Michaël Rao termina la búsqueda de polígonos convexos teseladores

Hace poco más de dos años os contaba el descubrimiento de un nuevo pentágono (convexo) que tesela el plano (que lo rellena completamente sin dejar huecos). Dicho pentágono era el siguiente:


Con él podemos crear teselaciones como ésta:

Con este ejemplar eran ya 15 los pentágonos convexos irregulares esencialmente distintos que son capaces de teselar el plano, pero no se sabía si había más. De hecho se sospechaba que la lista estaba incompleta, que quedaba algún pentágono teselador por descubrir.

Los 15 pentágonos convexos irregulares que teselan el plano.

Pues Michaël Rao demostró hace unos meses que la lista está completa, que los únicos pentágonos convexos irregulares que teselan el plano son los 15 que ya se conocían. Con su trabajo Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane, Rao cierra completamente la búsqueda de polígonos convexos teseladores.

Y decimos que la cierra porque con este trabajo ya se conocen todos los polígonos convexos, tanto regulares como irregulares, con los que podemos teselar el plano. Sabiendo (está demostrado) que ningún polígono convexo de 7 o más lados, ya sea regular o irregular, puede teselar el plano, la cosa queda así:

  • En lo relativo a polígonos convexos regulares, solamente el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular pueden teselar el plano.
  • En lo que se refiere a polígonos convexos irregulares, tenemos lo siguiente:
    • Todo triángulo, sean como sean sus lados y sus ángulos, tesela el plano.
    • Todo polígono convexo de cuatro lados puede teselar el plano, independientemente de la medida de sus lados y de sus ángulos.
    • Hay 15 pentágonos convexos irregulares que teselan el plano, que son los 15 que aparecen en la imagen que aparece un poco más arriba.
    • Existen tres hexágonos irregulares que son capaces de teselar el plano. Podéis ver imágenes de los mismos haciendo click en el primer enlace que aparece en esta entrada.

Por tanto, un nuevo problema abierto que se cierra. Pero en lo que se refiere a teselaciones todavía no está todo dicho, todavía quedan cuestiones que no están resueltas. La que posiblemente es la más importante (los que trabajan en teselaciones la llaman el Santo Grial) es la búsqueda del einstein. Este einstein no tiene nada que ver con el bueno de Albert, sino con ein stein, que significa una piedra en alemán, y se trata (si existe) de un polígono que solamente tesela el plano de forma no periódica. Todavía no se ha encontrado un polígono (que, evidentemente, será no convexo) con esta característica, pero tampoco se ha demostrado que no exista. Si hay avances en este tema os los contaremos por aquí.

Más información en Pentagon Tiling Proof Solves Century-Old Math Problem, en Quanta Magazine.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

2 Comentarios

  1. Esperemos también resultados nuevos en teselaciones tridimensionalles.
    Saludos

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    • Yo estoy esceptico respecto a éso de que pronto será hallado ésa fígura geométrica especial. Antes de leer éste texto, poco conocía acerca de las propiedades de las fíguras que crean teselaciones o, con mejores palabras, poco sabía yo acerca de alguna cualidad de las teselaciones. Siempre me serán sorprendentes partiendo de ahora, supongo. 😀 :O

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