Arquímedes demostró en su obra Sobre la medida del círculo la siguiente desigualdad relacionada con el número π:

Desigualdad de Arquímedes para π

Podéis comprobar con la calculadora que la desigualdad es totalmente cierta.

El genio griego utilizó para ello polígonos inscritos y circunscritos a una circunferencia.

El número 22/7 se tiene desde entonces como una gran aproximación del número π teniendo en cuenta lo simple que es la fracción y las pocas herramientas de las que se disponía en aquella época. En este post vamos a ver una demostración de que este cociente es mayor que π utilizando integrales:

22/7 > π

Para comenzar tomamos la siguiente función:

Función a integrar

Esta función es no negativa en el intervalo [0,1]. Por tanto su integral en ese intervalo es positiva. Partimos de este dato:

Integral positiva

Desarrollamos el numerador y simplificamos. Nos queda lo siguiente:

Desarrollo y simplificación de la función

Ahora calculamos las sencilla integrales que nos han quedado y evaluamos (recordemos los valores de arctan(1) y arctan(0)):

Resolución de la integral

Tomando el principio y el final del desarrollo anterior obtenemos lo buscado:

Resultado buscado: 22/7 es mayor que π

Interesante manera de demostrar este hecho. ¿No os parece?. A ver quién es capaz de encontrar otra forma curiosa de comprobarlo.

Fuente: Proof that 22 over 7 exceeds π en la Wikipedia (inglés)

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