Hoy os traigo un problema que me he encontrado por casualidad mientras buscaba otra cosa y que me ha parecido interesante. La cosa va de cambios de denominadores en fracciones. Ahí va:
Si sumamos las fracciones
y
obtenemos:
Si intercambiamos sus denominadores y sumamos las fracciones resultantes nos queda:
Es decir, obtenemos como resultado el doble del resultado de la suma anterior.
El problema que se plantea consiste en encontrar dos fracciones (ambas positivas) que cumplan que al intercambiar sus denominadores y sumar las nuevas fracciones obtengamos como resultado 100 veces la suma de las fracciones iniciales.
Se entiende que la idea es que, además de dar alguna solución, comentéis cómo la habéis obtenido (si es que hay soluciones).
Que se os dé bien.
Este problema participa en la Edición X.3 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión capitanea nuestro amigo Pedro.
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Una solución:
1/2+101/20198=5100/10099
1/20198+101/2= 510000/10099
“Se entiende que la idea es que, además de dar alguna solución, comentéis cómo la habéis obtenido (si es que hay soluciones).”
Fracciones iniciales: a/b+c/d
c/b+a/d=100(a/b+c/d)
cd+ab=100(ad+bc)
Dividiendo por ab, y llamando m=c/a n=d/b
mn+1=100(m+n)
m=(100n-1)/(n-100)
A partir de la expresión anterior podemos deshacer los cambios, y una vez ordenados y parametrizados, obtener las soluciones, para cualquier valor entero de x,y,z:
a=x(100-y)
b=z
c=x(100y-1)
d=yz
Es decir:
(x/(y-100))/z+(x(100y-1))/(yz)
Hay un error de transcripción en el coeficiente a. La solución correcta debe ser:
a=x(y-100)
b=z
c=x(100y-1)
d=yz
Con tu permiso, aprovecho tu razonamiento hasta m=(100n-1)/(n-100). Sustituyendo m por c/a obtenemos n=(100c-a)/(c-100a), necesitando que c>100a. Haciendo b=c-100a y d= 100c-a, tenemos que las fracciones son de la forma: a/(c-100a) y c/(100c-a) con c>100a.
Parece que las expresiones que das ofrecen soluciones. Las mías también. La cuestión es si ofrecen o no TODAS las soluciones posibles. Ahí no lo tengo tan claro. En tu expresión hay dependencia de 2 parámetros y en la mía de 3. He probado a obtener una solución con mis parámetros y al intentar obtener dicha solución a partir de los tuyos, no se logra. Y lo mismo a la inversa. Eso me hace pensar que quizá haya una solución más general.
Pongo un ejemplo. La solución 3/2+10299/206 no se obtiene con la expresión que has utilizado.
Te agradezco tus comentarios, los utilicé para la resolución. El problema pedía dos fracciones positivas y para obtener dos basta con un a y un c siendo c>100a, pero si las queremos encontrar todas, debemos obtener la fracción irreducible de n, a la que llamaremos p/q y tomaremos b=k*q y d=k*p, siendo k cualquier natural. En tu caso: a=3, c=10299, calculamos n=(100c-a)/(c-100a)=1029897/9999=103/1, donde p=103 y q=1. Tomando k=2, b=2*1=2 y d=2*103=206. Así obtenemos tus fracciones: a/b=3/2, y c/d=10299/206. Con 1/3+101/30297 pasa lo mismo, a=1, c=101>100a, calculamos n=(100c-a)/(c-100a)=10099/1. Tomando p=10099, q=1 y k =3 tenemos: a/b=1/(k*q)=1/3 y c/d=101/(k*p)=101/30297. En efecto, a… Lee más »
Supuse que no sería tan complicado generalizarlo a k veces en lugar de únicamente 100 veces. Y no es tan sencillo. El problema consistiría en encontrar a,b,c,d enteros positivos tales que a/d+b/c=k*(a/c+b/c) con k también entero positivo. Haciendo cuentas: d=((k*b-a)/(b-k*a))*c Denominemos {D} a esta expresión. Puesto que c y d son enteros positivos, el cociente que multiplica a c en {D} debe ser positivo. Un somero análisis del mismo nos conduce a que b debe estar en el abierto (0,a/k) o bien ser estrictamente mayor que k*a. A efectos prácticos no vanos a elegir, aunque podríamos, un numerador a tan… Lee más »
Una errata:
Donde dice «donde es es» debe decir «donde r es».
Otra errata. En el primer párrafo dice «=k*(a/c+b/c)» y evidentemente debe decir «=k*(a/c+b/d)»
A continuación lo que he visto al analizar el caso en que b<a/k. En este caso tanto el numerador como el denominador de la fracción que multiplica a c en la fórmula {D} de mi anterior post son negativos. Podemos escribirla de esta otra manera para que sean positivos: (a-k*b)/(k*a-b) Puesto que ahora b menor que a/k, tenemos a mayor que kb y es fácil ver que el denominador es mayor que el numerador, con lo que la fracción es menor que 1, y la única posibilidad de hacer d entero positivo (fórmula {D}) es que el denominador k*a-b sea… Lee más »
Una versión más sencilla, si queremos generalizar el problema para un «k» cualquiera, podría ser esta:
Para los parámetros, x,y,z>0 siendo y>k las soluciones vienen dadas por
a=x(y-k)
b=z
c=x(ky-1)
d=yz
Podemos comprobar:
a/b+c/d=x(y^2-1)/yz
a/d+b/a=kx(y^2-1/yz
Es cierto, pero yo creo que no todas las posibles soluciones pueden generarse por esa parametrización. Por ejemplo la solución, con tu notación, a=1, b=3, c=101, d=30297, k=100, no me sale de esas expresiones.
Otra solución: 2/3 + 201/60294. Lo que he hecho es fijar la primera fracción (por ejemplo 2/3) y llamar x/y a la segunda. Aplicando las condiciones del problema llegamos a una relación entre x e y, En este caso: y = (300x – 6)/(x – 200). Ahora lo que hacemos es buscar una x que haga que la y sea entera y mayor que 0, lo más fácil es hacer x = 201 para que abajo salga 1. Así llegamos a la solución.