Introducción
El número , constante asociada a la circunferencia y al círculo, que condiciona la elección de parejas de números primos relativos, que puede aparecer en cualquier momento de nuestra vida, en los lugares más insospechados (hasta al tirar una aguja)…Este número,
, es un número irracional (hecho que ya conocemos por partida doble, I y II). Pero también es un número trascendente. Recordemos la definición de número algebraico y número trascendente:
- Un número real
es algebraico si existe un polinomio
con coeficientes enteros tal que
, es decir,
es raíz de
.
- Un número real
es trascendente si no es algebraico, es decir, si no existe ningún polinomio con coeficientes enteros tal que
sea raíz de él.
Es decir, lo que estamos diciendo es que no existe ningún polinomio con coeficientes enteros tal que sea una raíz del mismo. Y eso mismo es lo que vamos a demostrar.
El número
es trascendente
Vamos a demostrar el siguiente resultado:
Teorema:
El número es trascendente sobre
.
Demostración
En primer lugar tenemos que si fuera raíz de un polinomio con coeficientes en
, entonces el número
también sería raíz de un polinomio de este tipo (no necesariamente del mismo). Sea este polinomio
. Suponiéndolo de grado
sus raíces serán
.
Por otra parte sabemos que . Entonces:
(1)
Ahora, dado que los son raíces de una ecuación polinómica con coeficientes racionales,
, las sumas de cada dos raíces también serán raíces de una ecuación polinómica con coeficientes racionales, digamos
, las sumas de cada tres raíces igual, digamos
, y así sucesivamente. Entonces la ecuación:
es una ecuación polinómica cuyas raíces son todas las sumas que pueden hacerse entre los . Eliminando las raíces que sean cero (si las hay) obtenemos que
, es decir, un polinomio de grado
con coeficientes en
que además cumple que
, ya que hemos eliminado las soluciones igual a cero que pudiera haber. Y además conocemos sus raíces: son todos los exponentes distintos de cero de
que aparecen al desarrollar el producto (1) anterior. Llamando
a estas raíces obtenemos que:
Esto es:
donde es un número entero estrictamente mayor que cero (ya que siempre aparece algún
).
Definimos ahora la siguiente función:
donde y
se determinará más adelante.
Tomando ahora la función así:
tenemos que
de la misma forma que se vio en el post del pasado lunes. Por tanto:
Multiplicamos la igualdad anterior por y tomamos
obtenemos:
Consideremos ahora en el rango de los
y sumemos en
. Como
llegamos a lo siguiente:
Y ahora viene la clave de la demostración: para valores suficientemente grandes de el lado izquierda de esta última igualdad es un entero distinto de cero. Vamos a intentar explicar el porqué.
Por definición de se tiene que
para
. Cada derivada de orden
o mayor tiene un factor
y un factor
y
es un polinomio en
como mucho de grado
. La suma es simétrica, y dado que cada coeficiente es divisible entre
esa suma es un número entero. Entonces, al tener a
como factor se tiene lo siguiente:
, con
Entonces el lado izquierdo de la igualdad es un entero más . Veamos ahora qué es
.
Se tiene lo siguiente:
Por tanto el lado izquierdo de la igualdad es un entero múltiplo de . Este término no es divisible por
tomando este primo
. Por tanto, para valores suficientemente grandes de
se tiene que esa parte izquierda de la igualdad es un entero distinto de cero. Pero por otra parte, cuando
tiende a infinito se tiene que la parte derecha de la igualdad tiende a cero. Esto es una contradicción que partió de considerar que
era un número algebraico. Por tanto ya tenemos el resultado buscado:
El número
es trascendente
Aplicación
Una de las aplicaciones más conocidas de la trascendencia de es la imposibilidad de cuadrar un círculo.
Fuente:
- The trascendence of
artículo en el que Steve Mayer, de Mathematics Weblog, reproduce la demostración dada por Ian Stewart en un curpo sobre Anillos y Cuerpos en 1970. La demostración sobre la trascendencia del número
publicada en Gaussianos el pasado lunes también aparece en dicho documento.
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[…] Cómo demostrar que π (pi) es trascendente | Gaussianos gaussianos.com/como-demostrar-que-%CF%80-pi-es-trascendente – view page – cached El número , constante asociada a la circunferencia y al círculo, que condiciona la elección de parejas de números primos relativos, que puede aparecer en cualquier momento de nuestra vida,… Read moreEl número , constante asociada a la circunferencia y al círculo, que condiciona la elección de parejas de números primos relativos, que puede aparecer en cualquier momento de nuestra vida, en los lugares más insospechados (hasta al tirar una aguja)…Este número, , es un número irracional (hecho que ya conocemos por partida doble,… Lee más »
Ok
Hay algo que no acabo de entender.
Se define la trascendencia de un número real ‘alpha’ haciendo referencia a la existencia de un polinomio de coeficientes enteros.
Por otra parte, se empieza la demostración diciendo que se va a trabajar en la trascendencia ‘pi’ sobre Q (números racionales).
Se me mezclan los conjuntos de números, y no acabo de ver qué subconjuntos estamos dejando al margen en cada caso, y por qué.
Si es algebraico sobre , entonces existe un polinomio con coeficientes enteros que lo tiene como raiz. Como esos coeficientes enteros son desde luego racionales, es algebraico sobre . Por otra parte, si es algebraico sobre , existe un polinomio con coeficientes racionales que lo tiene como raiz. Si multiplicas el polinomio por el producto de todos los denominadores de todos los cocientes (o el mínimo común múltiplo si prefieres) obtienes un polinomio con coeficientes enteros que también tiene a como raiz. Luego también es algebraico sobre los enteros. Concluimos: algebraico sobre algebraico sobre Y evidentemente es equivalente a trascendente… Lee más »
Para os interessados aqui deixo o link para o artigo original (em alemão) de F. Lindemann que demonstrou em 1882 a transcendência de
nos Math. Annalen:
Über die Zalh π, Math. Annalen 20 (1882), 213–225.
http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/#navi
Parabéns por este vosso artigo.
[…] Cómo demostrar que el número "pi" es trascendente gaussianos.com/como-demostrar-que-%cf%80-pi-es-trascendente/… por atalanta el 07:50 UTC […]
Lástima. Los tres posts (éste, el del número e, y el del postulado de Bertrand) más interesantes de Gaussianos me cogen en una época en la que no puedo dedicar ni cinco minutos para pensarlos.
Me encantaría poder mirarlos con detenimiento y comentar, para ver si entre todos resolvíamos las dudas que surgieran.
Otra vez será. Gracias y saludos
Toro Sentado, los artículos van a seguir por aquí, o sea que dentro de un tiempo puedes retomarlos :).
Luego de la línea «Estos es:» se ha escrito
en lugar de
Debería editarse esto. Saludos.
Gracias edwin, lo cambio ahora mismo.
Como provar que um dos números
s = pi + e
e
d = pi – e
é transcendente?
la suma de dos algebraicos es algebracio, resultado que se puede deducir con el resultante de los dos polinomios que tienen como raices, respectivamente
y
, que tienen que existir si fueran los dos algebraicos. Luego
es algebraico que es absurdo por el post anterior.
Hola, no entendí la parte marcada en negrita, que justamente es la importante… Alguien podría explicarme mejor eso de que cada coeficiente es un número entero?? Es lo que me falta entender, pero es lo más importante, sin entender eso no entiendo la demostración…
[…] así es. Como ya sabemos, Lindemann demostró que es un número trascendente, hecho que implica que la cuadratura del círculo es una construcción imposible…¿Seguro? […]
[…] Cómo demostrar que π (pi) es trascendente, Gaussianos, 2009 […]
[…] de la trascendencia de Pi data de 1882, y fue desarrollada por Ferdinand von Lindemann (aquí tenéis una prueba de dicho resultado), pero dicha información no llegó a España hasta unos […]
[…] así es. Como ya sabemos, Lindemann demostró que es un número trascendente, hecho que implica que la cuadratura del círculo es una construcción imposible…¿Seguro? Sí, […]
Día pi: el número que fascina a los matemáticos
El número pi reserva todavía muchos misterios a los expertos del siglo XXI, y su historia está plagada de anécdotas jugosas y relaciones interesantes Antonio Córdoba El número Pi. Pixabay Que la razón entre la longitud de cualquier circunferencia y su…
( Lo que sigue es una broma ¿Vale? )
¡
ES ALGEBRAICO !
Cojan la calculadora y comprueben que:
Otras «demostraciones» más burdas son:
O la clásica
Si todavía sigues siendo exceptico… prueba con las siguientes:
Las expresiones anteriores han sido obtenidas mediante ensayo-error (es decir, con un ordenador y «algo» de paciencia).
Hola a todos. ¿Alguien conoce la demostración original de Lindemann de la trascendencia de $\pi$? ¿Me la podría mostrar?
No sale todo lo que he escrito. No sé por qué.
Solo dice: «Comentario duplicado: ¡parece que ya había sido enviado antes!».
Si, lo he publicado antes, pero en un comentario a un vídeo de YOUTUBE. Y quería hacerle unas correcciones. El problema es que ese comentario en el vídeo de YOUTUBE, se puede ver solo entrando desde mi cuenta. Es extraño. Deberían dejar editar en forma permanente, como en algunos periódicos
Un trabajo excelente, sobre temas realmente matemáticos. Felicitaciones
supongamos un área conocida para el cuadrado 8 unidades cuadradas
A=πr2 = L x L = 8 de donde despejando π x r2 = L 2 = 8 r2 = 8/3.1416 = 2.5464731 :.
r = 1.5957672
El área del circulo = πr2 = 2.5464731 x 3.1416 =7.9999998
El área del cuadrado = 8 unidades cuadradas o sea áreas iguales
Gracias..