Desafíos GaussianosyGuijarro – Desafío nº8: «Las Macetas» – Solución y ganador

Pocos días después de terminar el plazo para el envío de respuestas os traigo la solución del Desafíos GaussianosyGuijarro – Desafío nº 8: Las macetas y, por tanto, del ganador de Las Matemáticas y la Física del Caos.

Se han recibido 41 respuestas, de las cuales 39 eran correctas. La participación tampoco ha aumentado respecto a desafíos anteriores, y espero que continúe así en los próximos. A continuación recordamos el enunciado del problema y dejamos la solución de Raúl Ibáñez, que fue quien nos lo propuso:

Una persona, que padecía un desorden obsesivo compulsivo, colocaba siempre las 12 macetas que tenía en su terraza con un cierto orden. Una tarde decidió colocar las macetas formando una estrella de seis puntas de tal forma que las macetas formaban seis filas con cuatro macetas cada una, como puede verse en la siguiente imagen:

Unos días más tarde, cansado ya de esa distribución, decidió modificarla de nuevo, pero manteniendo un orden claro y sin realizar muchos cambios. En concreto, se planteó mover solamente cuatro de las macetas para seguir teniendo una distribución en seis filas con cuatro macetas cada una. ¿Pudo hacerlo? Y en ese caso, ¿cómo lo consiguió?

La solución propuesta por Raúl es la siguiente:

Nos encontramos ante un desafío de los que a mí me gusta plantear, sencillos, con los que hay que jugar para obtener la solución o alguna de las soluciones (con unos más que con otros) y que incluso permite no sólo llegar a la solución sino ir un poquito más allá.

Para encontrar una solución al problema de las macetas primero hay que elegir qué cuatro macetas queremos retirar (¡ojo, que quizás no sirva quitar cuatro cualesquiera!). Después se trataría de trazar líneas de unión entre las macetas que quedan, con el objetivo de ver en qué intersecciones de estas líneas ponemos las macetas movidas para volver a obtener seis filas de cuatro macetas cada una.

Por ejemplo, si quitamos cuatro de las macetas que están colocadas de forma consecutiva en el hexágono interior de la estrella de seis puntas, como se muestra en la siguiente imagen,

entonces se trazan las líneas (que no sean las que ya teníamos) entre el resto de las macetas y nos surge la siguiente solución. Aunque si nos fijamos en ese mismo diagrama, existe muchas otras soluciones posibles para esa situación.

Si quitamos las macetas que están en una misma línea, por ejemplo las que están en el lado horizontal superior de la estrella de seis puntas, entonces realizando la misma operación de trazado de las líneas entre el resto de las macetas se obtiene la solución que se muestra en la siguiente imagen:

Para resolver el problema que se planteaba es suficiente con lo comentado, pero sigamos por un momento analizando un poquito más la situación. Al quitar cuatro macetas de la configuración de estrella de seis puntas podemos preguntarnos cuántas filas iniciales de la estrella de seis puntas se mantienen con las cuatro macetas. Resulta que se mantendrán 2 filas, 1 fila o ninguna fila, pero nunca más de 2 filas. Los ejemplos que hemos visto pertenecen al caso en el que se mantiene una única fila de las iniciales. En general, se podrían analizar las soluciones en cada uno de los casos… esencialmente tendríamos 5 soluciones para el caso de que se mantiene una de las filas iniciales, 7 soluciones para el caso de que se mantienen dos filas de las iniciales. A continuación, se muestran los 12 casos (si hacéis click en la imagen podréis verla un poco más grande):

(Nota: Por cierto quisiera expresar mi más sincero agradecimiento a mi ex-alumno y amigo Carlos Van Horenbeke, a quien debo los gráficos que se muestran en la solución y el análisis de las 12 soluciones interiores.)

Aunque hemos de tener en cuenta que en el análisis anterior estamos dejando fuera dos posibilidades importantes y que podría ser interesante y divertido analizar: que las macetas se coloquen en las líneas iniciales pero en otra posición (por ejemplo desplazándola a un lado o a otro) o que se coloquen fuera de la estrella de seis puntas.

Dos cuestiones para terminar. La primera es resaltar que hay una de las configuraciones que nos da 7 filas de cuatro macetas, como se muestra en la imagen:

Y la última es dejaros un par de cuestiones abiertas para vosotros: ¿existe alguna posible solución para el caso en que no queda ninguna fila de macetas de las iniciales? ¿existen soluciones en las que coloquemos algunas o todas las macetas fuera de la estrella?

Soluciones enviadas

Cada una de las personas que han participado en el desafío Gaussianos y Guijarro número 8 ha enviado su solución particular, salvo en un par de casos en los que nos han enviado más de una solución posible.

La solución más popular, y la única en la que se colocan todas las macetas en el interior de la estrella, ha sido la siguiente (que vemos según el esquema que nos ha enviado Natalia Lozano):

Esta misma respuesta la han enviado unas 20 personas, entre ellas Fernando Cardes, Gonzalo Orella, Carmen Muñoz, Paulo González, Joan T. Castillo, Javier Masip, Venus Méndez o “Cartesiano Caótico”.

Una variación de esta solución, pero con las macetas colocadas exteriormente, es la enviada por James Tesen Garay, Susana García y Francisco Pi:

Otra variación se la debemos a Mmonchi:

Luego tenemos la interesante solución de Gabriel Mateu que desplaza las macetas por las líneas existentes (luego no colocándolas ni en el exterior ni en el interior) y además, de esta forma, se dejan fijas cuatro de las líneas iniciales (aunque sea con las macetas colocadas en otro lugar), como se muestra en la imagen:

Una variación de la idea anterior, pero desplazando las macetas en las líneas existentes, pero hacia el exterior, es la que nos ofrece Rafael Ortega (de nuevo se mantienen cuatro de las líneas iniciales):

En las demás soluciones, algunas de las cuales comentaremos a continuación, se colocan macetas en el exterior de la extrella inicial. Miguel Ángel Fernández, Javier Monge y Maximiliano Díaz (a quien pertenece la siguiente imagen) nos ofrecen una bella solución que es de nuevo una estrella de seis puntas, pero inclinada:

Entre las soluciones con macetas externas, algunas son más simétricas, como esta de José Ángel Iranzo:

Mientras que otras son más irregulares, como las enviadas por Julián González:

Para finalizar, me gustaría destacar las soluciones móviles de Rogelio Tomás, que nos manda en formato gif para que disfrutemos de ellas:

El ganador de este desafío ha sido Joan Toni Castillo Grimalt, que pronto recibirá Las Matemáticas y la Física del Caos. Enhorabuena.

Muchas gracias a todos por participar.

En pocos días espero poder proponer el octavo noveno desafío. Estad atentos.