Vamos con un problemita que hace tiempo que no ponemos ninguno:

Sea f(x)=ln(ln(cos(x))), con x en el intervalo [0,Pi/2). Calcular f'(x) (su derivada)

Pensad antes de contestar.

Solución:

La solución es la siguiente: no podemos calcular su derivada. Vamos a explicar un poco el tema:

Para empezar vamos a aclarar el tema de real o complejo. Si decimos que x está en el intervalo [0,Pi/2) creo que está suficientemente claro que tomamos x real. Además, si hablamos de logaritmo neperiano estamos hablando de números reales. El logaritmo complejo es logaritmo a secas.

Aclarado esto pasamos al problema en cuestión:

Decimos que x está en el intervalo [0,Pi/2). En ese caso cos(x) toma valores entre 0 y 1 (de forma decreciente, es decir, pasa de 1 a 0, aunque éste no lo llega a tomar por ser abierto el intervalo). Al aplicar el primer logaritmo a esos valores resulta siempre un número negativo (recordemos que el logaritmo neperiano de un número entre 0 y 1 da como resultado un número negativo). Por tanto el segundo logaritmo neperiano estaría aplicado a un número negativo…lo cual es imposible ya que el logaritmo neperiano (en realidad cualquier logaritmo real) no está definido para número negativos. Todo esto nos dice que el dominio de nuestra función es el conjunto vacío y por tanto ni siquiera podemos plantearnos el cálculo de esa derivada.

Este ejemplo nos ayuda a recordar que antes de comenzar a hacer ningún cálculo con una función debemos tener en cuenta en qué conjunto podemos hacer ese cálculo. El conocimiento del dominio de una función es fundamental para el estudio de la misma.

Espero que todo el mundo lo haya entendido. Si no es así comentadlo.

Saludos.

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