Unos cuantos decimales de Pi

Unos cuantos decimales de Pi

Como muchos de vosotros sabréis hoy, dia 14 de marzo, es el día de Pi. por si alguien no sabe por qué, la razón es que en el mundo anglosajón las fechas se escribe de la forma Mes/Día/Año. De esta forma el día de hoy sería el 3/14.

Todos los años escribo algo relacionado con Pi este día. Y este año no va a ser menos. Vamos a celebrar el día de Pi de forma infinita.

¿De forma infinita?

Vamos a celebrar este día de Pi de forma infinita mostrando diversas sumas y productos infinitos donde aparece este maravilloso número. Vamos con ellas:

  • Según parece, fue François Viète quien dio la primera expresión numérica exacta en la que aparece Pi. Concretamente fue este producto infinito:

    \cfrac{2}{\pi}=\sqrt{\cfrac{1}{2}} \cdot \sqrt{\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2} \sqrt{\cfrac{1}{2}}} \cdot \sqrt{\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2}\sqrt{\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2} \sqrt{\cfrac{1}{2}}}} \dots

  • Esta expresión, también como producto infinito, fue descubierta por John Wallis:

    \cfrac{2}{\pi}=\cfrac{1 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \dots}{2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 6 \dots}

  • La famosa suma del problema de Basilea (y II) descubierta por Leonhard Euler:

    \cfrac{\pi ^2}{6}=\cfrac{1}{1^2}+\cfrac{1}{2^2}+\cfrac{1}{3^2}+\cfrac{1}{4^2}+\cfrac{1}{5^2}+ \dots

  • Pero ni mucho menos fue esta suma la única expresión relacionada con Pi descubierta por Euler. El gran Leonhard encontró también expresiones del tipo anterior al menos ¡¡hasta exponente 26!!. Para exponente 4 tenemos esta expresión:

    \cfrac{\pi ^4}{90}=\cfrac{1}{1^4}+\cfrac{1}{2^4}+\cfrac{1}{3^4}+\cfrac{1}{4^4}+\cfrac{1}{5^4}+ \dots

    Y para exponente 6 ésta:

    \cfrac{\pi ^6}{945}=\cfrac{1}{1^6}+\cfrac{1}{2^6}+\cfrac{1}{3^6}+\cfrac{1}{4^6}+\cfrac{1}{5^6}+ \dots

  • Pero Euler descubrió muchas más expresiones infinitas, tanto sumas como productos, relacionadas con Pi. Algunas de ellas son las siguientes:

    \cfrac{\pi}{3 \sqrt{3}}=\cfrac{2}{2+1} \cdot \cfrac{5}{5+1} \cdot \cfrac{7}{7-1} \cdot \cfrac{11}{11+1} \dots

    En ella los numeradores de las fracciones son los números primos excepto el 3 y los denominadores llevan una suma cuando el número primo es de la forma 6n-1 y una resta cuando es de la forma 6n+1.

    \cfrac{\pi}{4}=\cfrac{1}{1}-\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{5}-\cfrac{1}{7}+\cfrac{1}{9}- \dots

    Aquí aparecen como denominadores los números impares y se alternan los signos + y – entre las fracciones.

    \cfrac{\pi ^2}{9}=\cfrac{1}{1^2}+\cfrac{1}{5^2}+\cfrac{1}{7^2}+\cfrac{1}{11^2}+\cfrac{1}{13^2} \cdots

    Y en esta expresión aparecen en los denominadores de los cuadrados de todos los números impares que no son múltiplos de 3.

  • Newton descubrió la siguiente expresión relacionada con Pi:

    \pi=\cfrac{3 \sqrt{3}}{4}+24 \left (\cfrac{1}{12}-\cfrac{1}{5 \cdot 2^5}-\cfrac{1}{28 \cdot 2^7}-\cfrac{1}{72 \cdot 2^9}- \dots \right )

  • A partir de ciertos resultados descubiertos por Euler podemos llegar a la siguiente relación:

    \cfrac{\pi}{2}=1+\cfrac{1}{3}+\cfrac{1 \cdot 2}{3 \cdot 5}+\cfrac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3 \cdot 5 \cdot 7}+ \dots

  • Más adelante en el tiempo, concretamente en 1997, Bailey encontró la siguiente suma sobre Pi:

    \pi=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \left ( \cfrac{4}{8n+1}-\cfrac{2}{8n+4}-\cfrac{1}{8n+5}-\cfrac{1}{8n+6} \right ) \left (\cfrac{1}{16} \right )^n}

  • Capítulo aparte merecen las expresiones relacionadas con Pi descubiertas por Ramanujan. Por ejemplo:

    \cfrac{1}{\pi}=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} {2n \choose n}^3 \cfrac{42n+5}{2^{12n+4}}}

    Os recomiendo el enlace a MathWorld que aparece al final del artículo para ver otras expresiones de este estilo cuyo descubridor fue Ramanujan.

  • Y para finalizar os dejo un monstruo de expresión numérica descubierta por los hermanos Chudnosky. Es una de las expresiones más poderosas a la hora de calcular decimales de Pi (calcula 14 decimales exacto en cada paso).

    Es la siguiente:

    \cfrac{1}{\pi}=12 \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cfrac{(6n)!}{(3n)! (n!)^3} \cfrac{13591409+545140134n}{(640320)^{3n+3/2}}}

Me he dejado muchísimas expresiones cuyo protagonista es Pi. Si conocéis alguna que no aparezca en este artículo y creéis que es importante o interesante no dudéis en escribirla en los comentarios.


Otros días de Pi en Gaussianos:


Fuentes:

  • Historia de la matemática, de Carl B. Boyer.
  • Introductio in Analysin Infinitorum, de Leonhard Euler.
  • Pi formulas en MathWorld.
  • La imagen que ilustra este artículo está sacada de este set de Flickr.
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