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Representar superficies en tres dimensiones en Menéame

Introducción

En este artículo quiero presentaros las ecuaciones implícitas de las superficies en tres dimensiones más comunes. En cada una de ellas podréis ver la ecuación canónica (la más simple y la más habitual), daré pautas para representarlas en cualquier situación (desplazadas del origen o situadas en los distintos ejes) y os mostraré una representación gráfica junto con la orden que hay que escribir en el programa Mathematica para realizar dicha representación (en algunas de estas órdenes aparecen espacios; al escribirlas en Mathematica debéis quitarlos todos excepto los de los nombres de los ejes).

Superficies en \mathbb{R}^3


Para representar estas superficies en Mathematica hay que cargar la librería (sin los espacios que hay entre los símbolos < y antes de Graphics)

< < Graphics`ContourPlot3D`

Con ello activamos la opción ContourPlot3D. La sintaxis de la misma es la siguiente:

Si al igualar la ecuación implícita de nuestra superficie a cero nos queda algo como f(x,y,z)=0, para representarla escribimos lo siguiente:

ContourPlot3D[f(x,y,z),{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},{z,zmin,zmax},MaxRecursion->2,Axes->True,AxesLabel->{«Eje X»,»Eje Y»,»Eje Z»}]

La opción MaxRecursion->2 sirve para que las superficies se nos muestren con alto grado de claridad, la opción Axes->True sirve para que se nos muestren los ejes tabulados y la opción AxesLabel->{_,_,_} nos sirve para ponerle nombre a los ejes. Además vamos a cambiar la posición de los ejes que muestra Mathematica por defecto. Mathematica muestra los ejes así:

Ejes mal colocados

Observamos que se han intercambiado los ejes X,Y respecto de la forma en la que habitualmente se representan. Para hacer este cambio vamos al menú INPUT y seleccionamos la opción 3D ViewPoint Selector. Ahí giramos el cubo que aparece hasta que los ejes estén como queremos y nos fijamos en los tres valores que aparecen abajo a la derecha (seleccionando Cartesian si no lo está):

Colocación correcta de los ejes

Esos tres valores los meteremos en cada representación dentro de la opción ViewPoint->{_,_,_}.

Comencemos con la descripción y representación de estas superficies en \mathbb{R}^3.
Esfera

Esfera

La ecuación implícita de la esfera centrada en (0,0,0) y radio r es:

x^2+y^2+z^2=r^2

La representación que vemos a la derecha corresponde a la esfera de centro (0,0,0) y radio 1. En Mathematica ejecutamos la siguiente orden para que nos la represente:

ContourPlot3D[x^2+y^2+z^2-1,{x,-1,1},{y,-1,1}, {z,-1,1},Axes->True,MaxRecursion->2, AxesLabel->{«Eje X»,»Eje Y»,»Eje Z»},ViewPoint->{2.738,1.454,1.356}]

Para representar la esfera con centro (x_0,y_0,z_0) restamos cada una de las coordenadas del centro a x,y y z respectivamente. La ecuación queda así:

(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2

Pregunta: ¿la ecuación x^2+y^2+z^2-2x-2y=0 determina una esfera? No lo parece…pero la respuesta es . Teniendo en cuenta que x^2-2x=(x-1)^2-1 y que para y ocurre lo mismo la ecuación anterior queda así:

(x-1)^2-1+(y-1)^2-1+z^2=0

Pasando los dos -1 a la derecha obtenemos la ecuación de la esfera de centro (1,1,0) y radio \sqrt{2}:

(x-1)^2+(y-1)^2+z^2=2

Elipsoide

Elipsoide

La ecuación implícita del elipsoide centrado en (0,0,0) de semiejes (a,b,c) es:

\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}+\cfrac{z^2}{c^2}=1

Sí, siempre un 1 en la parte derecha.

La representación que vemos a la derecha corresponde al elipsoide de centro (0,0,0) y semiejes (2,1,3). En Mathematica ejecutamos la siguiente orden para que nos la represente:

ContourPlot3D[x^2/4+y^2+z^2/9-1,{x,-2,2},{y,-1,1}, {z,-3,3},Axes->True,MaxRecursion->2, AxesLabel->{«Eje X»,»Eje Y»,»Eje Z»}]

Para representar el elipsoide con centro (x_0,y_0,z_0) restamos cada una de las coordenadas del centro a x,y y z respectivamente. La ecuación queda así:

\cfrac{(x-x_0)^2}{a^2}+\cfrac{(y-y_0)^2}{b^2}+\cfrac{(z-z_0)^2}{c^2}=1

Pregunta: ¿la ecuación 2x^2+y^2+z^2-4z=0 determina un elipsoide? Tampoco en este caso lo parece…pero la respuesta, al igual que en el caso de la esfera, vuelve a ser . Teniendo en cuenta lo mismo que vimos en la superficie anterior tenemos que z^2-4z=(z-2)^2-4. La ecuación queda así:

2x^2+y^2+(z-2)^2-4=0

Pasamos el 4 a la derecha y, para que nos quede un 1 (que es lo que hemos dicho que debe quedar) dividimos entre 4 la ecuación entera. Queda la ecuación de un elipsoide de centro (0,0,2) y semiejes (\sqrt{2},2,2):

\cfrac{x^2}{(\sqrt{2})^2}+\cfrac{y^2}{2^2}+\cfrac{(z-2)^2}{2^2}=1

Cilindro elíptico

Cilindro elíptico

La ecuación implícita del cilindro de sección circular centrado en (0,0,z) y de radio r a lo largo del eje z es:

x^2+y^2=r^2

Como podréis ver esa ecuación es la ecuación de la circunferencia de centro (0,0) y radio r en \mathbb{R}^2. Colocando circunferencias con ese centro y ese radio a lo largo del eje z construimos el cilindro de sección circular. Para construir un cilindro elíptico simplemente utilizamos la ecuación de una elipse:

\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1

La representación que vemos a la derecha corresponde al cilindro de sección circular de centro (0,0,0) y radio 2 a lo largo del eje z (con z entre -3 y 3). En Mathematica ejecutamos la siguiente orden para que nos la represente:

ContourPlot3D[x^2+y^2-4,{x,-2,2},{y,-2,2}, {z,-3,3},Axes->True,MaxRecursion->2, AxesLabel->{«Eje X»,»Eje Y»,»Eje Z»},ViewPoint->{2.738,1.454,1.356}]

Para representar el cilindro elíptico con centro (x_0,y_0,z) restamos cada una de las coordenadas del centro a x y a y respectivamente. La ecuación queda así:

(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2

Si queremos representar el cilindro a lo largo de alguno de los otros dos ejes lo que hacemos es dejar libre la coordenada correspondiente a ese eje, es decir:

Cilindro de sección circular centrado en (x,0,0) y de radio r a lo largo del eje X: y^2+z^2=r^2
Cilindro de sección circular centrado en (0,y,0) y de radio r a lo largo del eje Y: x^2+z^2=r^2

Como ejemplo vemos la representación del cilindro elíptico centrado en (x,-1,1) y de radio 2 a lo largo del eje X:

Cilindro elíptico 2

La ecuación de esta superficie, por todo lo comentado antes, lleva siempre dos variables al cuadrado con un signo más delante cada una de ellas y una variable libre (no aparece en la ecuación).
Cilindro hiperbólico

Cilindro hiperbólico

La ecuación implícita del cilindro hiperbólico centrado en (0,0,z) y de radio r a lo largo del eje z es:

x^2-y^2=r^2

Como podréis ver esa ecuación es la ecuación de una hipérbola de centro (0,0) y radio r en \mathbb{R}^2. Colocando hipérbolas con ese centro y ese radio a lo largo del eje z construimos el cilindro hiperbólico.

La representación que vemos a la derecha corresponde al cilindro hiperbólico de centro (0,0,z) y radio 3 a lo largo del eje z (con z entre -3 y 3). En Mathematica ejecutamos la siguiente orden para que nos la represente:

ContourPlot3D[x^2-y^2-9,{x,-6,6},{y,-6,6}, {z,-3,3},Axes->True,MaxRecursion->2, AxesLabel->{«Eje X»,»Eje Y»,»Eje Z»},ViewPoint->{2.738,1.454,1.356}]

Para representar el cilindro hiperbólico con centro (x_0,y_0,z) restamos cada una de las coordenadas del centro a x,y y z respectivamente. La ecuación queda así:

(x-x_0)^2-(y-y_0)^2=r^2

Como que en el caso anterior, si queremos representar el cilindro hiperbólico a lo largo de otro eje simplemente dejamos libre la coordenada correspondiente a ese eje, esto es:

Cilindro hiperbólico centrado en (x,0,0) y de radio r a lo largo del eje X: y^2-z^2=r^2
Cilindro hiperbólico centrado en (0,y,0) y de radio r a lo largo del eje Y: x^2-z^2=r^2

Por ejemplo, este último cilindro tendría la siguiente representación:

Cilindro hiperbólico 2

Como veis, la ecuación de esta superficie lleva siempre una variable al cuadrado con un signo más delante, otra al cuadrado con un signo menos delante y otra variable libre (no aparece en la ecuación) junto a un número distinto de cero. Jugando con los signos y la variable libre obtenemos distintos cilindros hiperbólicos.
Cilindro parabólico

Cilindro parabólico

La ecuación implícita del cilindro parabólico de vértice (0,0,z) a lo largo del eje z es:

y=x^2

Como podréis ver esa ecuación es la ecuación de una parábola de vértice (0,0) en \mathbb{R}^2. Colocando parábolas con ese vértice a lo largo del eje z construimos el cilindro parabólico.

La representación que vemos a la derecha corresponde al cilindro parabólico de vértice (0,0,z) a lo largo del eje z (con z entre -2 y 2). En Mathematica ejecutamos la siguiente orden para que nos la represente:

ContourPlot3D[y-x^2,{x,-2,2},{y,0,2}, {z,-2,2},Axes->True,MaxRecursion->2, AxesLabel->{«Eje X»,»Eje Y»,»Eje Z»},ViewPoint->{2.738,1.454,1.356}]

Para representar el cilindro parabólico con vértice (x_0,y_0,z) restamos cada una de las coordenadas del centro a x y a y respectivamente. La ecuación queda así:

y-y_0=(x-x_0)^2

Como que en el caso anterior, si queremos representar el cilindro parabólico a lo largo de otro eje simplemente dejamos libre la coordenada correspondiente a ese eje. En este caso hay varias posibilidades que depende de la variable que lleve el cuadrado:

Cilindro parabólico centrado en (x,0,0) y de radio r a lo largo del eje X: y-z^2=0 ó z-y^2=0
Cilindro hiperbólico centrado en (0,y,0) y de radio r a lo largo del eje Y: x-z^2=0 ó z-x^2=0

Por ejemplo, este último cilindro tendría la siguiente representación:

Cilindro parabólico 2

Si en todas las ecuaciones anteriores ponemos un más en vez de un menos también obtenemos cilindros parabólicos ya que, como hemos dicho antes, un cilindro parabólico se forma colocando parábolas iguales unas encima de otras a lo largo del eje que queda libre. Por ejemplo, tomando la parábola y=-x^2 obtenemos también un cilindro parabólico.
Cono

Cono

La ecuación implícita del cono de vértice (0,0,0) a lo largo del eje z es:

x^2+y^2-z^2=0

La representación que vemos a la derecha corresponde a ese cono. En Mathematica ejecutamos la siguiente orden para que nos la represente:

ContourPlot3D[x^2+y^2-z^2,{x,-2,2},{y,-2,2}, {z,-2,2},Axes->True,MaxRecursion->2, AxesLabel->{«Eje X»,»Eje Y»,»Eje Z»},ViewPoint->{2.738,1.454,1.356}]

Para representar el cono con vértice (x_0,y_0,z_0) restamos cada una de las coordenadas del centro a x,y y z respectivamente. La ecuación queda así:

(x-x_0)^2+(y-y_0)^2-(z-z_0)^2=0

Si queremos representar el cono a lo largo de otro eje simplemente jugamos con los signos. En la ecuación deben aparecer dos signos iguales y uno distinto y la ecuación debe estar igualada a cero. La variable que tenga el signo distinto es la que nos dice el eje del cono. Por ejemplo, esta es la representación del cono de ecuación -(x-1)^2+y^2-(z+2)^2=0:

Cono 2

Paraboloide elíptico

Paraboloide elíptico

La ecuación implícita del paraboloide de sección circular de vértice (0,0,0) a lo largo del eje z es:

x^2+y^2-z=0

La representación que vemos a la derecha corresponde a ese paraboloide. En Mathematica ejecutamos la siguiente orden para que nos la represente:

ContourPlot3D[x^2+y^2-z,{x,-2,2},{y,-2,2}, {z,0,2},Axes->True,MaxRecursion->2, AxesLabel->{«Eje X»,»Eje Y»,»Eje Z»},ViewPoint->{2.738,1.454,1.356}]

Como se deduce a partir de la ecuación para representar un paraboloide de sección circular a lo largo del eje z tomamos la ecuación de un cilindro con radio variable igual a \sqrt{z} (en vez de radio r fijo). Para que el paraboloide tenga sección elíptica tomamos la ecuación de un cilindro elíptico, es decir:

\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}-\cfrac{z}{c}=0

En este caso, a y b son los semiejes de la sección elíptica del paraboloide y c hace que el paraboloide sea más ancho o más estrecho.

Para representar el paraboloide elíptico con vértice (x_0,y_0,z_0) restamos cada una de las coordenadas del centro a x,y y z respectivamente. La ecuación queda así:

(x-x_0)^2+(y-y_0)^2-(z-z_0)=0

Si queremos representar el paraboloide a lo largo de otro eje simplemente jugamos con los cuadrados. En la ecuación deben aparecer dos términos al cuadrado y uno elevado a uno y la ecuación debe estar igualada a cero. La variable que no está elevada al cuadrado es la que nos dice el eje del paraboloide. Además controlamos si el paraboloide aumenta de radio en el sentido positivo del eje o en el sentido negativo poniendo un más o un menos delante de la variable que no lleva el cuadrado. Por ejemplo, esta es la representación del paraboloide elíptico de ecuación (y-1)^2+\textstyle{\frac{z^2}{3}}-(2-x)=0:

Paraboloide elíptico 2

Paraboloide hiperbólico

Paraboloide hiperbólico

La ecuación implícita del paraboloide hiperbólico de vértice (0,0,0) a lo largo del eje z es:

x^2-y^2-z=0

La representación que vemos a la derecha corresponde a ese paraboloide (la famosa silla de montar). En Mathematica ejecutamos la siguiente orden para que nos la represente:

ContourPlot3D[x^2-y^2-z,{x,-2,2},{y,-2,2}, {z,-4,4},Axes->True,MaxRecursion->2, AxesLabel->{«Eje X»,»Eje Y»,»Eje Z»},ViewPoint->{2.738,1.454,1.356}]

Como se deduce a partir de la ecuación para representar un paraboloide hiperbólico tomamos la ecuación de un cilindro hiperbólico con radio variable igual a \sqrt{z} (en vez de radio r fijo). Si dividimos cada uno de los términos por un número tal que así:

\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}-\cfrac{z}{c}=0

el paraboloide hiperbólico será más ancho o más alargado en función del número entre el que dividamos.

Para representar el paraboloide hiperbólico con vértice (x_0,y_0,z_0) a lo largo del eje z restamos cada una de las coordenadas del centro a x,y y z respectivamente. La ecuación queda así:

(x-x_0)^2-(y-y_0)^2-(z-z_0)=0

Si queremos representar el paraboloide hiperbólico a lo largo de otro eje simplemente jugamos con los cuadrados. En la ecuación deben aparecer dos términos al cuadrado (uno de ellos con un más y el otro con un menos) y uno elevado a uno y la ecuación debe estar igualada a cero. La variable que no está elevada al cuadrado es la que nos dice el eje del paraboloide. Además controlamos la forma que tiene el paraboloide fijándonos en la variable que no tiene el cuadrado. Por ejemplo, esta es la representación del paraboloide hiperbólico de ecuación y^2-\textstyle{\frac{z^2}{4}}-(1-x)=0:

Paraboloide hiperbólico 2

Hiperboloide de una hoja

Hiperboloide de una hoja

La ecuación implícita del hiperboloide de una hoja de vértice (0,0,0) y radio r a lo largo del eje z es:

x^2+y^2-z^2=r^2

La representación que vemos a la derecha corresponde a ese hiperboloide de una hoja. En Mathematica ejecutamos la siguiente orden para que nos la represente (he tomado r=1):

ContourPlot3D[x^2+y^2-z^2-1,{x,-3,3},{y,-3,3}, {z,-2,2},Axes->True,MaxRecursion->2, AxesLabel->{«Eje X»,»Eje Y»,»Eje Z»},ViewPoint->{2.738,1.454,1.356}]

Como se deduce a partir de la ecuación para representar un hiperboloide de una hoja tomamos la ecuación de un cono y la igualamos a r^2, con r \ne 0. ese r controla la anchura del hiperboloide. Si dividimos cada uno de los términos por un número tal que así:

\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}-\cfrac{z^2}{c^2}=1

el hiperboloide de una hoja también cambiará su anchura (y altura) en función del número entre el que dividamos.

Para representar el hiperboloide de una hoja con vértice (x_0,y_0,z_0) de radio r a lo largo del eje z restamos cada una de las coordenadas del centro a x,y y z respectivamente. La ecuación queda así:

(x-x_0)^2+(y-y_0)^2-(z-z_0)^2=r^2

Si queremos representar el hiperboloide de una hoja a lo largo de otro eje simplemente jugamos con los signos. En la ecuación deben aparecer los tres términos al cuadrado y, estando la ecuación igualada a r^2, debemos tener dos términos con un más y un término con un menos. La variable que lleve el menos es la que nos dice el eje del hiperboloide. Por ejemplo, esta es la representación del hiperboloide de una hoja de ecuación (x-2)^2-y^2+\textstyle{\frac{z^2}{2}}=1:

Hiperboloide de una hoja 2

Hiperboloide de dos hojas

Hiperboloide de dos hojas

La ecuación implícita del hiperboloide de dos hojas de vértice (0,0,0) y radio r a lo largo del eje z es:

-x^2-y^2+z^2=r^2

La representación que vemos a la derecha corresponde a ese hiperboloide de dos hojas. En Mathematica ejecutamos la siguiente orden para que nos la represente (he tomado r=1):

ContourPlot3D[-x^2-y^2+z^2-1,{x,-3,3},{y,-3,3}, {z,-2,2},Axes->True,MaxRecursion->2, AxesLabel->{«Eje X»,»Eje Y»,»Eje Z»},ViewPoint->{2.738,1.454,1.356}]

Como se deduce a partir de la ecuación para representar un hiperboloide de dos hojas tomamos la ecuación de un cono cambiada de signo y la igualamos a r^2, con r \not 0. Ese r controla la anchura del hiperboloide. Si dividimos cada uno de los términos por un número tal que así:

-\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}+\cfrac{z^2}{c^2}=1

el hiperboloide de dos hojas también cambiará su anchura (y altura) en función del número entre el que dividamos.

Para representar el hiperboloide de dos hojas con vértice (x_0,y_0,z_0) de radio r a lo largo del eje z restamos cada una de las coordenadas del centro a x,y y z respectivamente. La ecuación queda así:

-(x-x_0)^2-(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2

Si queremos representar el hiperboloide de dos hojas a lo largo de otro eje simplemente jugamos con los signos. En la ecuación deben aparecer los tres términos al cuadrado y, estando la ecuación igualada a r^2, debemos tener dos términos con un menos y un término con un más (al contrario que en el caso anterior). La variable que lleve el más es la que nos dice el eje del hiperboloide. Por ejemplo, esta es la representación del hiperboloide de dos hojas de ecuación -(x+1)^2+y^2-\textstyle{\frac{z^2}{4}}=1:

Hiperboloide de dos hojas 2

Conclusión

Esta entrada, además de informativa, pretende servir de ayuda a (principalmente) los estudiantes de primeros cursos de universidad que se encuentran por primera vez estas superficies. Sé a ciencia cierta que en muchas ocasiones no se dan demasiados datos sobre las ecuaciones y representaciones de estas figuras y muchas veces uno no es capaz de identificar qué superficie tiene delante a partir de su ecuación. Con esta guía deseo que esas posibles dudas queden disipadas.


Esta entrada estará en constante actualización, ya sea para corregir errores, para añadir datos sobre las superficies comentadas o para añadir descripciones de superficies que no aparezcan todavía. Si estáis interesados en algún otro dato o en la descripción de alguna otra superficie dejad un comentario con vuestra petición.

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