El problema semanal esta semana aparece el lunes. Vamos con él:
Sean
y
, respectivamente, el circunradio e inradio de un triángulo
. Demostrar que:
.
Suerte.
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Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$
.
Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.
Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
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La solución que he encontrado a este problema pasa por una curiosa acotación
Demostrar que si a,b y c son los lados de un triángulo, entonces se tiene que
X(a,b,c) / X(a^2^,b^2,c^2) <= 1/3( 1/a + 1/b + 1/c)
donde X(a,b,c) denota la media aritmética simple de los valores a,b,c.
Con esto y los teoremas del seno y del coseno sale fácil.
Un saludo.
Tal vez el teorema del seno y del coseno puedan ser útiles.
Por una parte he sustituido los cosenos a partir del «Teorema de coseno» y los senos por su relación con el área y los lados. Por otra parte «R» y «r» por su equivalencia con el área y el semiperimetro. Despues de operar llego a la conclusión que el cuadrado de la suma de los lados es superior a la suma de sus cuadrados. Perdonad pero me resulta muy dificultoso pasar la demostración con LaTex
Bueno Sebas, esa conclusión es válida en general:
, si
son números reales positivos.
No obstante, con lo que has comentado ya tienes la demostración a tiro 🙂
Claro, daba por supuesto la conclusión como final
Si
es el área del triángulo, usando los teoremas del seno y del coseno tenemos
Por tanto la desigualdad a demostrar se convierte en
Si
, entonces
, y de todos los productos
, donde
es una permutación de
, el que tiene el valor mínimo es aquel en que
, es decir cuando
.
Entonces
y sumando miembro a miembro tenemos la desigualdad anterior.
me suena al teorema de las cevianas
Aunque no me ha servido para el problema, se cumple la siguiente identidad:
Excelente, fede.
También sale la desigualdad que indicas teniendo en cuenta que
, como consecuencia de desarrollar
(desigualdad que se da directamente para a y b positivos).