Con este post comienza una serie de tres artículos relacionados con las construcciones ideales con regla y compás.

Introducción

Podemos decir que la construcción con regla y compás consiste en la determinación de puntos, rectas (o segmentos de ellas) y circunferencia (o arcos de las mismas) a partir de una regla y un compás ideales. ¿Qué queremos decir con ideales? Muy sencillo:

  1. La regla tiene longitud infinita, no tiene marcas que permitan medir o trasladar distancias y tiene sólo un borde. Puede usarse solamente para trazar un segmento de recta entre dos puntos ya dados o para prolongar un segmento dado todo lo que queramos.
  2. El compás se cierra cuando lo levantamos del papel. Es decir, después de utilizarlo olvida la distancia que tenía entre sus puntas. Puede usarse solamente para trazar circunferencias (o arcos de ellas) tomando como centro un punto ya dado y como radio la distancia entre ese punto y otro también dado de antemano.

En principio puede parecer que las normas que hemos impuesto para nuestras herramientas de trabajo son demasiado restrictivas, que podremos hacer poco con ellas, pero en realidad no es así. Estos instrumentos con estas características dan muchísimo juego, como podremos comprobar de aquí en adelante.

Definición de punto construible

Partimos de un conjunto de puntos S=\left \{p_0,p_1, \ldots,p_n \right \} del plano. Vamos a definir las figuras que son trazables:

  • Una recta es trazable a partir de S si pasa por (al menos) dos puntos de S.
  • Una circunferencia es trazable a partir de S si tiene por centro un punto de S y por radio la distancia entre dos puntos cualesquiera de S.

Ahora vamos a definir punto construible:

Un punto es construible con regla y compás a partir de S si es un punto del conjunto S, si es un punto intersección de dos rectas trazables a partir de S, si es un punto intersección de una recta y una circunferencia trazables a partir de S o si es un punto intersección de dos circunferencias trazables a partir de S

A partir de un cierto conjunto S obtengo por construcción con regla y compás el conjunto S^\prime formado por todos los puntos construibles a partir de S. Reiterando este procedimiento generamos una sucesión de conjuntos S_n, n \ge 1:

\left \{ \begin{matrix} S_1=S \\ S_{n+1}=S^\prime_n\end{matrix} \right .

Definimos el conjunto \overline{S} como la unión de tods estos conjuntos, es decir:

\displaystyle{\overline{S}=\bigcup_n S_n}.

Siguiendo esto un punto del plano será construible si y sólo si ese punto pertenece a \overline{S}. Por tanto \overline{S} reúne a todos los puntos del planos construibles con regla y compás.

¿Cuántos puntos nos harían falta para poder hacer cosas interesantes? Podríamos pensar que muchos, pero no es así. Es evidente que si partimos de un punto solamente, S=\left \{p_0 \right \}, entonces \overline{S}=\left \{p_0 \right \}, es decir, nos quedamos con el punto del que partimos y no obtenemos nada. Con dos puntos, S=\left \{p_0,p_1 \right \}, es suficiente para tener juego suficiente. Vamos a ello.

Primeras construcciones con regla y compás

Vamos a ver algunas construcciones que podemos hacer con regla y compás. Para algunas de ellas partiremos de dos puntos. Para otras añadiremos de partida alguno más que será construible a partir de los dos primeros:

Mediatriz de un segmento

A partir de dos puntos \left \{p_0,p_1 \right \} podemos construir el segmento que los une. Pinchamos ahora con el compás en p_0 y trazamos una circunferencia tomando como radio la distancia entre p_0 y p_1. Después pinchamos en p_1 y trazamos otra circunferencia cuyo radio es la misma distancia anterior. De esta forma hemos construido dos nuevos puntos: los dos puntos donde se cortan las dos circunferencias. Uniendo esos dos puntos obtenemos la mediatriz del segmento inicial

Bisectriz de un ángulo

Para esta construcción utilizaremos tres puntos no alineados \left \{p_0,p_1,p_2 \right \}:

Trazamos las rectas por las que pasan p_0 y p_1 (recta r) y p_0 y p_2 (recta s). Con centro en p_0 y radio la distancia entre p_0 y p_1 trazamos un arco de circunferencia que corte a la recta s, obteniendo el punto q. Ahora trazamos un arco de circunferencia con centro q y radio la distancia entre q y p_1 y otro arco con centro en p_1 y radio la misma distancia. Esos dos arcos se cortan en un punto. Trazamos la recta que une ese punto con p_0 y obtenemos la bisectriz del ángulo formado por p_0, p_1 y p_2.

Simétrico de un punto respecto del otro

A partir de dos puntos \left \{p_0,p_1 \right \} trazamos la recta que pasa por ellos. Después pinchamos con el compás en p_0 y con radio la distancia entre p_0 y p_1 trazamos una circunferencia. Esa circunferencia corta a la recta antes trazada en otro punto que es precisamente el simétrico de p_1 respecto de p_0.

Paralela a una recta dada

Para esta construcción utilizaremos tres puntos no alineados \left \{p_0,p_1,p_2 \right \}:

Trazamos la recta que pasa por p_0 y p_1. Después trazamos un arco de la circunferencia de centro p_2 y radio la distancia entre p_0 y p_1 y otro arco de circunferencia de centro p_1 y radio la distancia entre p_0 y p_2. Acabamos de construir otro punto: el punto de corte de los dos arcos de circunferencia. Trazando ahora la recta que pasa por ese punto y por p_2 obtenemos la paralela buscada.

División de un segmento en n partes iguales

Partiendo de p_0 y p_1 trazamos el segmento que los une, que será el que vamos a dividir en n partes iguales. Trazamos arcos de circunferencia con centro en cada uno de esos puntos y radio la distancia entre ellos. Obtenemos dos puntos de corte de esos arcos. Tomamos uno de ellos, digamos p_2, y trazamos la semirrecta que parte de p_0 y pasa por p_2. Llamemos a esta semirrecta r. Con centro en p_2 y radio la distancia entre p_0 y p_2 trazamos una circunferencia que cortará a r en otro punto, digamos p_3. Con centro en p_3 y radio la distancia entre p_0 y p_2 trazamos una circunferencia que cortará a r en otro punto, digamos p_4. Continuamos con el proceso hasta que hayamos dividido la semirrecta r en n partes iguale. Según nuestra notación pararíamos en el punto p_{n+1}. Ahora trazamos el segmento que une p_{n+1} con p_1 y vamos trazando semirrectas paralelas a éste que pasen por cada uno de los puntos obtenidos en la semirrecta r y que corten al segmento inicial. Así conseguimos dividirlo en n partes iguales.

Perpendicular a una recta dada

Para esta construcción utilizaremos tres puntos no alineados \left \{p_0,p_1,p_2 \right \}:

Trazamos la recta que pasa por p_0 y p_1. Queremos trazar la recta perpendicular a esa que pasa por p_2. Trazamos la mediatriz del segmento que une p_0 y p_1. Si p_2 pertenece a esa mediatriz ya hemos acabado. Y si no pertenece trazamos la paralela a la mediatriz que pasa por p_2 como hemos explicado justo antes.

Construcción de unos ejes coordenados

Partiendo de \left \{p_0,p_1 \right \} trazamos la recta que pasa por ellos y la denominados eje X. Después trazamos la mediatriz del segmento que los une y después una paralela a esa mediatriz que pase por p_0 a la que llamamos eje Y. Obtenemos entonces unos ejes coordenados cuyo origen de coordenadas es p_0 y cuya unidad es la distancia entre p_0 y p_1. Podemos asociar entonces el punto p_0 con el (0,0) y el punto p_1 con el (1,0).

Construcción de los números enteros

En los ejes coordenados que acabamos de construir ya tenemos el {0} y el 1. Trazando una circunferencia con centro en 1 y radio 1 (distancia entre p_o y p_1) obtenemos otro punto al cortar la circunferencia con el eje X. Ese punto sería el (2.0). Hemos construido por tanto el número entero 2. Siguiendo con el proceso podemos obtener todos los enteros positivos trazando circunferencias hacia la derecha del 2 y los enteros negativos trazando circunferencias a la izquierda del {0}.

Proyecciones de un punto sobre los ejes

Partimos de un punto construible P=(x,y) que no esté sobre ninguno de los ejes (si lo está no hay nada que hacer). Trazando la paralela al eje Y que pasa por P obtenemos la proyección sobre el eje X de P, (x,0); y trazando la paralela al eje X que pasa por P obtenemos la proyección sobre el eje Y de P, (0,y).
Si tengo las proyecciones de un punto puedo construir el punto en cuestión de forma análoga.

Opuesto de un punto

Partimos de unos ejes coordenados y un punto construible P=(x.y) que no esté en ninguno de los ejes. Construimos sus proyecciones sobre los ejes: (x,0) y (0,y). A partir de ellas obtenemos sus simétricos respecto del origen: -x,0) y (0,-y). Y a partir de éstos construimos el opuesto de P: (-x,-y).

Suma de coordenadas

Partimos de dos puntos construibles P=(x,y) y Q=(x^\prime,y^\prime). Trazamos el segmento \overline{0P} y una paralela a este segmento que pase por Q. Después trazamos el segmento \overline{0Q} y una paralela a este segmento que pase por P. Esas dos paralelas se cortan en un punto cuyas coordenadas son (x+x^\prime,y+y^\prime).

Producto de construibles

Partimos de unos ejes coordenados y dos puntos construibles sobre el eje X, digamos (a,0) y (b,0). Construimos el punto (0,a) trazando la circunferencia de centro {0} y radio a. Trazamos la recta que pasa por (0,a) y (1,0) (tenemos este punto al tener los ejes). Trazamos la paralela a esta recta que pasa por (b,0) cortando entonces al eje Y en un punto, digamos (0,x). Aplicamos ahora el teorema de Thales:

\cfrac{x}{a}=\cfrac{b}{1} \longrightarrow x=ab

Cociente de construibles

Partimos de unos ejes coordenados y dos puntos construibles sobre el eje X, digamos (a,0) y (b,0). Construimos el punto (0,1) trazando la circunferencia de centro {0} y radio 1. Trazamos la recta que pasa por (0,1) y (a,0). Trazamos la paralela a esta recta que pasa por (b,0) cortando entonces al eje Y en un punto, digamos (0,x). Aplicamos ahora el teorema de Thales:

\cfrac{x}{1}=\cfrac{b}{a} \longrightarrow x=\cfrac{b}{a}

Si b=1 entonces x=\cfrac{1}{a} y por tanto hemos construido el inverso de un número construible a.

Con esto además obtenemos que todos los números racionales son construibles.

Construcción de un cuadrado de área construible

Partimos de unos ejes coordenados y un punto situado en el eje X, digamos (a,0). Por tanto la distancia entre el origen de coordenadas y este punto es a. Construimos el punto a+1 tomando la distancia 1 y trazando circunferencia de centro a y radio 1. Después construimos el punto \frac{a+1}{2} (punto medio del segmento \overline{0(a+1)}). Trazamos ahora la semicircunferencia de centro \frac{a+1}{2} y radio a+1 que está por encima del eje X. Trazamos paralela al eje Y que pasa por el punto 1. Esa paralela corta a la semicircunferencia en un punto que llamamos b (cuya distancia al punto 1 llamamos x). Construyendo ahora los segmentos \overline{0b} (cuya medida llamamos y) y \overline{b(a+1)} (cuya medida llamamos z) obtenemos tres triángulos:

(1)=\widehat{0b(a+1)}
(2)=\widehat{0b1}
(3)=\widehat{1b(a+1)}

Aplicamos el teorema de Pitágoras a los tres triángulos (por ser el segmento \overline{0(a+1)} un diámetro de la semicircunferencia el ángulo \left \langle 0b(a+1) \right . es un ángulo recto):

(1) \rightarrow (a+1)^2=y^2+z^2
(2) \rightarrow y^2=x^2+1
(3) \rightarrow z^2=x^2+a^2

Trasladando la información de (2) y (3) a (1) obtenemos:

a^2+2a+1=x^2+1+x^2+a^2 \rightarrow a=x^2 \rightarrow x=\sqrt{a}

Por tanto hemos obtenido un segmento, el \overline{1b}, de longitud \sqrt{a}. Dibujamos ahora una circunferencia de centro {0} y radio \sqrt{a} y el punto de corte con el eje X será el punto (\sqrt{a},0). Trazamos ahora una perpendicular al eje X que pase por este punto y luego una circunferencia con centro (\sqrt{a},0) y radio \sqrt{a}. Obtenemos así el punto (\sqrt{a},\sqrt{a}). Trazando una paralela al eje X que pase por ese punto obtenemos un cuadrado de lado \sqrt{a} que efectivamente tiene area a.

Relación con los números complejos

Los puntos construibles y los números complejos están muy relacionados (ya se puede intuir alguna relación sabiendo que cada punto del plano puede representarse como un número complejo y viceversa). De hecho la relación es muy interesante, ya que si consideramos la aplicación \Phi: \mathbb{P} \rightarrow \mathbb{C} entre el conjunto de puntos del plano y el conjunto de los números complejos que lleva a cada punto del plano en su número complejo asociado y partimos de S=\left \{0,1 \right \} tenemos que \Phi(\overline{S}) es un subcuerpo de \mathbb{C}, es decir, el conjunto de número complejos asociados a todos los puntos construibles es un cuerpo (recordemos que \overline{S} era el conjunto de puntos construibles a partir de un conjunto de puntos S dado) contenido (estrictamente) en \mathbb{C}. Ésto matemáticamente es muy interesante ya que nos permite utilizar todas las propiedades de un cuerpo con los puntos construibles.

Además este cuerpo es cerrado para conjugación, ya que si consideramos el número complejo asociado a un punto construible se tiene que el punto asociado al conjugado de ese número complejo también es construible; y cerrado para raíces cuadradas, ya que si consideramos el número complejo asociado a un punto construible se tiene que el punto asociado a la raíz cuadrada (para evitar problemas tomamos la raíz cuadrada cuyo argumento sea menor que \pi) de ese número complejo también es construible. De hecho es el menor subcuerpo de \mathbb{C} con estas características.

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