Os dejo hoy martes el problema de esta semana. Ahí va:
Dado el conjunto
, con
, coloreamos cada uno de sus elementos de blanco o de negro según las siguientes reglas:
y
siempre se colorean del mismo color.
- Para algún
primo relativo con
,
se colorean del mismo color para todo
.
Demostrar que todos los números del conjunto
deben colorearse con el mismo color.
Que se os dé bien.
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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
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Valora en Bitacoras.com: Os dejo hoy martes el problema de esta semana. Ahí va: Dado el conjunto , con , coloreamos cada uno de sus elementos de blanco o de negro según las siguientes reglas: y siempre se colorean del mismo color. Para algún primo…
Para j=1 se cumple siempre:
1 y n siempre son primos relativos; como i y i-1 son del mismo color, lo son 2 y 3, 3 y 4, 4 y 5, hasta n-1 y n, así que {2,3,4,…,n} son del mismo color; y como 1 y n-1 son del mismo color, 1 es del mismo color que el resto.
Supongamos que no todos los números se colorean igual y el 1 es blanco. Llamamos m al número más pequeño de color negro. Es fácil ver que m debe ser menor o igual que j/2. Por la regla 1, el número n-m debe ser negro y, suponiendo que es mayor que j, podemos aplicar la regla 2 repetidas veces hasta llegar a un número menor o igual que j. Es decir, n-m módulo j debe ser negro y, aplicando 2 una vez más, m-n módulo j también. De la misma forma, si aplicamos primero la regla 2, obtenemos que j-m… Lee más »
Coloreamos el 1 de blanco (o de negro) y, por la primera propiedad, 1 y n-1 son del mismo color.
Como n-1 es primo relativo con n, para cualquier n, tenemos que:
– Por la propiedad 2, 1 y |(n-1)-1|=n-2 son del mismo color y, por la primera propiedad, n-2 y 2 también lo son.
– Por la propiedad 2, 2 y |(n-1)-2|=n-3 son del mismo color y, por la primera propiedad, n-3 y 3 también lo son.
– Y así sucesivamente…
Damiancete, la regla 2 dice que «para algún j primo con n …» y n-1 no tiene por qué ser el único primo con n que hay en el conjunto.Tienes que probarlo para todos ellos.
JJGJJG, toda la razón. No podía ser tan fácil 🙂
Dado j para el que se cumple la condición (2.), es fácil ver que los primeros j-1 términos son del mismo color, pues: abs(j-(j-1))=1 , abs(j-(j-2))=2,… abs(j-(j-m))=m 1<=m <j Si n<2j, por la condición (1.) el color de m es igual a el color de n-m . n-m<2j-m (1<=m<j) en su valor máximo m=j-1, por lo cual el color de j-1 y el color de n-(j-1) son iguales. n-j+1<2j-j+1=j+1 como n-(j-1)<2j Sea w en los naturales tal que: (w+1)j >n>wj Sea z en los naturales tal que wj<z<n, de la forma z=wj+r con 0<r<n-wj , r en los naturales. en… Lee más »
No se que ocurrió con mi comentario anterior, pero aquí pongo la parte faltan-te de la demostración: De donde se puede apreciar que, el color de cada z-Qj (0<=Q wj > n-j Por argumentos como los del caso anterior en que 2j>n, los conjuntos {n-1,n-2 ,…,n-j} y {1,2,…,j-1} son del mismo color y como z pertenece al {n-1,n-2 ,…,n-j}, cada z-Qj (0<=Qn-j, y como cada (w-R)j tiene el mismo color que wj, entonces todos los números de la forma (w-R)j tienen el mismo color que el conjunto {n-1,n-2 ,…,n-j}. Para probarlo en los números de la forma n-Tj, solo hace… Lee más »
Nuevamente, el comentario anterior se publico de forma cortada, por lo que vuelvo a escribir lo que no se puede leer. De donde se puede apreciar que, el color de cada z-Qj (0<=Qn, los conjuntos {n-1,n-2 ,…,n-j} y {1,2,…,j-1} son del mismo color y como z pertenece al conjunto {n-1,n-2 ,…,n-j}, cada z-Qj debe ser del mismo color que dicho conjunto. Falta probar que los numeros de la forma (w-R)j y n-Tj son todos del mismo color. Para esto, basta con ver que wj>n-j, por lo que wj tiene el mismo color que el conjunto {n-1,n-2 ,…,n-j}, como cada (w-R)j… Lee más »
Verdaderamente, lamento hacer algo que parece spam, pero al dar vista previa siempre aparece correctamente, y al momento de publicar el comentario es modificado
Hoola, verán he creado ahora mismo esta petición por favor echenle un vistazo por favor y SIENTANSE LIBRES DE DISTRIBUIR ESTE ENLACE
https://www.change.org/p/jose-ignacio-wert-reformar-la-burocracia-del-csic-para-dotarlo-de-más-medios-captar-investigadores-e-impulsar-nuestra-econom%C3%ADa-a-base-de-la-ciencia
Sea el conjunto de los múltiplos de (dado por la condición 2). Para cada uno de los , sea el resto de la división entera de y , esto es, con . Veamos, por inducción sobre , que y están pintados del mismo color. Para es obvio. Supongamos cierto para y veamos que también lo es para . Tenemos que de donde luego . Como , se tiene que , luego o bien, en cuyo caso , o bien en cuyo caso . En ambos casos, se concluye (aplicando las condiciones (1) ó (2)) que y están pintados del mismo… Lee más »
Por 1a regla, está claro que 1 y n-1 deben colorearse con el mismo color. Para la regla 2, exige para algún j, con que basta demostrar que 1 es primo relativo de n, i y |1-i| (es dicir, para j=1) para todo i perteneciente a N por el método de inducción: 1) Con i=1 se cumple, pues: mcd(1,n)=1, para cualquier n>=3 natural mcd(1,1)=1 mcd(1,|1-1|)=1, pues 0 solamente es primo relativo con 1 y -1. 2) Establecer hipótesis de inducción (HI) con i=k-1 para luego demostrar con k: mcd(1,n)=1 mcd(1,k-1)=1 mcd(1,|1-(k-1)|)=1 => mcd(1,k)=1 3) Demostrar para i=k: mcd(1,n)=(HI)=1, lo cual… Lee más »
Hola Eloy, creo que es una casi demostración a un problema casi igual que el problema inicial, me explico: 1) En la 2a regla, creo que lo lógico es interpetarlo como que, si j es coprimo con n, entonces i y |j-i| se colorean del mismo color, (2 a 2), para todo i distinto de j. 2) Entiendo que demostraste por inducción, que para j=1 cumple que es coprimo de esos 3 valores, para todo i. Creo que se podría demostrar directamente, pues 1 es coprimo con cualquier entero. Aún así, esto no te asegura, como ya se comentó, que… Lee más »