Introducción

El número \pi, constante asociada a la circunferencia y al círculo, que condiciona la elección de parejas de números primos relativos, que puede aparecer en cualquier momento de nuestra vida, en los lugares más insospechados (hasta al tirar una aguja)…Este número, \pi, es un número irracional (hecho que ya conocemos por partida doble, I y II). Pero también es un número trascendente. Recordemos la definición de número algebraico y número trascendente:

  • Un número real \alpha es algebraico si existe un polinomio p(x) con coeficientes enteros tal que p( \alpha)=0, es decir, \alpha es raíz de p(x).
  • Un número real \alpha es trascendente si no es algebraico, es decir, si no existe ningún polinomio con coeficientes enteros tal que \alpha sea raíz de él.

Es decir, lo que estamos diciendo es que no existe ningún polinomio con coeficientes enteros tal que \pi sea una raíz del mismo. Y eso mismo es lo que vamos a demostrar.

El número \pi es trascendente

Vamos a demostrar el siguiente resultado:

Teorema:

El número \pi es trascendente sobre \mathbb{Q}.

Demostración

En primer lugar tenemos que si \pi fuera raíz de un polinomio con coeficientes en \mathbb{Q}, entonces el número i \pi también sería raíz de un polinomio de este tipo (no necesariamente del mismo). Sea este polinomio p_1 (x). Suponiéndolo de grado n sus raíces serán \alpha _1=i \pi, \alpha _2, \ldots , \alpha _n.

Por otra parte sabemos que e^{i \pi}+1=0. Entonces:

(e^{\alpha _1}+1) (e^{\alpha _2}+1) \ldots (e^{\alpha _n}+1)=0 (1)

Ahora, dado que los \alpha _i son raíces de una ecuación polinómica con coeficientes racionales, p_1(x)=0, las sumas de cada dos raíces también serán raíces de una ecuación polinómica con coeficientes racionales, digamos p_2 (x)=0, las sumas de cada tres raíces igual, digamos p_3 (x)=0, y así sucesivamente. Entonces la ecuación:

p(x)=p_1(x) p_2(x) \ldots p_n(x)=0

es una ecuación polinómica cuyas raíces son todas las sumas que pueden hacerse entre los \alpha _i. Eliminando las raíces que sean cero (si las hay) obtenemos que p(x)=c x^r+ c_1 x^{r-1}+ \ldots + c_r, es decir, un polinomio de grado r con coeficientes en \mathbb{Q} que además cumple que c_r \ne 0, ya que hemos eliminado las soluciones igual a cero que pudiera haber. Y además conocemos sus raíces: son todos los exponentes distintos de cero de e que aparecen al desarrollar el producto (1) anterior. Llamando \beta _1, \ldots , \beta _r a estas raíces obtenemos que:

e^{\beta _1}+ \ldots + e^{\beta _r}+e^0+ \ldots + e^0=0

Esto es:

\displaystyle{\sum_{i=1}^r e^{\beta _i} +k=0}

donde k es un número entero estrictamente mayor que cero (ya que siempre aparece algún 1).

Definimos ahora la siguiente función:

f(x)=c^s x^{p-1} \cfrac{\lbrack p(x) \rbrack ^p}{(p-1)!}

donde s=rp-1 y p se determinará más adelante.

Tomando ahora la función F(x) así:

F(x)=f(x)+f^\prime (x)+ \ldots + f^{s+p)} (x)

tenemos que

\cfrac{d}{dx} \lbrack e^{-x} F(x) \rbrack =-e^{-x} f(x)

de la misma forma que se vio en el post del pasado lunes. Por tanto:

e^{-x} F(x)- F(0)=- \displaystyle{\int_0^x e^{-y} f(y) dy}

Multiplicamos la igualdad anterior por e^x y tomamos y=\lambda x obtenemos:

F(x)-e^x F(0)=-x \displaystyle{\int_0^1 e^{(1- \lambda )x} f(\lambda x) d \lambda}

Consideremos ahora x en el rango de los \beta _i y sumemos en i. Como \sum e^{\beta _i} +k=0 llegamos a lo siguiente:

\displaystyle{\sum_{i=1}^r F(\beta _i)+k F(0)=-\sum_{i=1}^r \beta _i \int_0^1 e^{(1- \lambda) \beta _i} f(\lambda \beta _i) d \lambda}

Y ahora viene la clave de la demostración: para valores suficientemente grandes de p el lado izquierda de esta última igualdad es un entero distinto de cero. Vamos a intentar explicar el porqué.

Por definición de f se tiene que \displaystyle{\sum_{i=1}^r f^{t)} (\beta _i)=0} para 0 < t < p. Cada derivada de orden p o mayor tiene un factor p y un factor c^s y f^{t)} (\beta _i) es un polinomio en \beta _i como mucho de grado s. La suma es simétrica, y dado que cada coeficiente es divisible entre c^s esa suma es un número entero. Entonces, al tener a p como factor se tiene lo siguiente:

\displaystyle{\sum_{i=1}^r f^{t)} (\beta _i)=p k_t}, con t=p, \ldots , p+s

Entonces el lado izquierdo de la igualdad es un entero más k F(0). Veamos ahora qué es F(0).

Se tiene lo siguiente:

\begin{matrix} f^{t)} (0)=0, \; t=0, \ldots , p-2 \\ \\ f^{p-1)} (0)=c^s c_r^p \; (c_r \ne 0) \\ \\ f^{t)} (0)= p (entero), \; t=p, p+1, \ldots \end{matrix}

Por tanto el lado izquierdo de la igualdad es un entero múltiplo de p+c^s c_r^p k. Este término no es divisible por p tomando este primo p >k,c,c_r. Por tanto, para valores suficientemente grandes de p se tiene que esa parte izquierda de la igualdad es un entero distinto de cero. Pero por otra parte, cuando p tiende a infinito se tiene que la parte derecha de la igualdad tiende a cero. Esto es una contradicción que partió de considerar que \pi era un número algebraico. Por tanto ya tenemos el resultado buscado:

El número \pi es trascendente

Aplicación

Una de las aplicaciones más conocidas de la trascendencia de \pi es la imposibilidad de cuadrar un círculo.

Fuente:

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