Un problema sobre polinomios con coeficientes enteros

Publicado por ^DiAmOnD^ | 20 diciembre, 2011 | Juegos | 9 |

Os dejo hoy el problema de la semana, que en esta ocasión es uno que me envió nuestro lector Andreu hace ya bastante tiempo. Ahí va:

Caracterizar los polinomios $f$ con coeficientes enteros y los números enteros $x$ tales que $f(x)=2$ , sabiendo que $f(0)=f(2)=1$ .

Que se os dé bien.

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Sobre el Autor

^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook. También tengo un blog dedicado a las "escape rooms", por si te apetece pasarte: XRooMers.

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Rubén

20/12/2011 11:48

¿ $f(x)=2$ ? El polinomio es constante pero ¿ $f(0)=1$ y $f(2)=1$ ?

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Bitacoras.com

20/12/2011 13:30

Información Bitacoras.com…

Valora en Bitacoras.com: Os dejo hoy el problema de la semana, que en esta ocasión es uno que me envió nuestro lector Andreu hace ya bastante tiempo. Ahí va: Caracterizar los polinomios con coeficientes enteros y los números enteros tales que , s……

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leocaracola

20/12/2011 14:12

@Rubén: La pregunta (interpreto) es:
Tienes un polinomio (genérico, f(x)) que cumple que en x=0 y x=2 vale 1
f(0)=f(2)=1

Ahora, la pregunta es: ¿Para qué valores de x, el polinomio vale 2?

En todo esto, x es un número entero.

Y ahora consideraciones propias: Supongo que será más fácil salirse de los Enteros y tratar el polinomio en los Reales, sabemos que hay, al menos, un extremo local entre el 0 y el 2… pero por ahora no he llegado a más… tiempo!

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aguilui

20/12/2011 14:37

f(x) = z + ax + bx^2 + … + jx^n. f(0) = 1 implica z=1 f(x) = 1 + ax + bx^2 + … + jx^n f(2) = 1 implica 2a + 4b+ … + j2^n = 0, o sea, a = -2(b + 2c + … + j2^n-1) (para después) si f(x) = 2, con x entero, entonces ax + bx^2 + … + jx^n = 1 lo cual sólo es posible con coeficientes enteros para x = 1 o x = -1, pues el término izquierdo es suma de múltiplos de x (todos los coeficientes son enteros),… Lee más »

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vengoroso

20/12/2011 14:52

Por las condiciones sobre $f$ tenemos $f(x) = 1 + x(x-2)g(x)$ , para que se de $f(x) = 2$ debe ser $x(x-2)g(x) = 1$ , y como los tres terminos $x, x-2$ y $g(x)$ deben ser enteros, esto fuerza a que todos sean $\pm 1$ , por lo que debe ser $x=1$ , $x-2 = -1$ , $g(1) = -1$ , por lo que $g(x) = -1 + (x-1)h(x)$ , resultando
$f(x) = 1 - x(x-2) + x(x-1)(x-2)h(x)$
donde $h(x)$ es un polinomio con coeficientes enteros arbitrario.

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Josep blasco

Reply to vengoroso

13/09/2018 20:35

Havia pensat exactament el mateix que «vengoroso». No torno a escriure el raonament

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Ignacio Larrosa Cañestro

20/12/2011 15:15

Si f(x) = a_n*x^n + … + a_1*x + a_0, de f(0) = 1 tenemos que a_0 = 1. Si f(2) = 1, f(x) = (x – 2)g(x) + 1 siendo g(x) un polinomio también de coeficientes enteros. ¿Para que valores c, es f(c) = 2? f(c) = (c – 2)g(c) + 1 = 2 ===> (c – 2)g(c) = 1 ==> c – 2 = g(c) = +/- 1 Entonces, c = 1 ó 3 (ya se que la RAE suprimió el acento de esta o, pero yo prefiero ponerlo …) Podemos añadir que g(1) = -1 y g(3)… Lee más »

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Marco

24/12/2011 02:34

Me parece que se refiere a que de $f \big (C_n\big ) =2$ , siendo $C_n$ cualquier coeficiente del polinomio. Igual no tengo idea de la respuesta .yaomin

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Diego Roque

27/12/2011 23:01

Supongamos que tenemos un polinomio $f$ en los enteros, tal que existe un valor $x$ que da $f(x)=2$ . Entonces tenemos que
$x-0|f(x)-f(0)=2-1=1$
$x-2|f(x)-f(2)=2-1=1$
Entonces la unica solución seria $x=1$ . Por lo tanto tenemos $f(0)=1,f(1)=2,f(2)=1$ .

Consideremos el polinomio $g(x)=f(x)-(2-(x-1)^2)$ . Notemos que los coeficientes de $g$ son enteros. Tenemos que $g(0)=1-(2-(0-1)^2)=0$ , $g(1)=2-(2-(1-1)^2)=0$ y $g(2)=1-(2-(2-1)^2)=0$ . Entonces $g(0)=g(1)=g(2)=0$ .

Por lo tanto tenemos que $g(x)=x(x-1)(x-2)h(x)$ , para cierto $h(x)$ en los enteros. Por lo tanto, si tenemos un polinomio que cumpla las hipotesis y $f(x)=2$ , entonces $f(x)=g(x)+(2-(x-1)^2)=x(x-1)(x-2)h(x)+1 + 2 x - x^2$ y $x=1$ .