Georg Cantor

Georg Cantor

Pues no, el conjunto \mathbb{R} de los números reales no es numberable, aunque, como vimos hace ya un tiempo, algunos todavía se empeñen en demostrar lo contrario. Bueno, a lo que íbamos. El hecho de que \mathbb{R} no sea numerable significa que no se puede poner en correspondencia biunívoca con los números naturales, o lo que es lo mismo, los naturales y los reales no pueden emparejarse totalmente, ya que siempre habrá número reales que no tenga pareja en los naturales.

Como comentaba ayer, en Gaussianos ya publiqué una demostración de este hecho debida a Cantor. En esta entrada os muestro otra que me mandó Daniel a gaussianos (arroba) gmail (punto) com .

La demostración de este hecho que vamos a dar tiene como base el teorema de los intervalos encajados:

Teorema: (de los intervalos encajados)

Dada una sucesión [ a_n,b_n ], con n=1, \ldots , \infty, de intervalos cerrados de \mathbb{R} encajados, esto es:

[a_1,b_1 ] \supset [a_2,b_2 ] \supset \dots

se cumple que existe un punto x \in \mathbb{R} que pertenece a todos los intervalos, es decir, la intersección de todos estos intervalos contiene al menos un punto. \Box

Es interesante resaltar que es fundamental que los intervalos sean cerrados, ya que el resultado no es válido para intervalos abiertos. Por ejemplo, la sucesión de intervalos

\left (0, \cfrac{1}{n} \right )

no cumple este resultado.

Bueno, sin más dilación vamos con la demostración:

Teorema:

El conjunto \mathbb{R} de los números reales no es numerable.

Demostración:

Supongamos que sí fuera numerable. En ese caso podríamos encontrar una función f de los números naturales, \mathbb{N}, en los números reales que fuera biyectiva. Lo que vamos a demostrar es que ninguna función de los naturales en los reales es sobreyectiva (por lo tanto tampoco puede ser biyectiva).

Supuesta la existencia de tal función, para cada n \in \mathbb{N} sea x_n=f(n). Tomemos dos números reales, a_1 y b_1, que cumplan que x_1 < a_1 < b_1. Entonces es evidente que x_1 \not\in [ a_1, b_1 ].

Dentro de este intervalo cerrado [ a_1, b_1 ] podemos encontrar otros dos números reales, digamos a_2 y b_2, tales que a_1 \le a_2 < b_2 \le b_1 que además cumplan también que x_2 \not\in [ a_2, b_2 ] (analizando las posibles situaciones de x_2 es fácil darse cuenta de este hecho). Por inducción, si tenemos los intervalos [ a_1, b_1 ], [ a_2, b_2 ], \ldots , [ a_n, b_n ], podemos escoger otros dos números reales a_{n+1} y b_{n+1} que cumplan que a_n \le a_{n+1} < b_{n+1} \le b_n y que x_{n+1} \not\in [ a_{n+1}, b_{n+1} ].

Por otra parte, según el teorema de los intervalos encajados, la intersección de todos esos intervalos es distinta del vacío, es decir

\exists x \in \mathbb{R} tal que x \in \bigcap_{n=1}^{\infty} [ a_n,b_n ]

Si este x correspondiera con algún número natural, es decir, si x fuera igual a algún x_k=f(k) para algún k \in \mathbb{N} tendríamos que x_k=x \in [ a_k,b_k ]. Pero esto es imposible por la propia construcción de los intervalos anteriores, ya que tal cual los hemos construido se tiene que x_k \not\in [ a_k, b_k  ], para todo k \in \mathbb{N}.

Por tanto hemos encontrado un número real x que no tiene pareja en los números naturales, esto es, que no es imagen por f de ningún número natural. Por tanto f no es sobreyectiva, por lo que no puede ser biyectiva, hecho con el que concluye la demostración. \Box

A mí particularmente me sigue pareciendo sorprendente este resultado. Y, como ya dije en otra ocasión, también me sorprende mucho que ninguno de los genios anteriores a Cantor reparara en este hecho, teniendo en cuenta lo simple de la demostración de éste.

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