Os dejo el problema de esta semana. Bueno, en realidad en este caso son dos problemas:
1) Se define la siguiente sucesión por recurrencia:
Demostrar que
es un cuadrado perfecto para cada valor de
.
2) Se define la siguiente sucesión por recurrencia:
Demostrar que
es un cuadrado perfecto para cada valor de
Venga, a por ellos.
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Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: Os dejo el problema de esta semana. Bueno, en realidad en este caso son dos problemas: 1) Se define la siguiente sucesión por recurrencia: Demostrar que es un cuadrado perfecto para cada valor de . 2) Se define la siguiente ……
Que curioso, en (1), ¿está hecho a drede que la longitud de los lados de cada cuadrado perfecto de la sucesión sea el anterior por (1+áureo)?
Usando funciones generatrices se puede calcular el término general de las dos recurrencias dado que son recurrencias a dos términos. Defino con . Por ejemplo, en (1) multiplico la recurrencia por y sumo desde , entonces queda la igualdad de donde deduzco . Ahora basta con desarrollar en serie para obtener el término general de la sucesión. Después de algunas cuentas, sale , para , donde (y , ). Como se puede ver, el término general produce los valores , , etc. Ahora me falta demostrar que son un cuadrado perfecto usando la expresión para . ¿Alguna idea? Quizá mi… Lee más »
Creo que en el numerador del segundo miembro de la expresión del segundo problema habría que restar 1
JJGJJG, ambassucesiones son correctas. En el segundo caso se alude al valor
.
De acuerdo, perdón por precipitarme
En la primera sucesión salen los cuadrados de términos alternados de la sucesión de Fibonacci (2, 5, 13, 34, 89…). Por ahí se debe de poder sacar algo, veamos. Comenzando la sucesión de Fibonacci desde , tenemos que la expresión general es (me he tomado la molestia de desarrollarlo resolviendo la ecuación de recurrencia, pero dado que esto es un poco más informal que un examen, omitiré ese desarrollo en particular, que ya está más o menos trillado ;)). Entonces, podemos observar que la sucesión sigue el esquema . El caso particular también se verifica, ya que técnicamente podemos afirmar… Lee más »
Ajá, el segundo caso es un poco diferente pero se puede resolver por el mismo esquema. Si nos fijamos en las raíces cuadradas de los términos que salen, vemos que la sucesión es , una sucesión que parece verificar . Resolvamos entonces la ecuación de recurrencia para hallar la expresión de : puesto que la ecuación tiene por soluciones y , la expresión tendrá la forma . Si resolvemos esta ecuación en p y q para los dos primeros casos, y , obtenemos esta expresión (omito la resolución de la ecuación): . Esto quiere decir que la sucesión de cuadrados,… Lee más »
Hay un par de erratas pero creo que se entiende más o menos.
Me gustaría ver demostraciones alternativas y compararlas.
Era más cómoda la antigua casilla para comentarios.
Sea una sucesión
.
Si
y por tanto 
, es decir
De la definición de
: 
.
Restando la última menos la anterior:
Los
del primer problema son los 
cuando k=3.
Los
del segundo problema son los 
cuando k=10.
Debe decir:
.
Excelente, fede. A eso le llaman matar dos pájaros de un tiro 🙂
ÑBrevu también ha visto perfectamente las dos situaciones.
y 
se obtiene 
. Asumiendo por inducción que 
, 
, y ya que los Fibonacci’s verifican 
, sigue que
, donde 
, con 
.
pájaros 🙂
En el primer caso, restando las expresiones de
En el segundo caso, efectivamente se prueba exactamente del mismo modo que en 1), pero habiendo observado que
Y respecto a la solución de fede, más que matar dos pájaros, debí decir
quise decir «pero habiendo observado que
».
Madre mía, también debí decir «y ya que lños Fibonacci’s verifican
».
Enhorabuena a los acertantes :D.
Respecto a los comentarios, sí, es cierto lo que comenta fede, la forma anterior para los comentarios era más cómoda. Voy a quitar el plugin ahora mismo.
Saludos.
Me encanta la sucesión mágica de Fede. Supongo que ha sido San Gauss quien se la ha inspirado.