Representar superficies en tres dimensiones

Publicado por ^DiAmOnD^ | 2 febrero, 2009 | Aprenda como, Cálculo | 19 |

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Representar superficies en tres dimensiones en Menéame

Introducción

En este artículo quiero presentaros las ecuaciones implícitas de las superficies en tres dimensiones más comunes. En cada una de ellas podréis ver la ecuación canónica (la más simple y la más habitual), daré pautas para representarlas en cualquier situación (desplazadas del origen o situadas en los distintos ejes) y os mostraré una representación gráfica junto con la orden que hay que escribir en el programa Mathematica para realizar dicha representación (en algunas de estas órdenes aparecen espacios; al escribirlas en Mathematica debéis quitarlos todos excepto los de los nombres de los ejes).

Superficies en $\mathbb{R}^3$

Para representar estas superficies en Mathematica hay que cargar la librería (sin los espacios que hay entre los símbolos < y antes de Graphics)

< < Graphics`ContourPlot3D`

Con ello activamos la opción ContourPlot3D. La sintaxis de la misma es la siguiente:

Si al igualar la ecuación implícita de nuestra superficie a cero nos queda algo como $f(x,y,z)=0$ , para representarla escribimos lo siguiente:

ContourPlot3D[f(x,y,z),{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},{z,zmin,zmax},MaxRecursion->2,Axes->True,AxesLabel->{«Eje X»,»Eje Y»,»Eje Z»}]

La opción MaxRecursion->2 sirve para que las superficies se nos muestren con alto grado de claridad, la opción Axes->True sirve para que se nos muestren los ejes tabulados y la opción AxesLabel->{_,_,_} nos sirve para ponerle nombre a los ejes. Además vamos a cambiar la posición de los ejes que muestra Mathematica por defecto. Mathematica muestra los ejes así:

Ejes mal colocados

Observamos que se han intercambiado los ejes $X,Y$ respecto de la forma en la que habitualmente se representan. Para hacer este cambio vamos al menú INPUT y seleccionamos la opción 3D ViewPoint Selector. Ahí giramos el cubo que aparece hasta que los ejes estén como queremos y nos fijamos en los tres valores que aparecen abajo a la derecha (seleccionando Cartesian si no lo está):

Colocación correcta de los ejes

Esos tres valores los meteremos en cada representación dentro de la opción ViewPoint->{_,_,_}.

Comencemos con la descripción y representación de estas superficies en $\mathbb{R}^3$ .
Esfera

Esfera

La ecuación implícita de la esfera centrada en $(0,0,0)$ y radio $r$ es:

$x^2+y^2+z^2=r^2$

La representación que vemos a la derecha corresponde a la esfera de centro $(0,0,0)$ y radio $1$ . En Mathematica ejecutamos la siguiente orden para que nos la represente:

ContourPlot3D[x^2+y^2+z^2-1,{x,-1,1},{y,-1,1}, {z,-1,1},Axes->True,MaxRecursion->2, AxesLabel->{«Eje X»,»Eje Y»,»Eje Z»},ViewPoint->{2.738,1.454,1.356}]

Para representar la esfera con centro $(x_0,y_0,z_0)$ restamos cada una de las coordenadas del centro a $x,y$ y $z$ respectivamente. La ecuación queda así:

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2$

Pregunta: ¿la ecuación $x^2+y^2+z^2-2x-2y=0$ determina una esfera? No lo parece…pero la respuesta es sí. Teniendo en cuenta que $x^2-2x=(x-1)^2-1$ y que para $y$ ocurre lo mismo la ecuación anterior queda así:

$(x-1)^2-1+(y-1)^2-1+z^2=0$

Pasando los dos $-1$ a la derecha obtenemos la ecuación de la esfera de centro $(1,1,0)$ y radio $\sqrt{2}$ :

$(x-1)^2+(y-1)^2+z^2=2$

Elipsoide

La ecuación implícita del elipsoide centrado en $(0,0,0)$ de semiejes $(a,b,c)$ es:

$\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}+\cfrac{z^2}{c^2}=1$

Sí, siempre un $1$ en la parte derecha.

La representación que vemos a la derecha corresponde al elipsoide de centro $(0,0,0)$ y semiejes $(2,1,3)$ . En Mathematica ejecutamos la siguiente orden para que nos la represente:

ContourPlot3D[x^2/4+y^2+z^2/9-1,{x,-2,2},{y,-1,1}, {z,-3,3},Axes->True,MaxRecursion->2, AxesLabel->{«Eje X»,»Eje Y»,»Eje Z»}]

Para representar el elipsoide con centro $(x_0,y_0,z_0)$ restamos cada una de las coordenadas del centro a $x,y$ y $z$ respectivamente. La ecuación queda así:

$\cfrac{(x-x_0)^2}{a^2}+\cfrac{(y-y_0)^2}{b^2}+\cfrac{(z-z_0)^2}{c^2}=1$

Pregunta: ¿la ecuación $2x^2+y^2+z^2-4z=0$ determina un elipsoide? Tampoco en este caso lo parece…pero la respuesta, al igual que en el caso de la esfera, vuelve a ser sí. Teniendo en cuenta lo mismo que vimos en la superficie anterior tenemos que $z^2-4z=(z-2)^2-4$ . La ecuación queda así:

$2x^2+y^2+(z-2)^2-4=0$

Pasamos el $4$ a la derecha y, para que nos quede un $1$ (que es lo que hemos dicho que debe quedar) dividimos entre $4$ la ecuación entera. Queda la ecuación de un elipsoide de centro $(0,0,2)$ y semiejes $(\sqrt{2},2,2)$ :

$\cfrac{x^2}{(\sqrt{2})^2}+\cfrac{y^2}{2^2}+\cfrac{(z-2)^2}{2^2}=1$

Cilindro elíptico

La ecuación implícita del cilindro de sección circular centrado en $(0,0,z)$ y de radio $r$ a lo largo del eje $z$ es:

$x^2+y^2=r^2$

Como podréis ver esa ecuación es la ecuación de la circunferencia de centro $(0,0)$ y radio $r$ en $\mathbb{R}^2$ . Colocando circunferencias con ese centro y ese radio a lo largo del eje $z$ construimos el cilindro de sección circular. Para construir un cilindro elíptico simplemente utilizamos la ecuación de una elipse:

$\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1$

La representación que vemos a la derecha corresponde al cilindro de sección circular de centro $(0,0,0)$ y radio $2$ a lo largo del eje $z$ (con $z$ entre $-3$ y $3$ ). En Mathematica ejecutamos la siguiente orden para que nos la represente:

ContourPlot3D[x^2+y^2-4,{x,-2,2},{y,-2,2}, {z,-3,3},Axes->True,MaxRecursion->2, AxesLabel->{«Eje X»,»Eje Y»,»Eje Z»},ViewPoint->{2.738,1.454,1.356}]

Para representar el cilindro elíptico con centro $(x_0,y_0,z)$ restamos cada una de las coordenadas del centro a $x$ y a $y$ respectivamente. La ecuación queda así:

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$

Si queremos representar el cilindro a lo largo de alguno de los otros dos ejes lo que hacemos es dejar libre la coordenada correspondiente a ese eje, es decir:

Cilindro de sección circular centrado en $(x,0,0)$ y de radio $r$ a lo largo del eje $X$ : $y^2+z^2=r^2$
Cilindro de sección circular centrado en $(0,y,0)$ y de radio $r$ a lo largo del eje $Y$ : $x^2+z^2=r^2$

Como ejemplo vemos la representación del cilindro elíptico centrado en $(x,-1,1)$ y de radio $2$ a lo largo del eje $X$ :

Cilindro elíptico 2

La ecuación de esta superficie, por todo lo comentado antes, lleva siempre dos variables al cuadrado con un signo más delante cada una de ellas y una variable libre (no aparece en la ecuación).
Cilindro hiperbólico

Cilindro hiperbólico

La ecuación implícita del cilindro hiperbólico centrado en $(0,0,z)$ y de radio $r$ a lo largo del eje $z$ es:

$x^2-y^2=r^2$

Como podréis ver esa ecuación es la ecuación de una hipérbola de centro $(0,0)$ y radio $r$ en $\mathbb{R}^2$ . Colocando hipérbolas con ese centro y ese radio a lo largo del eje $z$ construimos el cilindro hiperbólico.

La representación que vemos a la derecha corresponde al cilindro hiperbólico de centro $(0,0,z)$ y radio $3$ a lo largo del eje $z$ (con $z$ entre $-3$ y $3$ ). En Mathematica ejecutamos la siguiente orden para que nos la represente:

ContourPlot3D[x^2-y^2-9,{x,-6,6},{y,-6,6}, {z,-3,3},Axes->True,MaxRecursion->2, AxesLabel->{«Eje X»,»Eje Y»,»Eje Z»},ViewPoint->{2.738,1.454,1.356}]

Para representar el cilindro hiperbólico con centro $(x_0,y_0,z)$ restamos cada una de las coordenadas del centro a $x,y$ y $z$ respectivamente. La ecuación queda así:

$(x-x_0)^2-(y-y_0)^2=r^2$

Como que en el caso anterior, si queremos representar el cilindro hiperbólico a lo largo de otro eje simplemente dejamos libre la coordenada correspondiente a ese eje, esto es:

Cilindro hiperbólico centrado en $(x,0,0)$ y de radio $r$ a lo largo del eje $X$ : $y^2-z^2=r^2$
Cilindro hiperbólico centrado en $(0,y,0)$ y de radio $r$ a lo largo del eje $Y$ : $x^2-z^2=r^2$

Por ejemplo, este último cilindro tendría la siguiente representación:

Cilindro hiperbólico 2

Como veis, la ecuación de esta superficie lleva siempre una variable al cuadrado con un signo más delante, otra al cuadrado con un signo menos delante y otra variable libre (no aparece en la ecuación) junto a un número distinto de cero. Jugando con los signos y la variable libre obtenemos distintos cilindros hiperbólicos.
Cilindro parabólico

Cilindro parabólico

La ecuación implícita del cilindro parabólico de vértice $(0,0,z)$ a lo largo del eje $z$ es:

$y=x^2$

Como podréis ver esa ecuación es la ecuación de una parábola de vértice $(0,0)$ en $\mathbb{R}^2$ . Colocando parábolas con ese vértice a lo largo del eje $z$ construimos el cilindro parabólico.

La representación que vemos a la derecha corresponde al cilindro parabólico de vértice $(0,0,z)$ a lo largo del eje $z$ (con $z$ entre $-2$ y $2$ ). En Mathematica ejecutamos la siguiente orden para que nos la represente:

ContourPlot3D[y-x^2,{x,-2,2},{y,0,2}, {z,-2,2},Axes->True,MaxRecursion->2, AxesLabel->{«Eje X»,»Eje Y»,»Eje Z»},ViewPoint->{2.738,1.454,1.356}]

Para representar el cilindro parabólico con vértice $(x_0,y_0,z)$ restamos cada una de las coordenadas del centro a $x$ y a $y$ respectivamente. La ecuación queda así:

$y-y_0=(x-x_0)^2$

Como que en el caso anterior, si queremos representar el cilindro parabólico a lo largo de otro eje simplemente dejamos libre la coordenada correspondiente a ese eje. En este caso hay varias posibilidades que depende de la variable que lleve el cuadrado:

Cilindro parabólico centrado en $(x,0,0)$ y de radio $r$ a lo largo del eje $X$ : $y-z^2=0$ ó $z-y^2=0$
Cilindro hiperbólico centrado en $(0,y,0)$ y de radio $r$ a lo largo del eje $Y$ : $x-z^2=0$ ó $z-x^2=0$

Por ejemplo, este último cilindro tendría la siguiente representación:

Cilindro parabólico 2

Si en todas las ecuaciones anteriores ponemos un más en vez de un menos también obtenemos cilindros parabólicos ya que, como hemos dicho antes, un cilindro parabólico se forma colocando parábolas iguales unas encima de otras a lo largo del eje que queda libre. Por ejemplo, tomando la parábola $y=-x^2$ obtenemos también un cilindro parabólico.
Cono

Cono

La ecuación implícita del cono de vértice $(0,0,0)$ a lo largo del eje $z$ es:

$x^2+y^2-z^2=0$

La representación que vemos a la derecha corresponde a ese cono. En Mathematica ejecutamos la siguiente orden para que nos la represente:

ContourPlot3D[x^2+y^2-z^2,{x,-2,2},{y,-2,2}, {z,-2,2},Axes->True,MaxRecursion->2, AxesLabel->{«Eje X»,»Eje Y»,»Eje Z»},ViewPoint->{2.738,1.454,1.356}]

Para representar el cono con vértice $(x_0,y_0,z_0)$ restamos cada una de las coordenadas del centro a $x,y$ y $z$ respectivamente. La ecuación queda así:

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2-(z-z_0)^2=0$

Si queremos representar el cono a lo largo de otro eje simplemente jugamos con los signos. En la ecuación deben aparecer dos signos iguales y uno distinto y la ecuación debe estar igualada a cero. La variable que tenga el signo distinto es la que nos dice el eje del cono. Por ejemplo, esta es la representación del cono de ecuación $-(x-1)^2+y^2-(z+2)^2=0$ :

Cono 2

Paraboloide elíptico

La ecuación implícita del paraboloide de sección circular de vértice $(0,0,0)$ a lo largo del eje $z$ es:

$x^2+y^2-z=0$

La representación que vemos a la derecha corresponde a ese paraboloide. En Mathematica ejecutamos la siguiente orden para que nos la represente:

ContourPlot3D[x^2+y^2-z,{x,-2,2},{y,-2,2}, {z,0,2},Axes->True,MaxRecursion->2, AxesLabel->{«Eje X»,»Eje Y»,»Eje Z»},ViewPoint->{2.738,1.454,1.356}]

Como se deduce a partir de la ecuación para representar un paraboloide de sección circular a lo largo del eje $z$ tomamos la ecuación de un cilindro con radio variable igual a $\sqrt{z}$ (en vez de radio $r$ fijo). Para que el paraboloide tenga sección elíptica tomamos la ecuación de un cilindro elíptico, es decir:

$\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}-\cfrac{z}{c}=0$

En este caso, $a$ y $b$ son los semiejes de la sección elíptica del paraboloide y $c$ hace que el paraboloide sea más ancho o más estrecho.

Para representar el paraboloide elíptico con vértice $(x_0,y_0,z_0)$ restamos cada una de las coordenadas del centro a $x,y$ y $z$ respectivamente. La ecuación queda así:

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2-(z-z_0)=0$

Si queremos representar el paraboloide a lo largo de otro eje simplemente jugamos con los cuadrados. En la ecuación deben aparecer dos términos al cuadrado y uno elevado a uno y la ecuación debe estar igualada a cero. La variable que no está elevada al cuadrado es la que nos dice el eje del paraboloide. Además controlamos si el paraboloide aumenta de radio en el sentido positivo del eje o en el sentido negativo poniendo un más o un menos delante de la variable que no lleva el cuadrado. Por ejemplo, esta es la representación del paraboloide elíptico de ecuación $(y-1)^2+\textstyle{\frac{z^2}{3}}-(2-x)=0$ :

Paraboloide elíptico 2

Paraboloide hiperbólico

La ecuación implícita del paraboloide hiperbólico de vértice $(0,0,0)$ a lo largo del eje $z$ es:

$x^2-y^2-z=0$

La representación que vemos a la derecha corresponde a ese paraboloide (la famosa silla de montar). En Mathematica ejecutamos la siguiente orden para que nos la represente:

ContourPlot3D[x^2-y^2-z,{x,-2,2},{y,-2,2}, {z,-4,4},Axes->True,MaxRecursion->2, AxesLabel->{«Eje X»,»Eje Y»,»Eje Z»},ViewPoint->{2.738,1.454,1.356}]

Como se deduce a partir de la ecuación para representar un paraboloide hiperbólico tomamos la ecuación de un cilindro hiperbólico con radio variable igual a $\sqrt{z}$ (en vez de radio $r$ fijo). Si dividimos cada uno de los términos por un número tal que así:

$\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}-\cfrac{z}{c}=0$

el paraboloide hiperbólico será más ancho o más alargado en función del número entre el que dividamos.

Para representar el paraboloide hiperbólico con vértice $(x_0,y_0,z_0)$ a lo largo del eje $z$ restamos cada una de las coordenadas del centro a $x,y$ y $z$ respectivamente. La ecuación queda así:

$(x-x_0)^2-(y-y_0)^2-(z-z_0)=0$

Si queremos representar el paraboloide hiperbólico a lo largo de otro eje simplemente jugamos con los cuadrados. En la ecuación deben aparecer dos términos al cuadrado (uno de ellos con un más y el otro con un menos) y uno elevado a uno y la ecuación debe estar igualada a cero. La variable que no está elevada al cuadrado es la que nos dice el eje del paraboloide. Además controlamos la forma que tiene el paraboloide fijándonos en la variable que no tiene el cuadrado. Por ejemplo, esta es la representación del paraboloide hiperbólico de ecuación $y^2-\textstyle{\frac{z^2}{4}}-(1-x)=0$ :

Paraboloide hiperbólico 2

Hiperboloide de una hoja

La ecuación implícita del hiperboloide de una hoja de vértice $(0,0,0)$ y radio $r$ a lo largo del eje $z$ es:

$x^2+y^2-z^2=r^2$

La representación que vemos a la derecha corresponde a ese hiperboloide de una hoja. En Mathematica ejecutamos la siguiente orden para que nos la represente (he tomado $r=1$ ):

ContourPlot3D[x^2+y^2-z^2-1,{x,-3,3},{y,-3,3}, {z,-2,2},Axes->True,MaxRecursion->2, AxesLabel->{«Eje X»,»Eje Y»,»Eje Z»},ViewPoint->{2.738,1.454,1.356}]

Como se deduce a partir de la ecuación para representar un hiperboloide de una hoja tomamos la ecuación de un cono y la igualamos a $r^2$ , con $r \ne 0$ . ese $r$ controla la anchura del hiperboloide. Si dividimos cada uno de los términos por un número tal que así:

$\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}-\cfrac{z^2}{c^2}=1$

el hiperboloide de una hoja también cambiará su anchura (y altura) en función del número entre el que dividamos.

Para representar el hiperboloide de una hoja con vértice $(x_0,y_0,z_0)$ de radio $r$ a lo largo del eje $z$ restamos cada una de las coordenadas del centro a $x,y$ y $z$ respectivamente. La ecuación queda así:

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2-(z-z_0)^2=r^2$

Si queremos representar el hiperboloide de una hoja a lo largo de otro eje simplemente jugamos con los signos. En la ecuación deben aparecer los tres términos al cuadrado y, estando la ecuación igualada a $r^2$ , debemos tener dos términos con un más y un término con un menos. La variable que lleve el menos es la que nos dice el eje del hiperboloide. Por ejemplo, esta es la representación del hiperboloide de una hoja de ecuación $(x-2)^2-y^2+\textstyle{\frac{z^2}{2}}=1$ :

Hiperboloide de una hoja 2

Hiperboloide de dos hojas

La ecuación implícita del hiperboloide de dos hojas de vértice $(0,0,0)$ y radio $r$ a lo largo del eje $z$ es:

$-x^2-y^2+z^2=r^2$

La representación que vemos a la derecha corresponde a ese hiperboloide de dos hojas. En Mathematica ejecutamos la siguiente orden para que nos la represente (he tomado $r=1$ ):

ContourPlot3D[-x^2-y^2+z^2-1,{x,-3,3},{y,-3,3}, {z,-2,2},Axes->True,MaxRecursion->2, AxesLabel->{«Eje X»,»Eje Y»,»Eje Z»},ViewPoint->{2.738,1.454,1.356}]

Como se deduce a partir de la ecuación para representar un hiperboloide de dos hojas tomamos la ecuación de un cono cambiada de signo y la igualamos a $r^2$ , con $r \not 0$ . Ese $r$ controla la anchura del hiperboloide. Si dividimos cada uno de los términos por un número tal que así:

$-\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}+\cfrac{z^2}{c^2}=1$

el hiperboloide de dos hojas también cambiará su anchura (y altura) en función del número entre el que dividamos.

Para representar el hiperboloide de dos hojas con vértice $(x_0,y_0,z_0)$ de radio $r$ a lo largo del eje $z$ restamos cada una de las coordenadas del centro a $x,y$ y $z$ respectivamente. La ecuación queda así:

$-(x-x_0)^2-(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2$

Si queremos representar el hiperboloide de dos hojas a lo largo de otro eje simplemente jugamos con los signos. En la ecuación deben aparecer los tres términos al cuadrado y, estando la ecuación igualada a $r^2$ , debemos tener dos términos con un menos y un término con un más (al contrario que en el caso anterior). La variable que lleve el más es la que nos dice el eje del hiperboloide. Por ejemplo, esta es la representación del hiperboloide de dos hojas de ecuación $-(x+1)^2+y^2-\textstyle{\frac{z^2}{4}}=1$ :

Hiperboloide de dos hojas 2

Conclusión

Esta entrada, además de informativa, pretende servir de ayuda a (principalmente) los estudiantes de primeros cursos de universidad que se encuentran por primera vez estas superficies. Sé a ciencia cierta que en muchas ocasiones no se dan demasiados datos sobre las ecuaciones y representaciones de estas figuras y muchas veces uno no es capaz de identificar qué superficie tiene delante a partir de su ecuación. Con esta guía deseo que esas posibles dudas queden disipadas.

Esta entrada estará en constante actualización, ya sea para corregir errores, para añadir datos sobre las superficies comentadas o para añadir descripciones de superficies que no aparezcan todavía. Si estáis interesados en algún otro dato o en la descripción de alguna otra superficie dejad un comentario con vuestra petición.

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Sobre el Autor

^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook. También tengo un blog dedicado a las "escape rooms", por si te apetece pasarte: XRooMers.

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Bitacoras.com

02/02/2009 09:03

Información Bitacoras.com…

Si lo deseas, puedes hacer click para valorar este post en Bitacoras.com. Gracias….

Responde

Representar superficies en tres dimensiones

02/02/2009 09:25

[…] Representar superficies en tres dimensionesgaussianos.com/representar-superficies-en-tres-dimensiones/ por tollendo hace pocos segundos […]

Responde

Tito Eliatron

02/02/2009 10:53

Muy interesante esta entrada… de hecho, más de una imagen me la voy a pedir para mis clases este parcial.

Por cierto, la imagen de fondo que se ve en la entradilla de la web de la asignatura que imparto está hecha con Mathemática. Es una superficie curiosa. Creo que era $z={\rm sen}(xy)$ pero no estoy seguro del todo.

Responde

Omar-P

02/02/2009 13:04

¡Excelente post! Felicitaciones DiAmOnD.

Responde

maC

02/02/2009 13:57

Buen post! Les dejo el link a un graficador 3D online que esta bueno para salir de apuros.

http://www.math.uri.edu/~bkaskosz/flashmo/graph3d/

Responde

Omar-P

02/02/2009 14:11

¡Muy bueno el link maC!, gracias.

Responde

Tito Eliatron

02/02/2009 14:36

Por cierto, el paraboloide elíptico ese con el eje «cambiado»
$(y-1)^2+\textstyle{\frac{z^2}{3}}-(2-x)$

¿Soy yo que tengo una «Mente sucia» o su forma se asemeja a un pecho?

Responde

MaNu2

02/02/2009 16:16

vaya tela…este post me hubiera sido realmente muy pero que muy útil hará 1semana y media (tuve un parcial de hipercuádricas) 🙁 , bueno aún así me va a servir para ver qué queda al intersecar algunas de estas figuras con planos para Análisis Matemático2 (del que tengo un final en breve). Muchas gracias y muy útil 😉

Responde

demil133

02/02/2009 18:22

Mathematica VS Matlab.

por lo que vi hasta ahora por ahí es mas común utilizar Matlab. pero hay un grupo de «Conversos» que cuando prueban Mathematica no lo sueltan.
argumentos a favor y en contra de Matlab?

Responde

David

02/02/2009 22:14

Existe una aplicación bastante buena que permite dibujar superficies de una forma bastante fácil: se llama K3Dsurf. http://k3dsurf.sourceforge.net/

Responde

^DiAmOnD^

03/02/2009 03:38

Tito Eliatron sí, la gráfica a la que te refieres corresponde a $z=sen(xy)$ . Y sí, ese paraboloide elíptico tiene esa pinta. Quitando los dos primeros trackbacks habéis tardado 5 comentarios en decirlo. Demasiado creo yo jejeje.

Responde

Tito Eliatron

03/02/2009 11:54

^DiAmOnD^ si al final va a resultar que los Matemáticos tenemos la mente sucia…

Responde

Omar-P

03/02/2009 14:36

¡No Doctor! Lo que ocurre es que Usted es un esteta.

Responde

En perspectiva | Gaussianos

04/02/2009 14:49

[…] artículo sobre representación de superficies en 3D de hace un par de días es magnífico para aprender a ver la naturaleza como nos sugiere […]

Responde

Juanjo

07/02/2009 22:28

Para demil133: Yo uso Matlab y he probado Mathematica. Supongo que es cuestión de gustos, pero yo no dejo Matlab. De momento tengo suficiente y es un software lo bastante potente y flexible para poder realizar las cosas que quiero.

Claro está, que esto es desde el punto de vista de un Ingeniero, quizás para un Matemático sea mejor Mathematica. Es cuestión de la finalidad y el uso que le quieras dar.

¡Saludos!

Responde

Emmanuel

11/02/2009 22:15

y la ecuacion de la recta en el espacio :(?

Responde

Manuel Sánchez Carrilero

Reply to Emmanuel

25/01/2018 00:23

Simplemente vendrá dada por dos planos que se corten. Por tanto los planos no pueden ser paralelos, en cuyo caso se cortarían impropiamente en la recta del infinito, o tener todos sus puntos coincidentes, en cuyo caso se trataría de un único plano.

Otras formas de definir la recta: ecuación vectorial, ecuación paramétrica, etc., así como la dada en el párrafo anterior, vienen en el capítulo de Geometría Analítica de cualquier libro de Ampliación de Matemáticas, o en muchas direcciones de Internet, como por ejemplo:

https://aga.frba.utn.edu.ar/recta-en-r3/

OK. Saludos

Responde

MIguel

12/03/2015 19:04

Hala, en la definición de un cilindro hiperbólico centrado en el punto (xo, yo, z), la ecuación que aparece es la de una esfera. el cilindro h. esta dividido por los semiejes e igualado a 1.

Responde

MIguel

12/03/2015 21:16

Me equivoqué, esta bien.

Responde

David Silva

18/03/2017 19:13

Al graficar cualquiera de esas figuras, lo hace mas de una vez, la esfera salen casi 3 en la caja y solo se deberia ver una, que pasa?

Responde

Manuel Sánchez Carrilero

24/05/2017 14:00

Todo perfecto y muy bonito utilizando programas de pago como Mathematica o Matlab, o gratuitos como el ejemplo de K3Dsurf como bien dice el lector David en ¡Febrero de 2009! Pero amigos así todo sale resuelto y solamente es recoger el resultado y listo. Alguien ha pensado en escribir su propio código en un lenguaje asequible para representar la función z = f(x, y), con lo más elemental: trazado de la malla definitoria, con eliminación de líneas ocultas, etc. Ya el colmo de dichas sería que, por favor, si alguien lee esta opinión y sabe y quiere correr con la… Lee más »

Responde

Rafael

30/12/2018 07:44

Muy buena pagina. Me es siempre muy util. Aunque me gusta usar GEOGEBRA. Gracias.

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