Con este post comienza una serie de tres artículos relacionados con las construcciones ideales con regla y compás.
Introducción
Podemos decir que la construcción con regla y compás consiste en la determinación de puntos, rectas (o segmentos de ellas) y circunferencia (o arcos de las mismas) a partir de una regla y un compás ideales. ¿Qué queremos decir con ideales? Muy sencillo:
- La regla tiene longitud infinita, no tiene marcas que permitan medir o trasladar distancias y tiene sólo un borde. Puede usarse solamente para trazar un segmento de recta entre dos puntos ya dados o para prolongar un segmento dado todo lo que queramos.
- El compás se cierra cuando lo levantamos del papel. Es decir, después de utilizarlo olvida la distancia que tenía entre sus puntas. Puede usarse solamente para trazar circunferencias (o arcos de ellas) tomando como centro un punto ya dado y como radio la distancia entre ese punto y otro también dado de antemano.
En principio puede parecer que las normas que hemos impuesto para nuestras herramientas de trabajo son demasiado restrictivas, que podremos hacer poco con ellas, pero en realidad no es así. Estos instrumentos con estas características dan muchísimo juego, como podremos comprobar de aquí en adelante.
Definición de punto construible
Partimos de un conjunto de puntos del plano. Vamos a definir las figuras que son trazables:
- Una recta es trazable a partir de
si pasa por (al menos) dos puntos de
.
- Una circunferencia es trazable a partir de
si tiene por centro un punto de
y por radio la distancia entre dos puntos cualesquiera de
.
Ahora vamos a definir punto construible:
Un punto es construible con regla y compás a partir de
si es un punto del conjunto
, si es un punto intersección de dos rectas trazables a partir de
, si es un punto intersección de una recta y una circunferencia trazables a partir de
o si es un punto intersección de dos circunferencias trazables a partir de
A partir de un cierto conjunto obtengo por construcción con regla y compás el conjunto
formado por todos los puntos construibles a partir de
. Reiterando este procedimiento generamos una sucesión de conjuntos
:
Definimos el conjunto como la unión de tods estos conjuntos, es decir:
.
Siguiendo esto un punto del plano será construible si y sólo si ese punto pertenece a . Por tanto
reúne a todos los puntos del planos construibles con regla y compás.
¿Cuántos puntos nos harían falta para poder hacer cosas interesantes? Podríamos pensar que muchos, pero no es así. Es evidente que si partimos de un punto solamente, , entonces
, es decir, nos quedamos con el punto del que partimos y no obtenemos nada. Con dos puntos,
, es suficiente para tener juego suficiente. Vamos a ello.
Primeras construcciones con regla y compás
Vamos a ver algunas construcciones que podemos hacer con regla y compás. Para algunas de ellas partiremos de dos puntos. Para otras añadiremos de partida alguno más que será construible a partir de los dos primeros:
Mediatriz de un segmento
A partir de dos puntos
podemos construir el segmento que los une. Pinchamos ahora con el compás en
y trazamos una circunferencia tomando como radio la distancia entre
y
. Después pinchamos en
y trazamos otra circunferencia cuyo radio es la misma distancia anterior. De esta forma hemos construido dos nuevos puntos: los dos puntos donde se cortan las dos circunferencias. Uniendo esos dos puntos obtenemos la mediatriz del segmento inicial
Bisectriz de un ángulo
Para esta construcción utilizaremos tres puntos no alineados :
Trazamos las rectas por las que pasan
y
(recta
) y
y
(recta
). Con centro en
y radio la distancia entre
y
trazamos un arco de circunferencia que corte a la recta
, obteniendo el punto
. Ahora trazamos un arco de circunferencia con centro
y radio la distancia entre
y
y otro arco con centro en
y radio la misma distancia. Esos dos arcos se cortan en un punto. Trazamos la recta que une ese punto con
y obtenemos la bisectriz del ángulo formado por
,
y
.
Simétrico de un punto respecto del otro
A partir de dos puntos
trazamos la recta que pasa por ellos. Después pinchamos con el compás en
y con radio la distancia entre
y
trazamos una circunferencia. Esa circunferencia corta a la recta antes trazada en otro punto que es precisamente el simétrico de
respecto de
.
Paralela a una recta dada
Para esta construcción utilizaremos tres puntos no alineados :
Trazamos la recta que pasa por
y
. Después trazamos un arco de la circunferencia de centro
y radio la distancia entre
y
y otro arco de circunferencia de centro
y radio la distancia entre
y
. Acabamos de construir otro punto: el punto de corte de los dos arcos de circunferencia. Trazando ahora la recta que pasa por ese punto y por
obtenemos la paralela buscada.
División de un segmento en n partes iguales
Partiendo de
y
trazamos el segmento que los une, que será el que vamos a dividir en n partes iguales. Trazamos arcos de circunferencia con centro en cada uno de esos puntos y radio la distancia entre ellos. Obtenemos dos puntos de corte de esos arcos. Tomamos uno de ellos, digamos
, y trazamos la semirrecta que parte de
y pasa por
. Llamemos a esta semirrecta
. Con centro en
y radio la distancia entre
y
trazamos una circunferencia que cortará a
en otro punto, digamos
. Con centro en
y radio la distancia entre
y
trazamos una circunferencia que cortará a
en otro punto, digamos
. Continuamos con el proceso hasta que hayamos dividido la semirrecta
en n partes iguale. Según nuestra notación pararíamos en el punto
. Ahora trazamos el segmento que une
con
y vamos trazando semirrectas paralelas a éste que pasen por cada uno de los puntos obtenidos en la semirrecta
y que corten al segmento inicial. Así conseguimos dividirlo en n partes iguales.
Perpendicular a una recta dada
Para esta construcción utilizaremos tres puntos no alineados :
Trazamos la recta que pasa por
y
. Queremos trazar la recta perpendicular a esa que pasa por
. Trazamos la mediatriz del segmento que une
y
. Si
pertenece a esa mediatriz ya hemos acabado. Y si no pertenece trazamos la paralela a la mediatriz que pasa por
como hemos explicado justo antes.
Construcción de unos ejes coordenados
Partiendo de
trazamos la recta que pasa por ellos y la denominados eje X. Después trazamos la mediatriz del segmento que los une y después una paralela a esa mediatriz que pase por
a la que llamamos eje Y. Obtenemos entonces unos ejes coordenados cuyo origen de coordenadas es
y cuya unidad es la distancia entre
y
. Podemos asociar entonces el punto
con el
y el punto
con el
.
Construcción de los números enteros
En los ejes coordenados que acabamos de construir ya tenemos el
y el
. Trazando una circunferencia con centro en
y radio 1 (distancia entre
y
) obtenemos otro punto al cortar la circunferencia con el eje X. Ese punto sería el
. Hemos construido por tanto el número entero
. Siguiendo con el proceso podemos obtener todos los enteros positivos trazando circunferencias hacia la derecha del
y los enteros negativos trazando circunferencias a la izquierda del
.
Proyecciones de un punto sobre los ejes
Partimos de un punto construible
que no esté sobre ninguno de los ejes (si lo está no hay nada que hacer). Trazando la paralela al eje Y que pasa por
obtenemos la proyección sobre el eje X de
,
; y trazando la paralela al eje X que pasa por
obtenemos la proyección sobre el eje Y de
,
.
Si tengo las proyecciones de un punto puedo construir el punto en cuestión de forma análoga.
Opuesto de un punto
Partimos de unos ejes coordenados y un punto construible
que no esté en ninguno de los ejes. Construimos sus proyecciones sobre los ejes:
y
. A partir de ellas obtenemos sus simétricos respecto del origen:
y
. Y a partir de éstos construimos el opuesto de
:
.
Suma de coordenadas
Partimos de dos puntos construibles
y
. Trazamos el segmento
y una paralela a este segmento que pase por
. Después trazamos el segmento
y una paralela a este segmento que pase por
. Esas dos paralelas se cortan en un punto cuyas coordenadas son
.
Producto de construibles
Partimos de unos ejes coordenados y dos puntos construibles sobre el eje X, digamos
y
. Construimos el punto
trazando la circunferencia de centro
y radio
. Trazamos la recta que pasa por
y
(tenemos este punto al tener los ejes). Trazamos la paralela a esta recta que pasa por
cortando entonces al eje Y en un punto, digamos
. Aplicamos ahora el teorema de Thales:
![]()
Cociente de construibles
Partimos de unos ejes coordenados y dos puntos construibles sobre el eje X, digamos
y
. Construimos el punto
trazando la circunferencia de centro
y radio
. Trazamos la recta que pasa por
y
. Trazamos la paralela a esta recta que pasa por
cortando entonces al eje Y en un punto, digamos
. Aplicamos ahora el teorema de Thales:
![]()
Si
entonces
y por tanto hemos construido el inverso de un número construible
.
Con esto además obtenemos que todos los números racionales son construibles.
Construcción de un cuadrado de área construible
Partimos de unos ejes coordenados y un punto situado en el eje X, digamos
. Por tanto la distancia entre el origen de coordenadas y este punto es
. Construimos el punto
tomando la distancia 1 y trazando circunferencia de centro
y radio 1. Después construimos el punto
(punto medio del segmento
). Trazamos ahora la semicircunferencia de centro
y radio
que está por encima del eje X. Trazamos paralela al eje Y que pasa por el punto
. Esa paralela corta a la semicircunferencia en un punto que llamamos
(cuya distancia al punto
llamamos
). Construyendo ahora los segmentos
(cuya medida llamamos
) y
(cuya medida llamamos
) obtenemos tres triángulos:
Aplicamos el teorema de Pitágoras a los tres triángulos (por ser el segmento
un diámetro de la semicircunferencia el ángulo
es un ángulo recto):
Trasladando la información de
y
a
obtenemos:
![]()
Por tanto hemos obtenido un segmento, el
, de longitud
. Dibujamos ahora una circunferencia de centro
y radio
y el punto de corte con el eje X será el punto
. Trazamos ahora una perpendicular al eje X que pase por este punto y luego una circunferencia con centro
y radio
. Obtenemos así el punto
. Trazando una paralela al eje X que pase por ese punto obtenemos un cuadrado de lado
que efectivamente tiene area
.
Relación con los números complejos
Los puntos construibles y los números complejos están muy relacionados (ya se puede intuir alguna relación sabiendo que cada punto del plano puede representarse como un número complejo y viceversa). De hecho la relación es muy interesante, ya que si consideramos la aplicación entre el conjunto de puntos del plano y el conjunto de los números complejos que lleva a cada punto del plano en su número complejo asociado y partimos de
tenemos que
es un subcuerpo de
, es decir, el conjunto de número complejos asociados a todos los puntos construibles es un cuerpo (recordemos que
era el conjunto de puntos construibles a partir de un conjunto de puntos
dado) contenido (estrictamente) en
. Ésto matemáticamente es muy interesante ya que nos permite utilizar todas las propiedades de un cuerpo con los puntos construibles.
Además este cuerpo es cerrado para conjugación, ya que si consideramos el número complejo asociado a un punto construible se tiene que el punto asociado al conjugado de ese número complejo también es construible; y cerrado para raíces cuadradas, ya que si consideramos el número complejo asociado a un punto construible se tiene que el punto asociado a la raíz cuadrada (para evitar problemas tomamos la raíz cuadrada cuyo argumento sea menor que ) de ese número complejo también es construible. De hecho es el menor subcuerpo de
con estas características.
¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
Hay que hacer todo esto con calma, o de pequeñas fallas salen grandes errores.
Recuerdo que en clases en mi excolegio, el profe ocupaba un compas con chupon…
el tema es que estuvo cerca de una hora reloj haciendo una construccion, ocupo hasta parte de la muralla y le fallo el ejercicio, le quedo muy largo un trazo xD
!¿Quién pensaría que se pueden hacer tantas cosas con sólo la regla y el compás?! Sería muy interesante ver qué construcciones no se pueden hacer (y el porqué). Diamond, a ver si en tu próximo post nos puedes hablar un poco de por qué son imposibles de construir ciertos polígonos o por qué no se puede trisectar un ángulo. Cambiando un poco de tema, necesito un poco de AYUDA, o más bien unas recomendaciones. Necesito hacer un trabajo sobre grupos de permutaciones y sus aplicaciones. Les agredacería MUCHO si me pudieran recomendar un tema en particular (una aplicación interesante y… Lee más »
Isaac los próximos posts sobre el tema van precisamente de eso. Paciencia 🙂
Respecto a tu trabajo: a ver si tengo algo de tiempo estos días y miro algo, aunque no te lo aseguro porque ya se me han acabado las vacaciones y el tiempo vuelve a ser muy escaso :(. De todas formas a ver si alguien te recomienda algo. De todas formas lo mejor sería que te lo recomendaran por mail en vez de en los comentarios de este artículo. Si quieres deja tu mail por aquí y espera que te comenten cosas.
No entendí una cosa: si el compás no guarda la distancia, es decir, se cierra al levantarlo… cómo hago para trazar una circunferencia de centro p(0) y radio igual a la distancia de p(1)p(2)?
O sea: como puedo tomar una distancia y utilizarla como radio de una circunferencia si el compás se cierra??
Euclides demuestra en las proposiciones (problemas) 1, 2 y 3 del libro primero de los Elementos que es posible transportar segmentos con el compás colapsable (y por tanto que el uso de éste es equivalente al del compás no colapsable).
http://www.euclides.org/menu/elements_esp/indiceeuclides.htm#Libro%20I
Euclides utiliza la regla en sus construcciones, pero hoy se sabe que no es necesaria.
Palomo, el compás se cierra en cuanto lo levantas del centro. Mientras no lo levantes del centro de giro, puedes abrirlo lo que quieras.
DiAmOnD:
Creo que sería bueno agregar la «Construcción de los números primos» en la lista de las «Primeras construcciones con regla y compás» que nos mostraste arriba. Esta nueva posibilidad podría ubicarse luego de la construcción de los números enteros. ¿Qué te parece esta idea?
Claro, pero si el segmento tomado como radio es p(1)p(2) y el centro de la circunferencia es p(0), entonces no hay manera de trazar esa circunferencia sin levantar el compás… o sea: tomo con el compás la medida p(1)p(2)… a partir de allí puedo trazar una circunferencia de radio p(1)p(2), y centro en p(1) o en p(2), pero si quiero que el centro sea un tercer punto p(0), entonces debo si o si levantar el compás, y la medida se perderá.
Palomo, como señalas, la operación:
«Dados 3 puntos A, B y C trazar un círculo con centro A y radio BC»
no puede realizarse directamente con el compás definido.
Pero Euclides demuestra en la segunda proposición de los Elementos que sí se puede realizar con dos rectas y cuatro aplicaciones del compás definido, es decir operaciones del tipo: «Dados 2 puntos A y B, trazar un círculo con centro A y radio AB».
La demostración se puede ver en el enlace que puse antes. O también (en inglés) aquí.
Palomo
:
Dados 3 puntos O,P,Q trazar la circunferencia de centro O y radio
1.- Trazamos la recta OP (llamémosla r)
2.- Trazo la paralela a r que pasa por Q (llamemosla s)
3.- trazamos la recta PQ
4.- trazamos la paralela a PQ por O.
Hemos construido un paralelogramo de lados OP y PQ, así que ya he trasladado la distancia PQ a una recta y con orifen O.
PS: trazar paralelas a una recta dada, ya se vio en el post que era «construible»
A propósito de este tema tan interesante, se me ha ocurrido plantear (con el permiso de ^DiAmOnD^) el siguiente problema: «Demostrar (rigurosamente) que , siendo el número áureo.» A ver cuántas demostraciones distintas se nos ocurren para esta identidad trigonométrica. Esta cuestión bien merece ser tratada de modo independiente, pero me ha parecido oportuno ponerla aquí ya que dicha identidad asegura que el pentágono regular es constructible con regla y compás, ya que podemos expresar las razones trigonométricas del ángulo central en términos de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y extracción de raíces cuadradas de números naturales. El gran Gauss asombró… Lee más »
[…] Regla y Compás es el nombre de un software para geometría interactiva, software libre alternativo a Cabri Géometre (construido en Java), que permite elaborar construcciones dinámicas y que ya el curso pasado hemos usado (sólo un poquito, por falta de tiempo) en Matemáticas y su Didáctica II y que este año retomaremos de la mano de Karmen como colaboradora. Regla y compás también son sustantivos (ambos polisémicos) correspondientes a sendas herramientas para construcciones geométricas. Regla y Compás (Construcciones con regla y compás (I)) es el tema del post que se publicó hace poco en Gaussianos, como primera parte de… Lee más »
¿¿¿nadie se anima a hincarle el diente a la igualdad que puse arriba???
siendo
el número áureo.
[…] 1 en Construcciones con regla y compás (I): Introducción y primeras construcciones […]
Doy una pista para probar que
…a ver si alguien tiene tiempo y se anima…
Hay varios modos de probarlos, pero de los que conozco el más natural creo que consiste en considerar un pentágono regular, trazar las diagonales y explotar la semejanza en los triángulos que aparecen en la figura.
A ver si alguien…
Venga, una forma analítica:
Es fácil probar que
Si llamamos
y aplicamos la fórmulña anterior para
, resulta que
es decir,
cuyas soluciones son
(estas dos últimas, dobles).
Pero está claro que de todas ellas, la única posible, dado que
está en el Primer Cuadrante, es que
.
jejeje, vale. La forma analítica, sin embargo, suena a truco de magia y es algo artificial, no? ¿Podríamos probar con el pentágono regular y así lo relacionamos con el post? Recordemos que la razón entre la diagonal y el lado del pentágono regular es precisamente el número áureo. A ver si con esa pista…
ya, pero poner aquí un dibujito, es algo complicado.
De ahí el intento analítico.
Por cierto, de forma análoga podría intentar obtenerse la forma «constructible» de
Bueno, partiendo del pentagono regular
http://img413.imageshack.us/my.php?image=pentagonomb7.jpg
vemos que los triángulos
y
son semejantes, y en particular: 
así como también lo son los triángulos
y
: 
Además se tiene que
y así la diagonal verifica
. Por lo tanto,
Así obtenemos la famosa relación
Como
, sigue que
, y por lo tanto se deduce que
ya que esta razón de longitudes es mayor que la unidad.
Finalmente, usando el teorema del seno en el triángulo
obtenemos que
que nos conduce a la relación pedida
Precioso, ¿verdad?
Otra forma analítica de probar la igualdad anterior es considerando la suma cuadrática gaussiana para n=5 (ver https://gaussianos.com/suma-de-potencias-complejas/ )
Operando un poco:
que es positivo.
Elevando al cuadrado:
Por lo tanto
Finalmente, la igualdad
nos conduce, usando la fórmula del coseno del ángulo doble, a la igualdad que se pedía.
Muy buena pregunta y muy buenas respuestas. De todas formas recordad que dije que la serie sobre construcciones con regla y compás era de 3 artículos, o sea que todavía queda uno…
Se me ha ocurrido esta demostración geométrica para la igualdad que ha planteado Domingo.
Sin ecuaciones ni complicadas relaciones trigonométricas.
Lo dejo sin explicaciones para que le deis un par de vueltas.
http://docs.google.com/Doc?id=dgh7fkb7_34fhh43q
Me he dado cuenta de que el dibujo de mi post anterior es además una ‘demostración con regla y compás’: construimos el pentágono regular tal y como se explica en el tercer post sobre estas construcciones, alargamos uno de los lados (la base) hasta el punto donde se cruza con la gran circunferencia que define la recta que va hasta el vértice opuesto del pentágono, aplicamos la división del segmento en 4 partes iguales, dibujamos una paralela al segmento y trazamos perpendiculares de los 4 puntos (líneas verdes en el dibujo), construimos fácilmente el rectángulo 2×1 y con el compás… Lee más »
[…] Y para terminar algo de información para los retos que nos lanzó Domingo en este comentario del primer post de la serie: […]
[…] Introducción e primeiras construccións. […]
Para esta construcción utilizaremos tres puntos no alineados :
Trazamos la recta que pasa por y . Después trazamos un arco de la circunferencia de centro y radio la distancia entre y y otro arco de circunferencia de centro y radio la distancia entre y . Acabamos de construir otro punto: el punto de corte de los dos arcos de circunferencia. Trazando ahora la recta que pasa por ese punto y por obtenemos la paralela buscada.
(coloque un ejemplo porfavor)!
[…] La importancia de este teorema radica en que la trisección de un ángulo no es resoluble con regla y compás. Esta es la razón principal por la cual se cree que el enunciado y demostración de este teorema tan sencillo e intuitivo se le escapó a los griegos, ya que ellos no consideraban los resultados relacionados con operaciones que no pudieran hacerse con regla y compás, y no se publicó hasta finales del siglo XIX, cuando los matemáticos se atreven a considerar propiedades de figuras no construibles con estas normas. […]
ESTIMADOS AMIGOS CON ESTE TEOREMA QUEDA DEFINITIVAMENTE CONFIRMADO QUE PI ES CONSTRUIBLE CON REGLA Y COMPAS.
TEOREMA: SI EL ARCO COMPRENDIDO ENTRE LOS DOS LADOS IGUALES
DE UN TRIANGULO ISOCELES ACUTANGULO PASA POR EL
ORTOCENTRO DE DICHO TRIANGULO Y ADEMAS PASA POR
LOS PUNTOS MEDIOS DE DICHOS LADOS IGUALES ENTONCES
LA SUMA DE LAS DOS TANGENTES DE LOS ANGULOS
OPUESTOS A LOS DOS LADOS ADYACENTES A LA BASE ES
IGUAL A Pí (π)
SALUDOS Y ESPERO SU OPINION
RODOLFO NIEVES
Vamos a ver si consigo explicarme con la suficiente claridad:
Por si no ha quedado claro lo repito:
NO es construible con regla y compás.
Ah, se me olvidaba decir algo:
Espero que haya quedado claro.
Amigo Diamond, comprendo tu posición perfectamente y además estoy consciente de que el problema es conceptual, todo depende de la posición que tú asumas. Te pongo esta duda en tus manos…tu trabajo esta basado en la geometría absoluta o geometría relativa?. Solo estoy compartiendo este Teorema con ustedes y por su puesto TODO TEOREMA TIENE QUE SER DEMOSTRADO…VERDADERO o FALSO? ESPERO POR SU OPINION
Rodolfo, ¿Puedes presentar un dibujo geométrico que ilustre lo que quieres decir?
Omar-P envíame tu correo para enviarte un dibujo con la demostración geométrica y algebráica. Este es mi correo fesol7luzley@yahoo.com. Y cualquiera que lo desee sienta la libertad de escribirme. Saludos Rodolfo DEMOSTRACION SEAN: PH ; RD ; OB = ( ALTURAS ) DEL TRIANGULO PBD DONDE: RD = OB (DOS ALTURAS IGUALES) Y: RD OB PH (SE INTERCEPTAN EN EL ORTOCENTRO) (PUNTO I) Y SI: GJ I (EL ARCO GJ INTERCEPTA AL PUNTO I) DONDE: PJ = JD = PG = GB (J y G SON LOS PUNTOS MEDIOS DE PD y PB) Y: Tang < PDB = Tang <… Lee más »
Los que estén interesados envienme correos para enviarle la demostración completa. Yo traté pero no pude.
Rodolfo
mi correo es:
fesol7luzley@yahoo.com
Amigos el que desee el gráfico sobre la Construcción de Pi con Regla sin marcas y compás puede revisarlo en MONOGRAFIAS.COM en la categoria de MATEMATICAS.
Gracias y saludos
Rodolfo Nieves
¿como divido un segmento en 3 partes iguales utilizando solamente compás y regla? favor de enviar método a mi correo también. gracias, javier
[…] 1 en Construcciones con regla y compás (I): Introducción y primeras construcciones […]
[…] demostración del mismo (las construcciones que se realizan en las mismas podéis consultarlas en Construcciones con regla y compás (I)). Encontrar el punto del camino en el que se encuentra el error es cosa vuestra. ¿Me acompañáis? […]
Muchas felicidades por este gran proyecto, me gustaria aprender más sobre probabilidad y sus aplicaciones. Ojala y puedan mandarme algun link o algo para empezar con esta materia.
Quizas no he entendido bien la explicación, pero el caso es que me surge una duda con respecto a la contrucción de una paralela a una recta dada. Según la definición que dais de compás, este se cierra cuando lo levantamos del papel. Y en la explicación para la construcción de la paralela por p2 a la recta que pasa por p0 y p1 dice «Después trazamos un arco de la circunferencia de centro p2 y radio la distancia entre p0 y p1». Esto en principio va contra el supuesto de que si levantamos el compás este se cierra, esto… Lee más »
Para Omrot. Construcción de la paralela sin conservar radio del compás:
Con centro p0 y radio p0-p1 trazamos una circunferencia.
Trazamos el segmento po-p2 uniendo ambos puntos.
Trazamos la mediatriz de dicho segmento (el proceso se describe en el epígrafe).
Llamamos p3 a la intersección del segmento p0-p2 con su mediatriz.
Unimos p1 y p3 y prolongamos hasta cortar a la circunferencia en p4.
La recta p2-p4 es la paralela buscada ya que la figura p0-p1-p2-p4 es un paralelogramo con centro en p3.
Buen método, me gusta. Yo lo hubiera hecho trazando la bisectriz de p0 y p1 y construyendo la imagen de p2 respecto a la bisectriz, obteniendo así un segundo punto para construir la paralela. De todas maneras, a lo que me refería con mi comentario es que tal como esta redactada la explicación en este post es, a mi modo de entender, imposible construir la paralela siguiendo las instrucciones y no violando la condición de regla y compás. Es así o he entendido yo mal la condición de contrucción con regla y compás?
División de un segmento en n partes iguales:
Con centro en p_3 y radio la distancia entre p_0 y p_2 trazamos una circunferencia que cortará a r en otro punto, digamos p_4.
he levantado el compas y desconozco la distancia entre P0 y P2
¿Estoy equivocado DIAMOND?
[…] solamente una regla y un compás con las normas para construcciones marcadas en la antigua Grecia (aquí tenéis esas condiciones y también algunas construcciones sencillas con regla y compás). Es […]
Gaussiano te brindo la gran salud,la, poderosa energia y la maravillosa vida, en este dia de AM BROSIA (inmortal) . AUNQUE UD. NO LO CREA, tengo un libro titulado LA CUDRATURA DEL CIRCULO ,con regla y compas, registrado,en la direccion de derechos de autor de la,republica de COLOMBIA. se puede construir de,diferentes formas demostrables en papel milimetrado. Con ella llegue a muchos enigmas demostrables de los errores de LEONARDO D’VINCE Y de VITRUVIO en los CANONES DE ARQUITECTURA. Con los cuales el triangulo no es equilatero, y la estatura dividida por phi no es el ombligo. Estan contemplado en mi… Lee más »
Tiene Ud. toda la razón. NO LE CREO XD Nos haría usted el favor de dejarnos aquí alguna de sus «diferentes formas demostrables» para poder contrastar sus afirmaciones?
Hola. Tengo una duda. En «paralela a una recta» se parte con una recta entre p0 y p1. Luego desde p2 se utiliza la distancia desde p0 a p1 como radio (la llamaré D1) y luego lo mismo con centro en p2 y distancia entre p0,p2 (la llamaré D2).
Dado que por definición «el compás olvida la distancia que tenía entre sus puntas», ¿qué me autoriza a usar D1 como radio desde p2 y D2 desde p1? En estricto rigor, si mido D1 o D2 y levanto el compás para trasladarlas a p1 y p2 este habría de «olvidarlas» ¿no?