Cardinal de los reales y las funciones continuas

Os dejo el problema de esta semana, que en esta ocasión me propone nuestro lector Manzano a través de un mail.. Ahí va:

Dados el conjunto \mathbb{R} de los números reales y el conjunto C [ \mathbb{R},\mathbb{R} ] de las funciones continuas de \mathbb{R} en \mathbb{R}, ¿qué relación hay entre sus cardinales? Es decir, ¿hay más números reales que funciones continuas de \mathbb{R} en si mismo, es al contrario o los dos conjuntos tienen el mismo cardinal?

Evidentemente se pide la respuesta y una demostración de la misma.

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

17 Comentarios

  1. Para cada número real c hay una función constante, y, por tanto, continua, tal que f(x)=c.
    Por tanto el cardinal de las funciones continuas es mayor o igual que el de los números reales.

    Hay un teorema que asegura que si f y g son funciones continuas en los reales que coinciden en un conjunto denso entonces f=g.
    Por tanto, a aplicación que a cada función continua le asigna su restricción a los racionales es una aplicación inyectiva luego el cardinal de C(R,R) será menor que el del conjunto de aplicaciones de Q sobre R, es decir Card(C(R,R))<=Card(R^Q)
    Y ahora un poco de aritmética del infinito. R tiene el mismo cardinal que 2^Q (pues Q es numerable) luego
    Card (C[R,R])<=Card(R^Q)=Card((2^Q)^Q)=Card(2^(QxQ))=Card(2^Q)=Card(R)

    Así pues C[R,R] tiene el mismo cardinal que los reales.

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  2. Deben tener el mismo cardinal.

    A = conjunto de las funciones continuas de \mathbb{R} en \mathbb{R}.

    Me sale un razonamiento según el cual card(A) \leq card (\mathbb{N}), pero tiene que estar mal, claro, porque es obvio que card(\mathbb{R}) \leq card(A).

    Recordamos que si podemos establecer una relación inyectiva de A a B, entonces que card(A) \leq card(B). Y también recordamos que card(\mathbb{N}) = card(\mathbb{Q}).

    Lo escribo de todas formas…

    A = conjunto de las funciones continuas de \mathbb{R} en \mathbb{R}.

    B = conjunto de las funciones de \mathbb{Q} en \mathbb{Q}.

    C = conjunto de las funciones de \mathbb{N} en \mathbb{N}, es decir, conjunto de sucesiones de números naturales.

    Se trata de ver que card(A) \leq card(B) \leq card(C) \leq card(\mathbb{N}).

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  3. Otro intento, y practicamos esto del latex

    A = conjunto de las funciones continuas de \mathbb{R} en \mathbb{R}.

    B = conjunto de las funciones de \mathbb{Q} en \mathbb{R}.

    C = conjunto de las funciones de \mathbb{N} en \mathbb{R}, es decir, conjunto de sucesiones de números REALES.

    Se trata de ver que card(A) \leq card(B) \leq card(C) \leq card(\mathbb{R}).

    ¿Podemos ver, sin usar “aritmética de infinito”, que el conjunto de las sucesiones de números reales tiene el mismo cardinal que \mathbb{R} ?.

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  4. La función f(x)=exp(x)(/1+exp(x)) transforma biyectivamente R en el intervalo (0,1).
    Sea g su inversa g(x)=ln(x/(1-x))

    Sea x[1], x[2], ….. una sucesión de números reales.
    Podemos trasformarla, haciendo fx= f(x[1]), f(x[2])….. en una sucesión de números del intervalo (0,1)

    Los números del intervalo (0,1) son de la forma 0’pqrst….. Si z es un número de (0,1) sea z[k] su k-sima cifra.
    En particular, f(x[n])[k] es la k-sima cifra del desarrollo decimal de f(x[n]).

    Para cada sucesión y, sobre (0,1), construimos un número del intervalo (0,1), digamos h(y) tal que
    h(y)[1]=y[1][1]
    h(y)[2]=y[2][1]
    h(y)[3]=y[2][2]
    h(y)[4]=y[3][1]
    h(y)[5]=y[3][2]
    h(y)[6]=y[3][3]
    h(y)[7]=y[4][1]
    h(y)[8]=y[4][2]
    etcétera

    Es fácil ver que h es biyección.

    Y ahora enlazamos todo el proceso: a una sucesión x sobre los números reales le asociamos biyectivamente una sucesión fx sobre el intervalo (0,1). A su vez, a esta sucesión , le asociamos un número h(fx) del intervalo (0,1) y a ese número, nuevamente biyectivamente, le asociamos el número real g(h(fp))
    Así hemos construido, aunque quizá farragosamente, una biyección entre las sucesiones de números reales y R.
    ___________
    En cualquier caso, prefiero mi demostración anterior 😛
    Y, sobre todo, el punto delicado de la igualdad de cardinales reside en el hecho de exigir que las funciones sean continuas.

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  5. Gracias, #PCRdeG.

    Para los que hemos olvidado la “aritmética de infinito”, o para los que nunca la han conocido, lo que me preguntaba era si se puede resolver sólo con conocimientos pre-universitarios, y parece que sí.
    Me cuesta entender la biyección de “las sucesiones de números del intervalo (0,1)” con “el intervalo (0,1)” quizá en parte por la notación.

    La idea que he entendido es que si tenemos una sucesión a(n)
    a(1) = 0,….
    a(2) = 0,….
    a(3) = 0,…

    formamos el número de (0,1) como cero coma ….

    primer decimal de a(1)

    primer decimal de a(2)
    segundo decimal de a(1)

    primero de a(3)
    segundo de a(2)
    tercero de a(1)

    primero de a(4)
    segundo de a(3)
    tercero de a(2)
    cuarto de a(1)

    y así sucesivamente.

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  6. La distancia más corta entre 2 puntos del plano sin pasar por \mathbb{Q}. ¿Existe?.

    Vale, ya sabemos que el conjunto de las funciones continuas de \mathbb{R} en \mathbb{R} tiene el mismo cardinal que el conjunto \mathbb{R}.

    La primera idea de función continua de \mathbb{R} en \mathbb{R} es que la podemos dibujar sin levantar el boli del papel (o la tiza de la pizarra). Si queremos ir por ejemplo de (0,0) a (0,1) por la gráfica de una función continua, como la distancia más corta es la línea recta, cogeríamos la función continua f(x) = 0 constante.

    ¿Y si queremos ir esquivando los puntos de \mathbb{Q} x \mathbb{Q}?. Porque funciones continuas para ir de (0,0) a (0,1) sin pasar por ningún punto de \mathbb{Q} x \mathbb{Q} tienen que haber muchas, una cantidad no numerable de ellas. También podemos hacerlo pasando sólo por puntos (x,y) en los que ni “x” ni “y” sean racionales.

    ¿Tendremos que dar mucho rodeo? Algo sí, porque la distancia más corta la conseguimos con la función f anterior que sí que pisa racionales.

    Así que nos imaginamos el plano \mathbb{R} x \mathbb{R}, quitamos todos los puntos que tengan alguna componente (“x” ó “y”) racional, excepto el (0,0) y el (0,1) que no los quitamos. Y ya tenemos el plano densamente lleno de agujeros.

    ¿Qué función continua cogemos para ir de (0,0) a (0,1)?

    Cojas la que cojas, ¿podré coger yo siempre otra más corta?.

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  7. Jesús C, muy interesante.

    Creo que deberías definir mejor el problema, no es lo mismo decir “un camino que no contenga racionales” a “quitar en RxR los puntos de QxQ” pues, en el segundo caso, la distancia más corta sigue siendo una línea recta (los “agujeros” en la nueva topología RxR-QxQ sólo son “visibles” en la topología inicial RxR).

    Si (como creo) es el primer enfoque (“un camino que no contenga puntos de QxQ, RxQ ni QxR”) creo que tal camino no existe, porque cualquier camino en RxR contiene siempre puntos con coordenadas racionales (pero no estoy seguro).

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  8. #josejuan

    Es el primer enfoque, y quitando sólo los puntos de QxQ (“un camino que no contenga puntos de QxQ”). También he escrito al revés el punto (1,0) todas las veces, aunque esto es menos importante.

    O sea, que el final corregido quedaría:

    ¿Y si queremos ir esquivando los puntos de \mathbb{Q} x \mathbb{Q}?. Porque funciones continuas para ir de (0,0) a (1,0) sin pasar por ningún punto de \mathbb{Q} x \mathbb{Q} tienen que haber muchas, una cantidad no numerable de ellas.

    ¿Tendremos que dar mucho rodeo? Algo sí, porque la distancia más corta la conseguimos con la función f anterior que sí que pisa racionales.

    Así que nos imaginamos el plano \mathbb{R} x \mathbb{R}, quitamos todos los puntos de \mathbb{Q} x \mathbb{Q}, excepto el (0,0) y el (1,0) que no los quitamos. Y ya tenemos el plano densamente lleno de agujeros.

    ¿Qué función continua (de \mathbb{R} en \mathbb{R}) cogemos para ir de (0,0) a (1,0)?

    Cojas la que cojas, ¿podré coger yo siempre otra más corta?.

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  9. #Jesús, si sólo quitas QxQ estás admitiendo coordenadas en (R-Q)xQ y Qx(R-Q) por lo que si el segmento (en RxR) que une A y B no contiene ningún punto en QxQ el camino más corto es esa línea recta (ej. de (0,Pi) a (1,Pi) el camino más corto es At+(1-t)B con 0<=t<=1) y ya no habrá otro menor. Si el segmento contiene algún punto en QxQ, dado un camino, siempre podrás obtener otro más próximo (entre cualquier camino y el segmento inicial hay otros infinitos caminos).

    Pero si exiges que las coordenadas no tengan ninguna componente en Q (es decir, deben estar en (R-Q)x(R-Q) ) entonces creo que no existe ningún camino, porque, dado cualquier segmento de curva en el plano, algún punto tiene alguna componente en Q.

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  10. #josejuan

    Lo mismo pienso yo, quitando QxQ ya está claro.

    Lo que sí creo que podemos es pasar sólo por puntos de R x (R-Q).

    En el ejemplo que has puesto, f(x) = pi constante, sí se puede ir de (0,pi) a (1,pi).

    Y de (0,0) a (0,1) podríamos ir haciendo un triángulo por ejemplo, de (0,0) a (1/2,a) y de (1/2,a) a (1,0), para algún a real.

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  11. Más sobre cardinales. Que esto de los infinitos cuesta entenderlo.

    ¿Por qué no es correcta esta relación inyectiva del intervalo (0,1) de números reales a los números naturales?

    Dado x=0,A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}….

    le hacemos corresponder el número natural

    P_{1}^A_{1} * P_{2}^A_{2} * P_{3}^A_{3}* P_{4}^A_{4}…..

    donde P_{1}, P_{2}, P_{3} , …. es la sucesión de números primos.

    La relación es INYECTIVA por ser única la descomposición de un numero natural en factores primos.

    Porque cualquier producto (aunque fuera infinito) de números naturales ha de ser un número natural, ¿no?.

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  12. josejuan, interesante sí que es, pero no me aclara la duda que pregunto. Gracias en cualquier caso.
    Supongo que lo que pasa es que no vale definir un número natural como un producto infinito, pero no entiendo bien por qué.

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  13. “…no vale definir un número natural como un producto infinito…”

    Sí vale, lo que pasa es que estás construyendo un número natural (o racional si lo pones detrás de la coma), no un número real.

    Con tu proposición pasa un poco lo mismo que al comparar un número irracional r con un número racional, siempre podrás elegir un número q que comparta con r los primeros N dígitos (decimales o no), ¿aunque sean 10^{10} dígitos?, sí, ¿aunque sean 10^{10^{10}} dígitos?, sí, …

    Entonces, ¿dónde está la diferencia entre r y q?, bien, yo creo que a través de la topología se entiende bien (densidad, etc…), pero creo que es “esa” la diferenciación que andas buscando.

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  14. josejuan, yo ya me he autoconvencido de que NO vale. Cualquier número natural tiene un número FINITO de cifras. Y creo que puede ser la forma de convencer también a alguien para quien los números son sólo cifras (la representación en base 10 a la que estamos acostumbrados por ejemplo) de que los infinitos naturales y los infinitos reales son infinitos de distinta magnitud. Porque un número real tiene infinitas cifras mientras que un número natural sólo tiene finitas cifras. Un número real tiene tantas cifras (la uno, la dos, la tres,…) como elementos tiene el conjunto de los números naturales.

    Pensando el la representación binaria de un real de (0,1), el el primer decimal puede ir 0 ó 1, en el segundo lo mismo, en el tercero lo mismo,… Es una forma de ver cuantos reales hay en el intervalo (0,1). Serían 2 x 2 x 2 …., 2 multiplicado por 2 infinitas (numerables) veces. O sea, 2^N.

    Una cosa: el producto infinito del comentario de esta mañana no vale ni para definir un número natural ni para definir un número real.

    En fin, he pasado unos días pensando en el infinito, que tampoco está mal.

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  15. Buenas noches,

    La distancia más corta entre dos puntos en el plano es la línea recta, es claro que su medida no varía si eliminamos una cantidad numerable de puntos ( si consideramos la medida de Lebesgue) en este caso Q es numerable , luego eliminar los puntos con coordenadas racionales del segmento no altera su medida ( Ya que estamos quitando conjuntos de medida cero).

    Otro problema distinto es construir un camino que una dos puntos cualesquiera sin pasar por puntos de coordenadas racionales, como habéis planteado algunos de vosotros. En este caso la propiedad de densidad de los irracionales en R justifica la existencia de un camino continuo en  math RxR- QxQ que une los dos puntos y que puede ser perfectamente una Es claro creo que la recta salvo los puntos de  mathbb QxQ sigue siendo continua con la topología usual inducida ( la de la norma)

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  16. El conjunto de funciones continuas contiene al conjunto de funciones infinitamente derivables en un punto, luego su cardinal será no inferior al de éstas.
    Aplicando el desarrollo de Taylor alrededor de ese punto, tenemos que para cada conjunto de números reales (usados como coeficientes del desarrollo) obtenemos una función distinta.
    Por lo tanto, el cardinal de funciones con infinitas derivadas en un punto es igual al de particiones del conjunto de números reales, luego será un infinito de orden superior.
    En resumen, hay más funciones continuas que números reales.

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