A estas alturas el hecho de que que el número e sea irracional (es decir, que no se puede expresar como cociente de dos números enteros) es bien conocido por muchos de los que hemos tenido algún contacto con las matemáticas. Pero, ¿sabemos demostrarlo?
En Gaussianos ya publicamos una demostración de la irracionalidad del número e. Hoy vamos a ver otra que esencialmente es la misma, pero que ahorra un pelín en uno de los últimos pasos.
Vamos a razonar, como en muchas ocasiones, por reducción al absurdo (para quien todavía no sepa en qué consiste este método de demostración, en este post expliqué cómo funciona). Supongamos que el número e es racional, es decir,
, con
números enteros.
Dando la vuelta a la fracción y utilizando la expresión de como suma infinita,
obtenemos lo siguiente:
Separamos esta suma en dos sumandos, uno en el que va de
a
y otro en el que va de
a infinito. La igualdad anterior queda de la siguiente forma:
Si pasamos restando la primera de esas sumas al miembro de la izquierda nos queda lo siguiente:
Multiplicamos ahora a ambos lados por . Queda
Y simplificando obtenemos lo siguiente:
Analicemos el lado izquierdo de la igualdad. El primer término, , es claramente un número entero. Y el segundo,
, también lo es, al ser
(hecho que, entre otras cosas, asegura que todas esas fracciones son números enteros). Por tanto, el lado izquierdo de esa igualdad es un número entero.
Veamos ahora qué ocurre con el lado derecho. Desglosemos dicha suma:
Sabemos que esta serie alternada es convergente (por el criterio de Leibniz), y sabemos que su suma, , será un valor real entre el primer término y la suma de los dos primeros términos manteniendo los signos (¿por qué?), que son
y
que por ser son dos números que están entre 0 y 1. Por tanto,
, por lo que
, el lado derecho de la igualdad, no puede ser un número entero. Pero el lado izquierdo de la igualdad sí lo era. Ésta es la contradicción buscada: un número entero no puede ser igual a un número no entero.
Esta contradicción proviene del hecho de suponer que el número e es racional, por lo que esto implica que el número e es un número irracional.
Cierto es que el concepto «elemental» es muy relativo y depende muy mucho de los conocimientos y de la soltura que tenga cada uno con estos temas. Pero teniendo en cuenta que los resultados utilizados no exceden de lo que debe saber un alumno de primero de una carrera científica creo que la demostración aquí explicada puede calificarse como elemental sin riesgo de exagerar. ¿Qué pensáis vosotros?
Vista en Elementary proof that e is irrational.
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Ciertamente, que es elemental.
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: A estas alturas el hecho de que que el número e sea irracional (es decir, que no se puede expresar como cociente de dos números enteros) es bien conocido por muchos de los que hemos tenido algún contacto con las matemátic……
Hay una errata en la fórmula que sigue a:
«Si pasamos restando la primera de esas sumas al miembro de la izquierda nos queda lo siguiente:»
falta un signo – en el primer miembro, entre b/a y el sumatorio.
Muy bonita la demostración, si.
Sí es elemental porque es la primera vez que entiendo la demostración de la irracionalidad de e.
jjbbrr, no, no es una errata, es que se une a a línea de la fracción. Le pongo un espacio ahora mismo.
Muy Bien explicada la demostración: Muy aclaratorio el final: Ésta es la contradicción buscada: un número entero no puede ser igual a un número no entero. Algunos se querían con ‘Ésta es la contradicción buscada’ y algunos nos quedariamos con a pregunta: Cual es la contradicción? después de habernos perdido a medio razonamiento. Les dejo un fragmento (que me vino a la mente, no se porque) de libro -Los Grandes Matemáticos-‘E.T. Bell’: _______________________________________________________________ ‘El concepto de «transcendencia» es extraordinariamente simple y también extraordinariamente importante. Cualquier raíz de una ecuación algebraica cuyos coeficientes son enteros racionales (0, ±1, ±2, …) se… Lee más »
Corregidme si me equivoco pero esta demostración no muy retocada permitiría probar la irracionalidad de e^x con x racional no nulo.
Creo que voy a intentar demostrarlo, porque la cosa promete……
Grrrr. He fallado en intentar demostrar de que con ligeros retoques de la demostración elemental se podía demostrar que e^x es irracional para todo x racional no nulo.
Como dato positivo, mi conjetura no iba desencaminada: en efecto e^x es irracional para todo x racional no nulo. Si suponemos conocido que e es transcendente la demostración es muy sencilla:
Suponiendo que e^(p/q) es racional, también lo sería e^p pues e^p=[e^(p/q)] ^q .
Pero de ser e^p racional tendríamos que e^p=a/b luego e sería raíz del polinomio de coeficientes enteros b•x^p-a luego e no sería transcendente. Contradicción.
Se podría dar un argumento más directo observando que laserie
es una serie alternada cuyos términos decrecen en valor absoluto:
Sea
la sucesión de sumas parciales de dicha serie, entonces se verifica que
luego 
Observemos
es entero para todo
. Si
fuese racional, tomando
suficientemente grande,
también es entero. Pero entonces tendríamos un entero en el intervalo
lo que es imposible.
Uhm, creo que hay una pequeña errata, después de donde dice
y sabemos que su suma, S, será un valor real entre el primer término y la suma de los dos primeros términos
Ciertamente el primer término es una cota de la serie, pero una cota superior, y por cota inferior efectivamente podemos tomar la suma de los dos primeros términos, pero respetando el signo, vamos, que que donde pone
debería de poner
De nuevo ambos números están entre 0 y 1 y por tanto el resto de demostración vale igualmente.
En mi comentario anterior, quise decir
es entero para todo
(se me olvidó quitar lo que sobra al hacer copy/paste).
Cierto Zurditorium, lo cambio ahora mismo. por cierto, ya he arreglado lo de tus comentarios. El problema es que el plugin de edición de comentarios se lleva mal con las contrabarras. Lo que hace cada vez que editas es quitar una de donde la encuentre, por lo que una solución para que no se cargue el comentario es poner dos contrabarras donde deba haber una. Así quitará una y dejará la otra :).
Aunque bueno, siempre se puede utilizar la Vista Previa antes de publicar el comentario…aunque creo que nadie la usa grrrr :D.
[…] Demostración "elemental" de que el número e es irracional gaussianos.com/demostracion-elemental-de-que-el-numero-e-… por gabrielin hace nada […]
[…] de Queso y Caramelo 4 alma 20 Demostración "elemental" de que el número e es irracional top por Goefry en ciencia | matemáticas hace […]
Porqué es entera la segunda parte del lado izquierdo de la desigualdad? El -1 elevado vale, pero el sumatorio?
futurama, como el sumatorio llega hasta
tenemos que
es siempre menor que
, por lo que
es siempre un múltiplo de
, y en consecuencia esa división es un número entero positivo.
¿Entendido? 🙂
Disculpen pero…
0.9999999 (periódico puro) = 1
ok lo sé ese «=» en realidad significa «converge a»
No Luis Felipe el Nº 0.9999 (periódico puro) es =1 (no converge, es el mismo Nº en otra representación)
1 = 3/3 = 3 * (1/3) = 3 * 0.33333 (p.p.) = 0.999999 (p.p.)
Luis Felipe, echa un ojo a esto:
igualdad extraña
[…] Источник: https://gaussianos.com/demostracion-elemental-de-que-el-numero-e-es-irracional/ […]
Por favor, si alguien quisiera instruirme al respecto de este pensamiento relacionado con esta demostración.
De los números a y b no se sabe más que son números enteros. Lo cierto es que pueden ser tan grandes como queramos, aú siendo coprimos, pues el conjunto de los primos es infinito.
¿ podría ser a=(n+1)! ó (a= n elevado a n)? Siendo esta n la misma que la de la demostración.
Gracias, un saludo.
La fórmula del final no se ve
Ya está arreglado. Muchas gracias por el aviso :).
Hola gaussianos , me darias una ayudita con la suma de 1/7^1! + 1/7^2! + 1/7^3!+…+ 1/7^n! + …..
Es irracional ? O no como lo demostrarias?