Los lectores más antiguos de este blog seguro que saben de mi admiración por Pierre Fermat (escribí mucho sobre él hace unos años). Este matemático francés es muy conocido en el mundo de las matemáticas (y fuera de él) por el llamado último teorema de Fermat, pero Fermat nos dejó muchas más cosas. Una de ellas fue su afirmación sobre los números de Fermat que Leonarhd Euler se encargó de desmontar. A continuación te cuento de qué va la cosa y cómo Euler consiguió refutar la afirmación de Fermat.

Los números de Fermat, a los que denotaremos por F_n (con n un número natural), son los números de la forma:

F_n=2^{2^n}+1

La afirmación de Fermat sobre ellos fue la siguiente:

Todos los números de la forma 2^{2^n}+1 son primos.

Si hacemos los cálculos para los primeros valores de n, obtenemos los siguientes valores:

  • n=0 \longrightarrow F_0=2^{2^0}+1=3
  • n=1 \longrightarrow F_1=2^{2^1}+1=5
  • n=2 \longrightarrow F_2=2^{2^2}+1=17
  • n=3 \longrightarrow F_3=2^{2^3}+1=257
  • n=4 \longrightarrow F_4=2^{2^4}+1=65537

Vaya, todos ellos son primos. ¿Nos vale eso como demostración? No. ¿Dejó Fermat alguna demostración de este resultado? Por supuesto que no (parece mentira que no conozcáis a Fermat).

El siguiente número de Fermat, el que corresponde a n=5, es_

F_5=2^{2^5}+1=2^{32}+1=4294967297

¿Es primo? ¿No es primo? Ahora igual tenemos herramientas para determinarlo en un tiempo prudencial, pero a ver quién era el guapo que lo intentaba factorizar a mediados del siglo XVII sin «morir» en el intento…

Bueno, igual no era para tanto, pero el trabajo no era muy apetecible. Y no debió serlo para mucha gente, ya que pasaro unos 100 años hasta que 1732 Euler mostraba que F_5 era compuesto. Más concretamente, Euler nos daba la siguiente factorización de F_5:

F_5=4294967297=641 \cdot 6700417

¿Cómo llegó Euler a dicha factorización? ¿Dividió F_5 entre todos los primos desde 2 en adelante hasta que apareció el 641? ¿O consideró la raíz cuadrada de F_5, que es aproximadamente 65536, y dividió entre todos los números primos menores que ella? ¿Acaso Euler tenía algún método infalible para determinar si cierto número es o no es primo?

Pues no, no y seguro que no. Ninguna de las tres opciones (y mucho menos la última). Euler utilizó un trabajo suyo sobre el pequeño teorema de Fermat para, a partir de él, llegar al ansiado factor de F_5.

Hemos dicho que Euler dio una factorización de F_5 en 1732, pero lo que no dio en ese momento fue una explicación de cómo llegó a ella. Dicha explicación aparece unos años después, en 1750, en su trabajo Theoremata circa divisors numerorum («Teoremas sobre divisores de números»). El motivo principal de este trabajo era dar su primera demostración sobre el pequeño teorema de Fermat, pero en él había más información.

Tras esa demostración, Euler demuestra el siguiente resultado, más general:

Teorema: Si ninguno de los números a y b son divisible por un primo p, entonces todo número de la forma a^{p-1}-b^{p-1} será divisible por p.

Y, después, usa este resultado para probar el siguiente teorema sobre divisores de números que son suma de dos cuadrados:

Teorema: La suma de dos cuadrados a^2+b^2 nunca será divisible por un primo de la forma 4n-1 a menos que tanto a como b sean divisibles por 4n-1.

En realidad a Euler le interesaba el contrarrecíproco de este teorema:

Si a y b no tienen un factor primo común de la forma 4n-1, entonces todos los factores primos impares de a^2+b^2 deben ser de la forma 4n+1.

Después, Euler da un par de teoremas más extendiendo el anterior a sumas de dos potencias cuartas (divisibles sólo por primos impares de la forma 8n+1) y dos potencias octavas (con divisores primos de la forma 16n+1). Para finalizar, da un teorema general:

Teorema (general): La suma de dos potencias de la forma a^{2^m}+b^{2^m} sólo puede admitir divisores de la forma 2^{m+1} \cdot n+1.

Euler no lo especifica, pero se entiende que se refiere al caso en el que a y b son primos relativos (aunque este resultado es cierto si a y b no tienen factores comunes de la forma 2^{m+1} \cdot n+1).

Ya tenemos forma interesante de intentar fatorizar nuestro F_5=2^{2^5}+1=4294967297. Como tanto 4294967296 como 1 son potencias de exponente 32 (y como 2 y 1 son primos relativos), se tiene que cualquier posible divisor de 4294967297 debe ser de la forma 64n+1. Tomemos los posibles valores de n (hasta, como mucho, la raíz cuadrada de F_5) y veamos qué ocurre:

  • n=1 \longrightarrow 64 \cdot 1 +1=65, que no es primo (múltiplo de 5).
  • n=2 \longrightarrow 64 \cdot 2 +1=129, que no es primo (múltiplo de 3).
  • n=3 \longrightarrow 64 \cdot 3 +1=193, primo, pero no divide a 4294967296.
  • n=4 \longrightarrow 64 \cdot 4 +1=257, primo, pero no divide a 4294967296.
  • n=5 \longrightarrow 64 \cdot 5 +1=321, que no es primo (múltiplo de 3).
  • n=6 \longrightarrow 64 \cdot 6 +1=385, que no es primo (múltiplo de 5).
  • n=7 \longrightarrow 64 \cdot 7 +1=449, primo, pero no divide a 4294967296.
  • n=8 \longrightarrow 64 \cdot 8 +1=513, que no es primo (múltiplo de 3).
  • n=9 \longrightarrow 64 \cdot 9 +1=577, primo, pero no divide a 4294967296.
  • n=10 \longrightarrow 64 \cdot 10 +1=641, primo, y divisor de 4294967296.

Por tanto, para encontrar el factor 641 sólo hemos tenido que hacer cinco divisiones. Teniendo en cuenta que hay más de 6500 números primos menores que la raíz cuadrada de F_5, y que habría que probar con todos ellos, hemos conseguido factorizarlo con un esfuerzo mínimo (aunque, eso sí, con muchas matemáticas previas).

¿Y qué ocurre con el otro factor que nos queda al dividir, con 6700417? Pues que también es primo, aunque parece que Euler no se preocupó por ello (al menos no dejó constancia de que lo hiciera). Y es una pena, ya que en una lista de números primos grandes que el propio Euler confeccionó en 1762, el mayor era 2232037, bastante más pequeño que nuestro 6700417. ¿Le habría sido muy costoso comprobarlo? Veámoslo:

La raíz cuadrada de 6700417 es algo mayor que 2588, y por la teoría vista anteriormente todo posible factor debe ser de la forma 64n+1. Hay 40 enteros de esa forma menores que 2588, y ya hemos comprobado unos cuantos. De los que quedan, solamente 769, 1153, 1217, 1409, 1601 y 2113 son primos, y ninguno de ellos divide a 6700417.

Por tanto, Euler podría haber comprobado la primalidad de este número, y por tanto tener en sus manos el mayor número primo conocido en su época, con sólo unos minutos de lápiz y papel.

Por cierto, supongo que más de uno se estará preguntando por lo que se sabe de los números de Fermat posteriores a F_5, ¿verdad? Bien, pues parece ser que a día de hoy se sabe que, hasta F_{11}, todos los números de Fermat son compuestos, de hecho se tiene la factorización completa de todos ellos (información tomada de la Wikipedia en inglés). ¿Qué ocurre con los siguientes? Pues ahora mismo no se tiene nada seguro, pero la verdad es que se piensa que todos son compuestos. Vamos, que Fermat se equivocó profundamente con su afirmación…

…pero es, hasta ahora, solamente una creencia (apoyada en datos, pero creencia al fin y al cabo). Sólo el tiempo (y las matemáticas) se encargará de dar o quitar razones.

Fuente: How Euler Did It: Factoring F5, de Ed Sandifer.

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