
Georg Cantor
Como comentaba ayer, en Gaussianos ya publiqué una demostración de este hecho debida a Cantor. En esta entrada os muestro otra que me mandó Daniel a gaussianos (arroba) gmail (punto) com .
La demostración de este hecho que vamos a dar tiene como base el teorema de los intervalos encajados:
Teorema: (de los intervalos encajados)
Dada una sucesión , con
, de intervalos cerrados de
encajados, esto es:
se cumple que existe un punto que pertenece a todos los intervalos, es decir, la intersección de todos estos intervalos contiene al menos un punto.
Es interesante resaltar que es fundamental que los intervalos sean cerrados, ya que el resultado no es válido para intervalos abiertos. Por ejemplo, la sucesión de intervalos
no cumple este resultado.
Bueno, sin más dilación vamos con la demostración:
Teorema:
El conjunto de los números reales no es numerable.
Demostración:
Supongamos que sí fuera numerable. En ese caso podríamos encontrar una función de los números naturales,
, en los números reales que fuera biyectiva. Lo que vamos a demostrar es que ninguna función de los naturales en los reales es sobreyectiva (por lo tanto tampoco puede ser biyectiva).
Supuesta la existencia de tal función, para cada sea
. Tomemos dos números reales,
y
, que cumplan que
. Entonces es evidente que
.
Dentro de este intervalo cerrado podemos encontrar otros dos números reales, digamos
y
, tales que
que además cumplan también que
(analizando las posibles situaciones de
es fácil darse cuenta de este hecho). Por inducción, si tenemos los intervalos
, podemos escoger otros dos números reales
y
que cumplan que
y que
.
Por otra parte, según el teorema de los intervalos encajados, la intersección de todos esos intervalos es distinta del vacío, es decir
tal que
Si este correspondiera con algún número natural, es decir, si
fuera igual a algún
para algún
tendríamos que
. Pero esto es imposible por la propia construcción de los intervalos anteriores, ya que tal cual los hemos construido se tiene que
, para todo
.
Por tanto hemos encontrado un número real que no tiene pareja en los números naturales, esto es, que no es imagen por
de ningún número natural. Por tanto
no es sobreyectiva, por lo que no puede ser biyectiva, hecho con el que concluye la demostración.
A mí particularmente me sigue pareciendo sorprendente este resultado. Y, como ya dije en otra ocasión, también me sorprende mucho que ninguno de los genios anteriores a Cantor reparara en este hecho, teniendo en cuenta lo simple de la demostración de éste.
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lo realemente interesante de esta demostración es que no usa para nada las propiedades algebraicas de los números reales (representación decimal etc). Tan sólo con sus propiedades del orden, es decir, sus propiedades topológicas, podemos concluir su no numerabilidad. Es en cierto sentido una prueba más intrínseca.
De hecho un resultado mucho más general, pero que se prueba esencialmente con la misma idea es el siguiente: Si es un espacio topológico Hausdorff compacto sin puntos aislados, no es numerable. El caso de la recta real es inmediato cogiendo un intervalo cerrado. De hecho el Teorema de los Intervalos Encajados no es más que un hecho de compacidad. Podemos interpretar el anterior teorema como una señal de que realmente un estudio un poco sofisticado de la forma y la topología no existe si nos limitamos a conjuntos numerables. Las estructuras topológicas interesantes ocurren en lo no numerable, y… Lee más »
Hay que tener cuidado con arxiv, con la gente queriendo refutar teoremas ya demostrados y válidos. ¿Con que saldrán luego, con que la Tierra no es plana?, Joder…
¡Qué demostración más hermosa! Creo que pocas veces (¡o tal vez ninguna!) me había emocionado con un procedimiento matemático, pero este paso final, tan elegante y al mismo tiempo tan potente…
Esta demostración viene como proyecto en el libro Introduction to Analysis de Edwad D. Guaghman.
A mí me tocó demostralo en el 2° semestre de mi licenciatura, y creo que su hermosura recae en lo simplecidad de la demostración.
Lo he intentado pero sigo sin comprender cómo funciona esto, es decir, no logro entender la demostración, ¿puede alguien ayudarme?
FUNCIÓN INYECTIVA ENTRE UN SUBCONUNTO DE LOS NATURALES Y EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES. RESUMEN: En este artículo se demuestra la numerabilidad de los números Reales mediante el uso de una función inyectiva proveniente del uso de una representación canónica extendida de los números naturales como producto infinito de números primos. INTRODUCCIÓN: Según afirma el teorema Fundamental de la Aritmética en su representación canónica extendida, todo número natural n puede representarse únicamente como un producto infinito sobre el conjunto ordenado de números primos elevados a sus potencias αp respectivas (αp son enteros positivos, y el resto son cero). n=… Lee más »
MAGNIFICA DEMOSTRACIÓN . Solo quisiera preguntar si alguien conoce alguna demostración de la no-numeralidad de los reales que se directa. Me han dicho que existe una demostración directa, pero nunca la he podido encontrar, si alguien conoce por favor expongala. Gracias.