De nuevo tenemos problema esta semana. En esta ocasión, se trata de uno que me propuso Sebastià Roig por correo electrónico hace ya bastante tiempo y que tenía olvidado. Muchas gracias por tu propuesta, Sebastià.
Ahí va el problema:
Que se os dé bien.
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Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.
Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.
Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
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Ahí está mi solución:
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Gaussianos_20211216.ggb
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Gaussianos_20211216.gif
Si alguien desea acceder al fichero ggb, mejor en el sitio de GeoGebra: https://www.geogebra.org/m/pc4naene
Aunque se ha resuelto mediante una ecuación de 4º grado en b, las soluciones se expresan exclusivamente con raíces cuadradas, aunque anidadas. Esto nos indica que el problema es resoluble con regla y compás, y que debe haber vías para evitar la resolución directa de una ecuación de 4º grado.
También se puede ver aquí: http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Gaussianos_20211216.html
Hasta ahora he llegado al siguiente sistema de ecuaciones:
Donde el lado del triángulo hace 1.
Son las mismas que obtuve yo, correspondientes a la altura, lado lateras y base. Despejando c en la primera y sustituyendo en la tercera, despejando ahora a en esta y sustituyendo en la 2ª, por en medio algunas elevaciones al cuadrado, se obtiene una ecuación de 4º grado en b, con dos soluciones reales, solo una con 0<b<1/2. Pero la ecuación de 4º grado no parece fácil de resolver.
No hace falta llegar a la ecuación de cuarto grado. Si esta fuera la única vía de solución que conociera no lo habría propuesto.
Particularmente este problema admite una solución a “mano”, lo suficientemente simple como para abordarlo con nivel “no avanzado” de bachiller.
Solo se me ocurre para hacerlo a ‘mano’ una aproximación iterativa. Podemos comenzar en un caso extremo. a = sqrt(3) / 6 = 0.2887, que, aplicando la primera ecuación, da c’ = 0 En la segunda ecuación despejamos b, obteniendo b = 0.0962. Aplicando la tercera ecuación, da c» = 0.2886. Para converger, tomamos el valor medio c = (c’ + c») / 2 = 0.1443. A partir de aquí, volvemos a calcular a, b, c’ y c». Y tantas veces hasta tener los decimales que hagan falta. Iteración 2: c’ = 0.1443 a = 0.1925 b = 0.1737 c»… Lee más »
Todos los comentarios tienen de común el sistema de las relaciones con los radios, “de libro”, estas son tan evidentes que dejan a la sombra otras relaciones faciles, relaciones que con un mínimo de ingenio hacen posible la solución, de forma exacta, con papel y lápiz
Como resuelve el reto un biólogo que nunca se ha dedicado a las matemáticas: 1 Con Pitágoras ya se la altura si el lado es 1. (H=raiz(3) / 2) 2 Calculo a en función de c y hago una tabla en excel (H= 3a+2c). Ya tengo c y a f(c). 3 Relaciono a y b con el triángulo de la solución de ignacio aplicando pitágoras de nuevo y me sale una ecuación de segundo grado. Ya tengo b como f(a). 4 En la base relaciono b con c con el otro triángulo y pitágoras de nuevo. Ya tengo c como… Lee más »
Los centros de las tres circunferencias determinan un triángulo cuya área podemos calcular fácilmente por Herón y mediante su base y altura, si igualamos las dos formas obtenemos #1 Esta misma expresión se obtiene por otras relaciones. Por la relación de radios con base y altura del triángulo equilátero podemos escribir: #2 Operando en #1 y #2 tenemos el sistema, #3 #4, para deducir “a” y “b” en función de “c”: #3 #4 Haciendo (#4)-36(#3) Que podemos escribir de la forma, Una simple ecuación de 2º grado, de soluciones #5 Resolviendo el sistema de, la solución positiva de (#5) y… Lee más »
Como decía, el que la solución se exprese solo con raíces cuadradas, aunque anidadas, nos indica de que no es imprescindible resolver directamente una ecuación de 4º grado, sino que podemos apañarnos con ecuaciones de 2º grado. Pero no tiene por que ser sencillo, y en este caso, no lo parece … De todas formas, hay un par de cosas que no veo: 1) Aparte de Heron, de que otra forma calculas el área del triángulo? (supongo que te refieres al formado por los centros de tres circunferencias distintas). 2) En el primer miembro de #2, hay que cambiar ‘a’… Lee más »
1) Si efectivamente, los centros de las 3 circunferencias distintas. Área = base * altura/2, la base del triangulo de centros seria a+c, sobre la altura del equilátero y la altura 2raiz(bc)
2) Perdón, al pasar a LateX he escrito “a” por “b”
Si tres círculos saben a poco…
En el enlace
https://1drv.ms/u/s!AksRuaLL8gOagqZTICDtz_dLNwUNPA?e=mSMF5N
Podemos ver junto al triángulo con los 4 círculos uno con 5 círculos y otro con 6.
¿Podéis calcular sus radios?
Por mi parte resuelvo el caso de 5 círculos con ecuación de 4º grado, a mano. Como apuntaba Ignacio en el de 4, este también con raíces anidadas con solución con regla y compás.
En el caso de 6 círculos quedo atascado con una ecuación de 6º grado, y creo que únicamente admite soluciones aproximadas.
La función relación de radios con el triángulo, #2, que propuse en el caso de 4 círculos es adaptable a los demás casos de 5, 6… círculos. En cuanto a la relación, #1, de radios exclusivamente, ya comenté que podía conseguirse de distintas formas. Por áreas, considero que es únicamente aplicable para el circulo menor único, para dos círculos menores iguales y los demás círculos lo veo bastante complicado, casos de 5, 6… círculos. Una forma generalizable para conseguir la relación de círculos es aprovechando la propiedad del punto “P”, punto en la intersección de la circunferencia de radio “a”… Lee más »
He tenido problemas para “cargar” la solución, la adjunto en un pdf.
Espero no haberme equivocado con los diferentes pasos a LateX y vuelta atrás.
https://1drv.ms/b/s!AksRuaLL8gOagqZW4tTGx93VlArbKQ?e=l6b9iC