1}^{89}\frac{ ( e^{i} - 2 + e^{-i})}{-(e^{i} + 2 + e^{-i})}$

y hasta ahí llegué 😛

Responde

10/08/2010 12:55

Uhmmm, oiga Marco, revise su álgebra.

Responde

Marco!

10/08/2010 13:17

Uh, si, la flashie de lo lindo! Saqué cualquiera de factor común! jajaja Mil disculpas, la manquié jodido 😛

¿Me borran el comentario? jaja

Responde

lucagali

10/08/2010 14:08

Pues yo he llegado a que es lo mismo que
$44 + 4(tan^2(4) + tan^2(8) + . . . +tan^2(84) +tan^2(88))$
pero no sé si eso sirve para algo

Responde

Bosco

10/08/2010 16:01

Sería calcular:
$\displaystyle\sum_{x=1}^{45} \tan(2x-1).$

Y aplicando la idea de Marco, llego a calcular:

$\displaystyle\sum_{x=1}^{45} \tan(2x-1) = \displaystyle\sum_{x=1}^{45} \frac{e^{2zi}+e^{-2zi}-2}{-e^{2zi}-e^{-2zi}-2},\\[0.25cm] \mbox{donde}\ z=2x-1.$

Aquí ya no sé seguir.

Responde

Fabián Pereyra

10/08/2010 16:12

«He encontrado una demostración realmente admirable, pero este margen es demasiado pequeño para contenerla» xD

$\displaystyle\sum_{x=1}^{89}\tan^2(x)=\frac{15931}{3}$

Saludos.

10/08/2010 16:25

Fabián Pereyra, puedes comprobar que el valor de la suma es un número natural.

Responde

jordix

10/08/2010 16:38

A ver, hay que leer el enunciado con más atención: se trata se sumar tangentes al CUADRADO de los valores IMPARES de grados desde 1 hasta 89.

Responde

Bosco

10/08/2010 17:21

D’oh. Se me olvidó poner el cuadrado. Pero el cálculo está bien luego queda:
que hay que calcular:
$displaystyle{sum_{x=1}^{45} tan^2(2x-1)}$ .

Y como dije antes, aplicando la idea de Marco, llego a calcular:
$displaystyle{sum_{x=1}^{45} tan^2(2x-1)} = displaystyle{sum_{x=1}^{45} frac{e^{2zi}+ e^{-2zi}-2}{-e^{2zi}-e^{-2zi}-2}},[0.25cm] mbox{donde} z=2x-1.$

P.D.: Si pueden borren mi post anterior, gracias.

Responde

gaussianos

10/08/2010 17:38

Estoy empezando a cansarme del plugin de edición de comentarios. Es cierto que se carga todo el código $\LaTeX$ . En los próximos días a ver si busco alguna solución o alguna alternativa. Perdón por las molestias.

Responde

Fabián Pereyra

10/08/2010 17:44

No habia leído bien el enunciado, ahora si 😉

$\displaystyle\sum_{x=1}^{45}\tan^2(2x-1) = x_{45}(2x_{45}-1) = 4005$

Saludos.

Responde

Tanausú

10/08/2010 19:53

Fabián , me gustaría preguntarte por lo de la x que tiene subíndice 45.

Responde

Fabián Pereyra

10/08/2010 20:06

No es esa la notación que exactamente quería poner pero para no volverme loco con el $\LaTeX$ use esa nomenclatura. Es decir:

$45(2*45-1)=2*45^2-45=4005$

Saludos.

Responde

Tanausú

10/08/2010 20:26

Me podrías dar el desarrollo de la demostración y como llega a la conclusión de esa igualdad. Saludos.

Responde

10/08/2010 20:49

Muy buena, Fabián. ¿Te importaría desarrollar tu argumento?

Responde

Jairo Gonzalez

11/08/2010 02:36

El resultado de Fabian es correcto, se consigue por fuerza bruta en un sencillo programa en excel.

La demostracion matematica esta por verse.

Gracias

Responde

Omar-P

11/08/2010 03:00

Que «casualidad», el 4005 es el 45 número hexagonal: H(45) = 4005.

Responde

KMPOS

11/08/2010 03:45

Esa es la formula de Fabian pero aun no consigo ver como llego a esa Ya me estoy dando por vencido :'( 🙁

Responde

Alvaro

11/08/2010 06:46

Hola! no se escribir en latex, espero se entienda la idea de fondo, lo dejare «abierto» para que alguien remate al arco y haga el gol… pero en esencia la idea es esta… Escribimos Tg^2( x) = sec^2(x) -1 , para todos los angulos citados en dicha suma…. Luego, obtenemos la suma de los inversos del coseno a cuadrado para los impares entre 1 y 89…. Ahora, notando que (*) sen(x) = cos (90-x) , (al menos para los angulos que estamos trabajando) Podemos agrupar Cos^-2(1) con Cos^-2(89 ), y repitiendo el proceso , juntar «el 3 con el 87»,… Lee más »

Responde

jones, francisco

11/08/2010 10:37

$S = \SUM_{k=0}$

Responde

jones, francisco

11/08/2010 11:17

$S = \sum tg \left ( phi \right )$

Responde

jones, francisco

11/08/2010 11:19

Por favor, borrad mis comentarios fallidos… incluso éste
En lugar de pulsar en «vista previa» pulso en «Publicar»…
claro, como está en negrita (tan atracitvo) se me va el ratón a ese botón.

Responde

fede

11/08/2010 11:32

Otra aproximación al problema es aplicar el método que ya ha aparecido en algunos comentarios en el blog:
A partir de la fórmula para el coseno del ángulo múltiplo se obtiene que los términos $tan^2( h)$ de la suma del problema son las raíces del polinomio:

$0 = 1 - \dbinom{90}{2} x + \dbinom{90}{4} x^2 - \cdots + \dbinom{90}{88} x^{44} - x^{45}$

De donde la suma del problema es $\dbinom{90}{88}=\dbinom{90}{2} = 4005$ .

Si en lugar de los cuadrados de las tangentes sumamos las cuartas potencias, la suma sería $\dbinom{90}{2}^2 - 2\dbinom{90}{4}$ , y si sumamos las sextas potencias obtendríamos $\dbinom{90}{2}^3 - 3\dbinom{90}{2}\dbinom{90}{4} + 3\dbinom{90}{6}$ .

Responde

11/08/2010 13:22

Excelente, fede. Como bien indicas, esa idea se consideró también en el problema de las sumas cuadráticas trigonométricas (y en el producto de senos).

Responde

Fabián Pereyra

11/08/2010 15:48

Muy bueno, fede. Con ese mismo método se puede calcular lo que yo en mi primer comentario.

Saludos.

Responde

Abraham

12/08/2010 05:45

HOla… me parece muy interesante este tema sobre SUMAS

y haciendo unos trabajos encontre con este problema…

quien me puede ayudar a encontrar la SUma para los primeros numeros a la quinta???

es como la de (la suma de i² = n(n+1)/2 )

pero yo quiero la de i la quinta potencia

haber si alguien me puede ayudar porfavor… se los voy a agradecer demasiado

OK …

Responde

Tanausu

12/08/2010 09:52

Al final, ¿cuál es la demostración y la solución del problema de la suma de tangentes?

Responde

Vayapordios

12/08/2010 18:22

Tanausu

El truco para conseguir que te aclaren el tema es poner en duda cualquier paso, da igual cuál sea, tú haces como que lo entiendes y dices que es de otra manera. Si te equivocas en un signo se ponen incluso más contentos.

Responde

Vayapordios

12/08/2010 18:55

quien me puede ayudar a encontrar la SUma para los primeros numeros a la quinta???

Aquí tienes un enlace que he encontrado con el Google.

http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomios_de_Bernoulli

Hay una fórmula general para la suma de las distintas potencias de enteros sucesivos. Según la página quedaría así:

$\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {{i^5}} = \frac{1}{6}{n^6} - \frac{1}{2}{n^5} + \frac{5}{{12}}{n^4} - \frac{1}{{12}}{n^2}$

Responde

Tanausú

12/08/2010 19:21

Llego hasta aquí 1/Cos^2(x)Cos^2(90-x) = 4/Sen^2(2x ) (usando formula de angulo doble), pero luego ya no sé seguir.

Responde

Tanausú

12/08/2010 20:17

¿Lo podrías poner más claro?

Responde

12/08/2010 20:31

Tanausú, con el permiso de fede, te detallo algo más de donde sale el polinomio de grado 45:

si $\theta=1^\circ,3^\circ,\ldots,89^\circ$ se tiene $cos \theta \neq 0$ y $cos(90 \theta)=0$ . Por la fórmula de De Moivre, se tiene entonces que

$0=Re(cos(90 \theta)+i sen(90 \theta))=Re((cos \theta + i sen \theta)^{90})$

Desarrollando la potencia y tomando la parte real, se obtiene $0=\sum_{k=0}^{45} (-1)^k{90\choose 2k}cos^{90-2k} \theta \cdot sen^{2k} \theta.$

Si divides por $cos^{90} \theta$ y haces el cambio de variable $x=tg^2 \theta$ llegas a la ecuación polinómica de fede, $\sum_{k=0}^{45} (-1)^k {90 \choose 2k} x^k=0$ , cuyas raíces serán $x=tg^2 1^\circ,tg^2 3^\circ,\ldots, tg^2 89^\circ$ . Finalmente la suma de estas raíces se obtiene de las relaciones de Cardano-Vieta. También de aquí puede obtenerse la suma de los cuadrados, cubos, … de las raíces, tal como ha indicado fede.

Responde

12/08/2010 20:34

Respecto a la sumas de potencias consecutivas que pide Abraham, aparte de con los polinomios de Bernoulli, podemos calcular las sumas de modo inductivo sin más que conocer el desarrollo binomial. Ya que

$(m+1)^{k+1}-m^{k+1}={k+1 \choose 1} m^k+{k+1 \choose 2}m^{k-1}+\ldots+{k+1 \choose k}m+{k+1 \choose k+1}, \forall m \geq 1.$

Sumando todas estas identidades para $m=n,n-1,\ldots,2,1$ , llegamos a

$(n+1)^{k+1}-(n+1)={k+1 \choose 1} \mathcal{S}_k(n)+{k+1 \choose 2} \mathcal{S}_{k-1}(n)+\ldots+{k+1 \choose k}\mathcal{S}_1(n)$ ,

donde $\mathcal{S}_j(n):=\sum_{i=1}^n i^j$ . Para $k=1$ sigue que $\mathcal{S}_1(n)=\frac{n(n+1)}{2}$ , y luego podemos ir calculando las demás de modo inductivo.

Responde

Tanausú

12/08/2010 21:35

Perdón por las molestias. ¿Qué significa Re?

Responde

fede

12/08/2010 22:35

Tanausú, Re(z) es la parte real del número complejo z.

En ese paso se trata de obtener la fórmula para el cos(n t) (fórmula 37 de este enlace)

También puedes demostrar esa fórmula 37 por inducción (sin usar números complejos) a partir de las fórmulas para seno y coseno de la suma de 2 ángulos.

Responde

Abraham

12/08/2010 22:55

En estas 2 pagínas estan las ecuaciones para obtener la fórmula que pedía..

de 2 formas diferentes..
espero que también sea de ayuda a alguién mas…

la fórmula (25) de este enlace

http://mathworld.wolfram.com/PowerSum.html

y en este enlace también…

http://www.mathpages.com/home/kmath644/kmath644.htm

Responde

tioalfredo

17/08/2010 01:26

yo nosé mucho de matematicas, pero cuando las estudie aprendi una manera sencilla de conseguir la formula de la suma de los primeros «n» numeros elevados a «m»
si no recuerdo mal era algo como:
sum(k=1,n) k^m= a + bn + cn^2 + … + w^m + z ^m+1
es decir, la solucion siempre es un polinomio de 1 grado mayor.
luego simplemente tienes que irle dando valores a n (justo n+1 valores) y obtendras un sistema con solucion unica para los coeficientes del polinomio.
repito que nosé mucho de matematicas xD

Responde

Abraham

17/08/2010 05:29

me parece intersante tu propuesta lo voy a probar… con varias haber si resulta gracias…

suerte

Responde

Jose Antonio

06/09/2010 22:01

Hola a todos. ¿Alguien conoce la fórmula que relaciona el arco en una circunferencia con su cuerda?
Gracias

Responde

Carlos Gaceo Santos

25/10/2020 10:34

Voy a usar el método del niño Gauss:
89+3=92
87+5=92
85+7=92
……………..
45+47=92
Calculamos el número de términos n:
an=a1+(n-1)×d
89=3+(n-1)×2
89=3+2n-2
89=1+2n
(88/2)=n
n=44
S=92×44=4048
arctg × tg (4048)^2=arctg x
1638304=arctg x
x=90°
S = tg 90°=(4048)^2
S = tg 90°=163804

Last edited 3 años hace by Carlos Gaceo Santos

Responde

Carlos Gaceo Santos

25/10/2020 12:13

Calculamos el número de términos n:
an=a1+(n-1)×d
89=1+(n-1)×2
89=+2n-2
89=1+2n
(88/2)=n
n=44
Calculamos la suma de lo grados:
S=[(a1+an)/2]×n
S=[(89+1)/2]×44=1980
S=45×44=1980
tg^2(1980°)=tg^2(180°)=(-tg 0°)^2
x=(-0)^2=0
La suma de tg^2[(2n-1)°]=0°
No se puede hacer por sucesiones aritmética.

Responde

Carlos Gaceo Santos

25/10/2020 12:51

S=tg^2(2025°)
180° En un cuadrante negativo.
a1=1
an=89
n=45
d=2
S=tg^2 [(2n-1°)]
S=2025°=45

Responde

Carlos Gaceo Santos

25/10/2020 12:52

Calculamos el número de términos n:
an=a1+(n-1)×d
89=1+(n-1)×2
89=+2n-1
89=2n-1
(90/2)=n
n=45
Calculamos la suma de lo grados:
S=[(a1+an)/2]×n
S=[(89+1)/2]×45=2025
S=45×45=2025
tg^2(225°)=tg^2(45°)=1
1^x=1
La suma de tg^2[(2n-1)°]=1

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