Vamos con el post-respuesta a la encuesta que puse hace unos días.

Comencemos con los resultados, que en el momento en el que escribo, con 493 votos, son los siguientes:

Resultados encuesta

Y ahora os pongo la solución correcta:

Opción 1: La función de la primera gráfica es convexa y la de la segunda es cóncava

Y ahora vamos con la explicación:

Conjuntos convexos

Se dice que un subconjunto A del plano es convexo si para todo par de puntos a, b de A se tiene que el segmento que los une (que podemos definir como (1-t)a+tb, con t entre 0 y 1) está completamente contenido en A (Elyo ya habló de ella en este comentario). Por ejemplo, el siguiente conjunto es convexo:

Conjunto convexo

pero éste no lo es, ya que hay puntos para los cuales el segmento que los une se sale del propio conjunto:

Conjunto no convexo

Vamos ahora con el tema de las funciones.

Funciones cóncavas y convexas

1.- Se dice que una función de una variable f(x) es convexa en un intervalo si para todo par de puntos a, b de ese intervalo se tiene que (1-t)f(a)+tf(b) > f((1-t)a+tb), es decir, que el segmento que une dos puntos cualesquiera de la función en ese intervalo queda por encima de la función. O lo que es lo mismo: el conjunto que queda por encima de la misma es convexo según la definición anterior.

2.- Se dice que una función de una variable es cóncava en un intervalo si para todo par de puntos a, b de ese intervalo se tiene que (1-t)f(a)+tf(b) < f((1-t)a+tb), es decir, que el segmento que une dos puntos cualesquiera de la función en ese intervalo queda por debajo de la función. O lo que es lo mismo: el conjunto que queda por debajo de la misma es convexo según la definición anterior.

Otras definiciones que podemos encontrar equivalentes a éstas son:

1.- Una función es convexa en un intervalo si la tangente a la gráfica de la función en cada punto del intervalo queda por debajo de la propia función.

2.- Una función es cóncava en un intervalo si la tangente a la gráfica de la función en cada punto del intervalo queda por encima de la propia función.

Según tengo comprobado éstas son las definiciones más aceptadas en el mundo académico universitario. Por ejemplo, en Granada, donde yo estudié, se tomaban estas definiciones y en Ciudad Real, donde yo doy clase, también es así. En Bachillerato, hasta donde yo sé, hay más variedad. Yo he visto libros y profesores que toman las tres definiciones. Sería interesante que de una vez se utilizara el mismo criterio en todas las situaciones.

Un par de comentarios sobre cosas que se han dicho por aquí:

– El tema no depende de cómo se mire la función. Una función en un intervalo es cóncava o convexa (o las dos cosas si es una función lineal) y eso es independiente de cómo miremos la función. Si dependiera de cómo la miramos también podría depender el crecimiento o decrecimiento de la función ya que una función decreciente en un intervalo sería creciente si la miramos al revés. No es, bajo mi punto de vista, la forma correcta de afrontar el problema.

Víctor en este comentario da una posible solución que coincide con el método de cálculo mediante derivadas: curvatura positiva para las que tienen derivada segunda positiva y curvatura negativa para las que tienen derivada segunda negativa.

Espero que el tema haya quedado más claro ahora, aunque por desgracia seguirá siendo inevitable que a muchos de vosotros os lo enseñen de forma incorrecta. Para no equivocarse lo mejor es, como hemos dicho antes, el tema de las derivadas segundas. Y para terminar una regla mnemotécnica para que no se olvide:

– Segunda derivada positiva en un intervalo: Como es positivo tenemos una gran sonrisa. Por tanto dibujo como en la gráfica 1: CONVEXA.
– Segunda derivada negativa en un intervalo: Como es negativo estamos tristes. Por tanto dibujo como en la gráfica 2: CÓNCAVA.

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