Arquímedes demostró en su obra Sobre la medida del círculo la siguiente desigualdad relacionada con el número π:

\cfrac{223}{71} < \pi < \cfrac{22}{7}

Podéis comprobar con la calculadora que la desigualdad es totalmente cierta.

El genio griego utilizó para ello polígonos inscritos y circunscritos a una circunferencia.

El número 22/7 se tiene desde entonces como una gran aproximación del número π teniendo en cuenta lo simple que es la fracción y las pocas herramientas de las que se disponía en aquella época. En este post vamos a ver una demostración de que este cociente es mayor que π utilizando integrales:

22/7 > π

Para comenzar, tomamos la siguiente función:

f(x)=\cfrac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}

Esta función es no negativa en el intervalo [0,1]. Por tanto, su integral en ese intervalo es positiva. Partimos de este dato:

0 < \displaystyle{\int_0^1 \cfrac{x^4(1-x)^4}{1+x^2} \, dx}=

Desarrollamos el numerador y simplificamos. Nos queda lo siguiente:

=\displaystyle{\int_0^1 \cfrac{x^4-4x^5+6x^6-4x^7+x^8}{1+x^2} \, dx=\int_0^1 \left ( x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4-\cfrac{4}{1+x^2} \right ) \, dx}=

Ahora, calculamos las sencillas integrales que nos han quedado y evaluamos (recordemos los valores de arctan(1) y arctan(0)):

=\left. \cfrac{x^7}{7}-\cfrac{2x^6}{3}+x^5-\cfrac{4x^3}{3}+4x-4\arctan{(x)} \right ]_0^1=\cfrac{1}{7}-\cfrac{2}{3}+1-\cfrac{4}{3}+4-\pi=\cfrac{22}{7}-\pi

Tomando el principio y el final del desarrollo anterior, obtenemos lo buscado:

\cfrac{22}{7}-\pi > 0 \Longrightarrow \mathbf{\cfrac{22}{7} > \pi}

Interesante manera de demostrar este hecho. ¿No os parece?. A ver quién es capaz de encontrar otra forma curiosa de comprobarlo.

Fuente: Proof that 22 over 7 exceeds π en la Wikipedia (inglés)

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