A estas alturas el hecho de que que el número e sea irracional (es decir, que no se puede expresar como cociente de dos números enteros) es bien conocido por muchos de los que hemos tenido algún contacto con las matemáticas. Pero, ¿sabemos demostrarlo?

En Gaussianos ya publicamos una demostración de la irracionalidad del número e. Hoy vamos a ver otra que esencialmente es la misma, pero que ahorra un pelín en uno de los últimos pasos.

Vamos a razonar, como en muchas ocasiones, por reducción al absurdo (para quien todavía no sepa en qué consiste este método de demostración, en este post expliqué cómo funciona). Supongamos que el número e es racional, es decir,

e=\cfrac{a}{b}, con a,b números enteros.

Dando la vuelta a la fracción y utilizando la expresión de e^x como suma infinita,

e^x=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \cfrac{x^n}{n!}}

obtenemos lo siguiente:

\cfrac{b}{a}=e^{-1}=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \cfrac{(-1)^n}{n!}}

Separamos esta suma en dos sumandos, uno en el que n va de {0} a a y otro en el que va de a+1 a infinito. La igualdad anterior queda de la siguiente forma:

\cfrac{b}{a}=\displaystyle{\sum_{n=0}^{a} \cfrac{(-1)^n}{n!}+\sum_{n=a+1}^{\infty} \cfrac{(-1)^n}{n!}}

Si pasamos restando la primera de esas sumas al miembro de la izquierda nos queda lo siguiente:

\cfrac{b}{a} \; \displaystyle{-\sum_{n=0}^{a} \cfrac{(-1)^n}{n!}=\sum_{n=a+1}^{\infty} \cfrac{(-1)^n}{n!}}

Multiplicamos ahora a ambos lados por (-1)^{a+1} \cdot a!. Queda

(-1)^{a+1} \cdot a! \cdot \cfrac{b}{a} \displaystyle{-(-1)^{a+1} \cdot a! \cdot \sum_{n=0}^{a} \cfrac{(-1)^n}{n!}=(-1)^{a+1} \cdot a! \cdot \sum_{n=a+1}^{\infty} \cfrac{(-1)^n}{n!}}

Y simplificando obtenemos lo siguiente:

(-1)^{a+1} \cdot (a-1)! \cdot b \displaystyle{-(-1)^{a+1} \cdot \sum_{n=0}^{a} (-1)^n \cfrac{a!}{n!}=(-1)^{a+1} \cdot \sum_{n=a+1}^{\infty} (-1)^n \cfrac{a!}{n!}}

Analicemos el lado izquierdo de la igualdad. El primer término, (-1)^{a+1} \cdot (a-1)! \cdot b, es claramente un número entero. Y el segundo, \displaystyle{-(-1)^{a+1} \cdot \sum_{n=0}^{a} (-1)^n \cfrac{a!}{n!}}, también lo es, al ser n \le a (hecho que, entre otras cosas, asegura que todas esas fracciones son números enteros). Por tanto, el lado izquierdo de esa igualdad es un número entero.

Veamos ahora qué ocurre con el lado derecho. Desglosemos dicha suma:

\displaystyle{\sum_{n=a+1}^{\infty} (-1)^{n+a+1} \cdot \cfrac{a!}{n!}=\cfrac{1}{a+1}-\cfrac{1}{(a+1)(a+2)}+\cfrac{1}{(a+1)(a+2)(a+3)}- \dots}

Sabemos que esta serie alternada es convergente (por el criterio de Leibniz), y sabemos que su suma, S, será un valor real entre el primer término y la suma de los dos primeros términos manteniendo los signos (¿por qué?), que son

\cfrac{1}{a+1} y \cfrac{1}{a+1}-\cfrac{1}{(a+1)(a+2)}=\cfrac{a+1}{(a+1)(a+2)}=\cfrac{1}{a+2}

que por ser a \ge 1 son dos números que están entre 0 y 1. Por tanto, 0 < S < 1, por lo que S, el lado derecho de la igualdad, no puede ser un número entero. Pero el lado izquierdo de la igualdad sí lo era. Ésta es la contradicción buscada: un número entero no puede ser igual a un número no entero.

Esta contradicción proviene del hecho de suponer que el número e es racional, por lo que esto implica que el número e es un número irracional.

Cierto es que el concepto «elemental» es muy relativo y depende muy mucho de los conocimientos y de la soltura que tenga cada uno con estos temas. Pero teniendo en cuenta que los resultados utilizados no exceden de lo que debe saber un alumno de primero de una carrera científica creo que la demostración aquí explicada puede calificarse como elemental sin riesgo de exagerar. ¿Qué pensáis vosotros?

Vista en Elementary proof that e is irrational.

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