Sucesiones recurrentes y cuadrados perfectos

Publicado por ^DiAmOnD^ | 4 mayo, 2010 | Juegos | 16 |

Os dejo el problema de esta semana. Bueno, en realidad en este caso son dos problemas:

1) Se define la siguiente sucesión por recurrencia:

$\begin{matrix} a_0=1 \\ a_1=1 \\ a_{n+1}=7a_n-a_{n-1}-2, \mbox{ con } n\geq 1 \end{matrix}$

Demostrar que $a_n$ es un cuadrado perfecto para cada valor de $n\geq 0$ .

2) Se define la siguiente sucesión por recurrencia:

$\begin{matrix} a_0=5 \\ a_1=5 \\ a_{n}=\cfrac{a_{n+1}+ a_{n-1}}{98}, \mbox{ para } n\geq 1 \end{matrix}$

Demostrar que $\textstyle{\frac{a_n+1}{6}}$ es un cuadrado perfecto para cada valor de $n\geq 0$ .

Venga, a por ellos.

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Sobre el Autor

^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook. También tengo un blog dedicado a las "escape rooms", por si te apetece pasarte: XRooMers.

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$ .

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

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Tweets that mention Sucesiones recurrentes y cuadrados perfectos | Gaussianos -- Topsy.com

04/05/2010 08:11

[…] This post was mentioned on Twitter by gaussianos. gaussianos said: Gaussianos.com: Sucesiones recurrentes y cuadrados perfectos http://bit.ly/drLho0 […]

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Bitacoras.com

04/05/2010 08:48

Información Bitacoras.com…

Valora en Bitacoras.com: Os dejo el problema de esta semana. Bueno, en realidad en este caso son dos problemas: 1) Se define la siguiente sucesión por recurrencia: Demostrar que es un cuadrado perfecto para cada valor de . 2) Se define la siguiente ……

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josejuan

04/05/2010 08:56

Que curioso, en (1), ¿está hecho a drede que la longitud de los lados de cada cuadrado perfecto de la sucesión sea el anterior por (1+áureo)?

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castilla

04/05/2010 10:40

Usando funciones generatrices se puede calcular el término general de las dos recurrencias dado que son recurrencias a dos términos. Defino con . Por ejemplo, en (1) multiplico la recurrencia por y sumo desde , entonces queda la igualdad de donde deduzco . Ahora basta con desarrollar en serie para obtener el término general de la sucesión. Después de algunas cuentas, sale , para , donde (y , ). Como se puede ver, el término general produce los valores , , etc. Ahora me falta demostrar que son un cuadrado perfecto usando la expresión para . ¿Alguna idea? Quizá mi… Lee más »

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JJGJJG

04/05/2010 12:06

Creo que en el numerador del segundo miembro de la expresión del segundo problema habría que restar 1

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04/05/2010 13:59

JJGJJG, ambassucesiones son correctas. En el segundo caso se alude al valor $\dfrac{1+a_n}{6}$ .

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JJGJJG

04/05/2010 14:14

De acuerdo, perdón por precipitarme

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Ñbrevu

04/05/2010 14:23

En la primera sucesión salen los cuadrados de términos alternados de la sucesión de Fibonacci (2, 5, 13, 34, 89…). Por ahí se debe de poder sacar algo, veamos. Comenzando la sucesión de Fibonacci desde , tenemos que la expresión general es (me he tomado la molestia de desarrollarlo resolviendo la ecuación de recurrencia, pero dado que esto es un poco más informal que un examen, omitiré ese desarrollo en particular, que ya está más o menos trillado ;)). Entonces, podemos observar que la sucesión sigue el esquema . El caso particular también se verifica, ya que técnicamente podemos afirmar… Lee más »

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Ñbrevu

04/05/2010 15:24

Ajá, el segundo caso es un poco diferente pero se puede resolver por el mismo esquema. Si nos fijamos en las raíces cuadradas de los términos que salen, vemos que la sucesión es , una sucesión que parece verificar . Resolvamos entonces la ecuación de recurrencia para hallar la expresión de : puesto que la ecuación tiene por soluciones y , la expresión tendrá la forma . Si resolvemos esta ecuación en p y q para los dos primeros casos, y , obtenemos esta expresión (omito la resolución de la ecuación): . Esto quiere decir que la sucesión de cuadrados,… Lee más »

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Ñbrevu

04/05/2010 15:27

Hay un par de erratas pero creo que se entiende más o menos.
Me gustaría ver demostraciones alternativas y compararlas.

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fede

04/05/2010 16:26

Era más cómoda la antigua casilla para comentarios.

Sea una sucesión $b_1=1, b_2=1, b_n=kb_{n-1}-b_{n-2}$ .

Si $C_{n+2} = b_{n+2}b_{n}-b_{n+1}^2, \ \ C_{n+2}=C_{n+1}$ y por tanto $C_{n}= k-2$ , es decir

$2b_{n-1}^2- 2b_{n}b_{n-2} + 2(k-2) =0$ .

$2b_{n-1}^2- 2b_{n-2}[kb_{n-1} - b_{n-2}] + 2(k-2) =0$ .

$2b_{n-1}^2 + 2b_{n-2}^2 -2kb_{n-1}b_{n-2} + 2(k-2) =0$ .

De la definición de $b_n$ : $b_n^2 = k^2b_{n-1}^2 + b_{n-2}^2 -2kb_{n-1}b_{n-2}$ .

Restando la última menos la anterior:

$b_n^2 = (k^2-2)b_{n-1}^2 -b_{n-2}^2 -2(k-2)$ .

Los $a_n$ del primer problema son los $b_n^2$ cuando k=3.

$\dfrac{k+2}{2}b_n^2 = \dfrac{k+2}{2}(k^2-2)b_{n-1}^2 -\dfrac{k+2}{2}b_{n-2}^2 -(k-4)$ .

$(\dfrac{k+2}{2}b_n^2 -1) = (k^2-2)(\dfrac{k+2}{2}b_{n-1}^2 -1)- (\dfrac{k+2}{2}b_{n-2}^2 -1)$ .

Los $a_n$ del segundo problema son los $(\dfrac{k+2}{2}b_n^2 -1)$ cuando k=10.

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fede

04/05/2010 16:33

Debe decir:
$\dfrac{k+2}{2}b_n^2 = \dfrac{k+2}{2}(k^2-2)b_{n-1}^2 -\dfrac{k+2}{2}b_{n-2}^2 -(k^2-4)$ .

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04/05/2010 16:44

Excelente, fede. A eso le llaman matar dos pájaros de un tiro 🙂

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04/05/2010 17:07

ÑBrevu también ha visto perfectamente las dos situaciones.

En el primer caso, restando las expresiones de $a_{n+1}$ y $a_{n}$ se obtiene $a_{n+1}=8(a_n-a_{n-1})-a_{n-2}$ . Asumiendo por inducción que $a_i=F_{2i-1}^2$ , $i\leq n$ , y ya que los Fibonacci’s verifican $F_{i+1}=3F_i-F_{i-1}$ , sigue que

$a_{n+1}=8(F_{2n-1}^2-F_{2n-3}^2)+F_{2n-5}^2=8(F_{2n-1}^2-F_{2n-3}^2)+(3F_{2n-3}-F_{2n-1})^2=(3F_{2n-1}-F_{2n-3})^2=F_{2n+1}^2.$

En el segundo caso, efectivamente se prueba exactamente del mismo modo que en 1), pero habiendo observado que $a_n=b_n^2$ , donde $b_{n+1}=10b_n-b_{n-1}$ , con $b_0=b_1=1$ .

Y respecto a la solución de fede, más que matar dos pájaros, debí decir $k$ pájaros 🙂

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04/05/2010 17:18

quise decir «pero habiendo observado que $\dfrac{1+a_n}{6}=b_n^2$ ».

Responde

04/05/2010 22:14

Madre mía, también debí decir «y ya que lños Fibonacci’s verifican $F_{i+2}=3F_i-F_{i-2}$ ».

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^DiAmOnD^

04/05/2010 22:56

Enhorabuena a los acertantes :D.

Respecto a los comentarios, sí, es cierto lo que comenta fede, la forma anterior para los comentarios era más cómoda. Voy a quitar el plugin ahora mismo.

Saludos.

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Maestrillo

26/01/2015 09:42

Me encanta la sucesión mágica de Fede. Supongo que ha sido San Gauss quien se la ha inspirado.

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