En más de una ocasión hemos comentado que la serie armónica es divergente, esto es, que la suma de la siguiente serie

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{1}{n}=1+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{4}+ \ldots}

es infinito. Pero también hemos visto que cambiando los signos de algunos de los términos el resultado de la suma puede ser un número real. Por ejemplo, si cambiamos los signos de los términos que están colocados en posiciones pares obtenemos una serie cuya suma es \log{(2)}:

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{(-1)^{n+1}}{n}=1-\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}-\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{5}- \ldots}=\log{(2)}

De hecho vimos en Reordenando, que es gerundio que a partir de esta última serie podíamos obtener cualquier número real reordenando sus términos convenientemente.

Por tanto, por ejemplo, podríamos obtener como suma el número \pi o cualquier múltiplo suyo, o e^{\pi}, o \pi^e…números todos ellos muy relacionados con la fecha de hoy, 14 de marzo, día de Pi por su escritura en notación estadounidense (3-14).

Pero vamos a darle una vuelta de tuerca más a este tema. En realidad conseguir \pi así podría dejar un sabor agridulce, una sensación de no haber conseguido demasiado, ya que, como hemos dicho, podemos obtener cualquier número real simplemente colocando los términos de forma adecuada. Por ello hoy os traigo un desarrollo de \pi como suma infinita que a mi me ha gustado mucho. Tanto que lo he llamado el desarrollo más bello de Pi como suma infinita, como refleja el título de este post. Sin paños calientes, aquí va:

\pi=1+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{4}-\cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{7}+\cfrac{1}{8}+\cfrac{1}{9}-\cfrac{1}{10}+\cfrac{1}{11}+\cfrac{1}{12}-\cfrac{1}{13}+ \ldots

Magnífico, ¿verdad? Cambiando algunos signos + por signos – en la serie armónica obtenemos una suma cuyo resultado es el número \pi. ¡¡Maravilloso!!

Pero…un momento…¿cómo están distribuidos esos signos? Es decir, ¿cuáles hay que cambiar? Pues muy sencillo:

  • Dejamos un + cuando el denominador de la fracción sea un primo de la forma 4m-1. También dejamos un + en la fracción con denominador 2.
  • Cambiamos a – si el denominador de la fracción es un primo de la forma 4m+1.
  • Si el número es compuesto ponemos el signo que quede al multiplicar los signos correspondientes a cada factor.

Por eso, por ejemplo, la de denominador 3=4 \cdot 1-1 lleva un +, la de denominador 13=4 \cdot 3+1 lleva un -, la de denominador 6=2 \cdot 3 lleva un + (porque los dos llevan un +) y la de denominador 10=2 \cdot 5 lleva un – (porque el 2 lleva un + y el 5 lleva un -). ¿Qué signo llevaría la de denominador 50=5 \cdot 5 \cdot 2? Tendría un – por el primero 5, otro – por el segundo 5 y un + por el dos, por lo que en conjunto tendría un - \cdot - \cdot +=+.

No me digáis que no os parece el desarrollo más bello de Pi como suma infinita que hayáis visto jamás.

Leonhard EulerPrimera pregunta que nos sugiere este tema: ¿quién descubrió esto? Pues seguro que a casi nadie le sorprende que fuera el gran Leonhard Euler el culpable de la creación de esta maravilla. Aparece en su obra cumbre, Introductio in Analysis Infinitorum, en el epígrafe 289 (página 292 del ejemplar en español que poseo).

Segunda, y evidente, pregunta que se nos podría ocurrir: ¿cómo se demuestra este resultado? Pues, bueno, en realidad Euler llegó a esta bella igualdad gracias al poco cuidado que tenía a la hora de manejar sumas infinitas. Es conocido que muchos de los resultados de Euler relacionados con series surgieron de operaciones no del todo rigurosas realizadas por el matemático suizo, pero que más adelante se demostró que eran correctas. De todas maneras, y aunque la demostración completa que aparece en el libro es algo elaborada, vamos a dar algunos detalles de la misma. Comienza con la expresión

A=1-\cfrac{1}{3^n}+\cfrac{1}{5^n}-\cfrac{1}{7^n}+\cfrac{1}{9^n}-\cfrac{1}{11^n}+\cfrac{1}{13^n}-\cfrac{1}{15^n}+ \ldots

Sumando y restando ciertas expresiones relacionadas con la propia expresión A elimina todos los términos excepto el 1 inicial, a partir de lo cual obtiene lo siguiente:

A=\cfrac{3^n}{3^n+1} \cdot \cfrac{5^n}{5^n-1} \cdot \cfrac{7^n}{7^n+1} \cdot \cfrac{11^n}{11^n+1} \cdot \cfrac{13^n}{13^n-1} \cdot \cfrac{17^n}{17^n-1} \cdot \ldots

En la primera expresión que hemos escrito para A, tenemos que si n=1 entonces A=\frac{\pi}{4} (serie de Leibniz), por lo que uniendo las dos expresiones para A obtenemos lo siguiente:

\cfrac{\pi}{4}=\cfrac{3}{3+1} \cdot \cfrac{5}{5-1} \cdot \cfrac{7}{7+1} \cdot \cfrac{11}{11+1} \cdot \cfrac{13}{13-1} \cdot \ldots

Dividiendo una serie obtenida anteriormente entre ésta obtiene lo siguiente:

\cfrac{\pi}{2}=\cfrac{3}{2} \cdot \cfrac{5}{6} \cdot \cfrac{7}{6} \cdot \cfrac{11}{10} \cdot \cfrac{13}{14} \cdot \cfrac{17}{18} \cdot \cfrac{19}{18} \cdot \cfrac{23}{22} \cdot \ldots

donde aparecen todas las fracciones cuyo numerador es un número primo y cuyo denominador es un número par que deja resto dos al dividirlo entre 4 y que es inmediatamente superior o inmediatamente inferior al primo que hay en el numerador.

Esta última expresión puede escribirse, dando la vuelta a las fracciones y colocándolas en el denominador, de la siguiente forma:

\cfrac{\pi}{2}=\cfrac{1}{\left (1-\cfrac{1}{3} \right ) \cdot \left (1+\cfrac{1}{5} \right ) \cdot \left (1-\cfrac{1}{7} \right ) \cdot \left (1-\cfrac{1}{11} \right ) \cdot \left (1+\cfrac{1}{13} \right ) \cdot \ldots}

Multiplicando los dos denominadores por 1-1/2 obtenemos

\pi=\cfrac{1}{\left ( 1-\cfrac{1}{2} \right ) \cdot \left (1-\cfrac{1}{3} \right ) \cdot \left (1+\cfrac{1}{5} \right ) \cdot \left (1-\cfrac{1}{7} \right ) \cdot \left (1-\cfrac{1}{11} \right ) \cdot \left (1+\cfrac{1}{13} \right ) \cdot \ldots}

y pasando esta expresión a suma (análogamente a como se haría utilizando el producto de Euler) llegamos a la igualdad buscada:

\pi=1+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{4}-\cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{7}+\cfrac{1}{8}+\cfrac{1}{9}-\cfrac{1}{10}+\cfrac{1}{11}+\cfrac{1}{12}-\cfrac{1}{13}+ \ldots

Lo que decía, precioso, maravilloso. En definitiva, el desarrollo más bello de Pi como suma infinita.


Cuántas cosas nos quedan por aprender de matemáticos como Euler…cuántos resultados de genios como él siguen todavía ocultos a nuestros ojos…cuántos buenos momentos nos quedan por vivir disfrutando de estos nuevos descubrimientos…

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