Gracias a Tito Eliatron por la información que me envió sobre este tema hace ya un tiempo.


Introducción

Recién terminada la Semana Santa planteo la siguiente pregunta: ¿sabéis qué criterio se sigue para asignar la fecha del Domingo de Resurrección cada año?

Yo me he hecho esa pregunta en más de una ocasión viendo que la variedad de fechas para ese día es relativamente grande. ¿Hay algún criterio para asignar fecha a ese día? En el caso de que lo haya (que por otra parte era lo más lógico), ¿en qué se basa ese criterio? ¿Su base es meramente religiosa o hay algo más?

Pues parece que hay algo más. Y, cómo no, lo que hay son matemáticas. Sí, matemáticas, aquí también están. Veámoslo.

Historia

A principios del siglo IV habían surgido varios grupos que calculaban a su manera la fecha del día de la Pascua de Resurrección. No había consenso, cada uno de ellos daba una fecha distinta, por lo que la confusión que rodeaba este asunto era grande. En el Concilio de Arlés (año 314) se obligó a todos los cristianos a celebrar la Pascua el mismo día (que sería fijado por el Papa), aunque no todos los grupos estuvieron de acuerdo en ello. Fue en el año 325, en el Concilio de Nicea, donde se alcanzó un principio de acuerdo.

Las normas que debía cumplir el día de Pascua de Resurrección eran las siguientes:

  • La Pascua debía celebrarse en domingo.
  • No podía coincidir con la Pascua judía (que conmemora la salida del pueblo judío de Egipto) para evitar confusiones entre ambas religiones.
  • Que los cristianos no celebrasen la Pascua dos veces el mismo año.

Pero con todo esto seguía habiendo diferencias entre la iglesia de Roma y la iglesia de Alejandría (principalmente relacionadas con el equinoccio de primavera y el cálculo de la edad de la Luna).

La solución final no llegó hasta el año 525, en el que Dionisio el Exiguo (cuyo nombre proviene de su pequeña estatura) sentó las bases del cálculo de la fecha de Pascua (que eran las del método alejandrino). Las premisas iniciales del método son las siguientes:

  • La Pascua ha de caer en domingo.
  • Este domingo ha de ser el siguiente a la primera luna llena de la primavera boreal (si esta fecha cayese en domingo, la Pascua se trasladará al domingo siguiente para evitar la coincidencia con la Pascua judía).
  • La luna pascual es aquella cuyo plenilunio tiene lugar en el equinoccio de primavera (vernal) del hemisferio norte (de otoño en el sur) o inmediatamente después.
  • Este equinoccio tiene lugar el 21 de marzo.
  • Llamamos epacta a la edad lunar. En concreto nos interesa para este cálculo la epacta del año, la diferencia en días que el año solar excede al año lunar. O, dicho más fácilmente, el día del ciclo lunar en que está la Luna el 1 de enero del año cuya Pascua estamos calculando. Este número (como es lógico) varía entre 0 y 29.

Con estas condiciones la Pascua quedaba encuadrada entre el 22 de marzo y el 25 de abril.

Durante el Renacimiento se construyeron tablas de cálculo para esta fecha, algunas de ellas relacionadas con el número aúreo. En la actualidad el método más sencillo para realizar este cálculo se debe a nuestro admirado Gauss.

Cálculo del Domingo de Resurrección

Como hemos dicho antes, el método más sencillo para el cálculo de esta fecha se lo debemos a quien da nombre a este blog, Carl Friedrich Gauss (como podéis consultar en el extra que encontraréis más adelante, éste no es el método oficial, pero siempre da el mismo resultado). La base del mismo es la aritmética modular. Vamos a explicar en qué consiste:

Definimos diez variables que denotamos así: a,b,c,k,p,q,M,N,d,e. Siendo A el año del que queremos calcular la fecha del Domingo de Resurrección, veamos cómo se define cada una de ellas:

  • a es el resto de la división de A entre 19, es decir, a \equiv A \pmod{19}.
  • b es el resto de dividir A entre 4, es decir, b \equiv A \pmod{4}.
  • c es el resto de la división de A entre 7, esto es, c \equiv A \pmod{7}.
  • k es el resultado de redondear por defecto el resultado de la división de A entre 100, es decir, k= \lfloor \textstyle{\frac{A}{100}} \rfloor.
  • p es el resultado de redondear por defecto el resultado de la división de 13+8k entre 25, esto es, p=\lfloor \textstyle{\frac{13+8k}{25}} \rfloor.
  • q es el resultado de redondear por defecto el resultado de la división de k entre 4, es decir, q=\lfloor \textstyle{\frac{k}{4}} \rfloor.
  • M es el resto de la división de 15-p+k-q entre 30, esto es, M \equiv 15-p+k-q \pmod{30}.
  • N es el resto de la división de 4+k-q entre 7, es decir, N \equiv 4+k-q \pmod{7}.
  • d es el resto de dividir 19a+M entre 30, o lo que es lo mismo, d \equiv 19a+M \pmod{30}.
  • e es el resto de la división de 2b+4c+6d+N entre 7, es decir, e \equiv 2b+4c+6d+N \pmod{7}.

Calculando el valor de cada una de las variables para el año en cuestión, la fecha del Domingo de Resurrección será la siguiente:

  • Si d+e < 10, la fecha de Pascua de Resurrección será el día d+e+22 de marzo.
  • Si d+e > 9, la fecha de Pascua de Resurrección será el día d+e-9 de abril.

Para esta regla existen dos excepciones:

  • Si obtenemos el 26 de abril (nos salimos del rango establecido), la Pascua será el 19 de abril.
  • Si obtenemos el 25 de abril con d=28, e=6, a > 10, entonces la Pascua será el 18 de abril.

Para ejemplificar el método vamos a calcular la fecha del Domingo de Resurrección de este año 2009 (que como sabemos es el día 12 de abril).

Para el año A=2009 los valores de las variables son los siguientes (como los cálculos son sencillísimos os dejo a vosotros la comprobación):

a=14,b=1,c=0,k=20,p=6,q=5,M=24,N=5,d=20,e=1

Como d+e =21 > 9, entonces la fecha es el d+e-9=21-9=12 de abril, como en realidad es.

Extra: Gracias a nuestro gran amigo fede (¡qué haría yo sin ti algunas veces!) os puedo ofrecer este formulario mediante el cual podréis calcular la fecha del Domingo de Resurrección que él mismo ha programado (utiliza javascript, por lo que si no lo tenéis activado igual no os funciona) a partir de la descripción del método que podéis ver en la fuente de la Wikipedia inglesa que aparece al final de este artículo (hay un par de retoques de diseño que son míos; se aceptan todo tipo de sugerencias y ayudas). Para utilizarlo simplemente tenéis que escribir las cuatro cifras del año del que queréis calcular la fecha del Domingo de Resurrección (siempre un año mayor que 1582) y automáticamente os aparecerá dicha fecha:

Cálculo de la fecha del Domingo de Resurrección Escribe el año del que quieres realizar el cálculo:
En el año introducido, el domingo de Resurrección es (según el algoritmo de Gauss) el día
(El algoritmo de Gauss no es el oficial, aunque da el mismo resultado.)

Las variables M y N

Si nos fijamos en la descripción del método vemos que las variables k,p y q sólo sirven para calcular M y N. Para evitarnos su cálculo os dejo una tabla con los valores de las mismas para ciertos intervalos de años:

Años M N
1583-1699 22 2
1700-1799 23 3
1800-1899 23 4
1900-2099 24 5
2100-2199 24 6
2200-2299 25 0

Fuentes:

Esta entrada estaba programada hace un tiempo, razón por la cual no había visto que Tito Eliatron había publicado el método descrito aquí hace unos días. Os dejo el enlace a ese post:

Aritmética modular y Semana Santa

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