Os dejo hoy el problema de la semana, que en esta ocasión es uno que me envió nuestro lector Andreu hace ya bastante tiempo. Ahí va:
Caracterizar los polinomios
con coeficientes enteros y los números enteros
tales que
, sabiendo que
.
Que se os dé bien.
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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
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$latex código-latex-que-quieras-insertar$.
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Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
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¿
? El polinomio es constante pero ¿
y 
?
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Valora en Bitacoras.com: Os dejo hoy el problema de la semana, que en esta ocasión es uno que me envió nuestro lector Andreu hace ya bastante tiempo. Ahí va: Caracterizar los polinomios con coeficientes enteros y los números enteros tales que , s……
@Rubén: La pregunta (interpreto) es:
Tienes un polinomio (genérico, f(x)) que cumple que en x=0 y x=2 vale 1
f(0)=f(2)=1
Ahora, la pregunta es: ¿Para qué valores de x, el polinomio vale 2?
En todo esto, x es un número entero.
Y ahora consideraciones propias: Supongo que será más fácil salirse de los Enteros y tratar el polinomio en los Reales, sabemos que hay, al menos, un extremo local entre el 0 y el 2… pero por ahora no he llegado a más… tiempo!
f(x) = z + ax + bx^2 + … + jx^n. f(0) = 1 implica z=1 f(x) = 1 + ax + bx^2 + … + jx^n f(2) = 1 implica 2a + 4b+ … + j2^n = 0, o sea, a = -2(b + 2c + … + j2^n-1) (para después) si f(x) = 2, con x entero, entonces ax + bx^2 + … + jx^n = 1 lo cual sólo es posible con coeficientes enteros para x = 1 o x = -1, pues el término izquierdo es suma de múltiplos de x (todos los coeficientes son enteros),… Lee más »
Por las condiciones sobre
tenemos 
, para que se de 
debe ser 
, y como los tres terminos 
y 
deben ser enteros, esto fuerza a que todos sean 
, por lo que debe ser 
, 
, 
, por lo que 
, resultando
es un polinomio con coeficientes enteros arbitrario.
donde
Havia pensat exactament el mateix que «vengoroso». No torno a escriure el raonament
Si f(x) = a_n*x^n + … + a_1*x + a_0, de f(0) = 1 tenemos que a_0 = 1. Si f(2) = 1, f(x) = (x – 2)g(x) + 1 siendo g(x) un polinomio también de coeficientes enteros. ¿Para que valores c, es f(c) = 2? f(c) = (c – 2)g(c) + 1 = 2 ===> (c – 2)g(c) = 1 ==> c – 2 = g(c) = +/- 1 Entonces, c = 1 ó 3 (ya se que la RAE suprimió el acento de esta o, pero yo prefiero ponerlo …) Podemos añadir que g(1) = -1 y g(3)… Lee más »
Me parece que se refiere a que de
, siendo 
cualquier coeficiente del polinomio. Igual no tengo idea de la respuesta .yaomin
Supongamos que tenemos un polinomio
en los enteros, tal que existe un valor 
que da 
. Entonces tenemos que
. Por lo tanto tenemos 
.
Entonces la unica solución seria
Consideremos el polinomio
. Notemos que los coeficientes de 
son enteros. Tenemos que 
, 
y 
. Entonces 
.
Por lo tanto tenemos que
, para cierto 
en los enteros. Por lo tanto, si tenemos un polinomio que cumpla las hipotesis y 
, entonces 
y 
.
Como
tenemos que,
para un cierto polinomio
(con coeficientes enteros), entonces,
como
toma valores enteros en enteros,
es decir,
para un cierto polinomio
con coeficientes enteros, por tanto,