Ir a Construcciones con regla y compás (I)
Introducción
Los problemas délicos son un grupo de tres problemas relacionados con las construcciones con regla y compás conocidos desde la época de la antigua Grecia. Concretamente son la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo utilizando solamente regla y compás con las reglas que vimos en el artículo anterior. Desde la Grecia clásica hasta nuestros días muchos matemáticos han intentado resolverlos. De hecho muchos han creído haberlo conseguido. El problema es que ninguna de las tres construcciones es posible en general usando sólo regla y compás en el sentido expuesto. En este artículo vamos a comentar cada uno de los problemas y a dar las razones por las que estas construcciones no son posibles.
Conocimientos previos: Entre otras cosas se sabe que para que un número sea construible con regla y compás en el sentido en el que estamos trabajando debe ser necesariamente algebraico y su polinomio mínimo irreducible sobre
debe tener grado igual a una potencia de 2 (es decir, debe ser raíz de un polinomio irreducible de grado
, para algún
, con coeficientes enteros).
La cuadratura del círculo
La cuadratura del círculo probablemente es el problema délico más conocido por la sociedad (de hecho se utiliza la expresión cuadratura del círculo para designar algo imposible o extremadamente difícil de conseguir). En él se parte de un círculo de área dada y se desea construir un cuadrado de la misma área.
Este problema no es resoluble con regla y compás. La razón es muy sencilla:
Partimos de un círculo de radio
. Por tanto sabemos que su área será
. A partir de él queremos construir un cuadrado con su misma área. Supongamos que este cuadrado tiene lado
. Por tanto
. Tomando raíz cuadrado queda
. Como sabemos que
es construible (el círculo es nuestro dato inicial), si
fuera construible tendríamos que, según el artículo anterior,
sería construible. Pero
, que no es algebraico (al no serlo
tampoco lo es su raíz). Por tanto
no es construible con regla y compás y no podemos cuadrar un círculo.
La duplicación del cubo
El problema de la duplicación del cubo consiste en construir a partir de un cubo de lado y (evidentemente) de volumen
otro cubo con el doble de volumen, es decir, de volumen
.
Este problema tampoco es resoluble con regla y compás por lo siguiente:
Supongamos que nuestro cubo tiene lado
. Por tanto su volumen será
. Supongamos que un cubo con el doble de volumen fuera construible con regla y compás. Llamemos al lado de ese cubo
. Entonces
. Dividiendo entre
y haciendo raíz cúbica obtenemos que
. Si
fuera construible con regla y compás también lo sería
al serlo
.
El polinomio
tiene a
como raíz. Además es un polinomio irreducible en
, ya que las únicas raíces racionales que puede tener son
y claramente no lo son. Por tanto es el polinomio mínimo irreducible de
. Como este polinomio es de grado
y
no es una potencia de
por lo comentado antes
no es construible con regla y compás y en consecuencia tampoco lo es
. Con esto vemos que no podemos duplicar un cubo.
La trisección del ángulo
El problema de la trisección del ángulo consiste en dividir un ángulo dado en tres partes iguales. En general este problema tampoco esa resoluble con regla y compás. En este caso vamos a verlo con un ejemplo: vamos a ver que no se puede trisecar un ángulo de .
A partir de dos puntos
es muy sencillo construir un ángulo de
. Pinchamos en
y trazamos arco de radio la distancia entre
y
y después pinchamos en
y trazamos arco del mismo radio. Esos dos arcos se cortan en un punto
. Trazamos después semirrecta que une
y
y tenemos un ángulo de
.
Trisecar ese ángulo supondría poder construir un punto
tal que la recta que uno
con
formara con el eje X un ángulo de
. Ese punto
tendría de coordenadas
. Por tanto, en particular,
debería ser construible si lo fuera
, ya que si un ángulo es construible su seno y su coseno son fácilmente construibles haciendo proyecciones sobre los ejes. Veamos que
no es construible con regla y compás:
![]()
Por tanto:
![]()
Entonces
es raíz del polinomio
. Este polinomio es irreducible en
ya que las únicas raíces racionales que podría tener son
y ninguna lo es. Por tanto es el polinomio mínimo irreducible de
. Pero su grado no es una potencia de
. Por tanto no es construible con regla y compás y concluimos entonces que no podemos, en general, trisecar un ángulo.
Pero hay ángulos que sí se pueden trisecar. Por ejemplo el ángulo de puede trisecarse de la siguiente forma:
Partiendo de
trazamos unos ejes de coordenadas. Trazamos circunferencia con centro en
y radio la distancia entre
y
. Esta circunferencia corta a la parte positiva del eje Y en un punto, digamos
. Con centro en
y
trazamos circunferencias que pasen por
. Esas dos circunferencias cortan a la circunferencia anterior en dos puntos, digamos
y
. Uniendo
con
y con
obtenemos la trisección buscada.
Sobre trisecciones podemos dar el siguiente teorema:
Teorema
Un ángulo se puede trisecar con regla y compás si y sólo si el polinomio
es reducible sobre la extensión de los racionales
.
Como hemos visto antes el polinomio obtenido a partir del ángulo de no es reducible pero el de
sí lo es (tiene a
como raíz).
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[…] Ir a Construcciones con regla y compás (II) Escrito por ^DiAmOnD^, 1 de Octubre de 2007 en Geometría […]
Construcciones con regla y compás…
Los problemas délicos son un grupo de tres problemas relacionados con las construcciones con regla y compás conocidos desde la época de la antigua Grecia. Concretamente son la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección del á…
Una precisión sobre el mito…
El problema délico es el de la duplicación del cubo. Llamar problemas délicos a los demás supongo que será una licencia literaria.
Creo que los delios no estarían de acuerdo pues
«Era el oráculo éste: Los males presentes de los delios y de los demás helenos terminarán cuando dupliquen el altar de Delos.» (Plutarco, Moralia 579B)
y no puede ser que se les pida a los delios 2400 años después que además cuadren círculos y trisequen ángulos para librarse de la peste…
Cierto fede. Conocía el mito. Lo que pasa es que a mí me los presentaron los tres como los problemas délicos partiendo del de la duplicación del cubo por razones evidentes.
Supongo que presentar con ese nombre los tres problemas será por la relación que tienen los tres con las construcciones con regla y compás y por lo curioso del mito.
^DiAmOnD^, revisa la parte de la cuadratura del círculo ya que se te coló una ecuación en LaTeX no renderizada:
«[…] Tomando raíz cuadrado queda $\sqrt{\pi} R=L$ […]»
En vez de
«[…] Tomando raíz cuadrado queda
[…]»
Y en la trisección del ángulo otra. Ahora mismo lo arreglo.
Gracias Andrés 🙂
[…] Ir a Construcciones con regla y compás (II) […]
En la trisección del ángulo, si en lugar de desarrollar el caso particular para cos(20º), hacemos lo mismo para el caso general, partiendo de

, siendo 
entonces se llega a la demostración del teorema final:
Asier echa un ojo al teorema que viene al final del artículo.
sí, lo he visto, a ese me refiero. Lo he escrito para ver de dónde sale (igual era obvio, pero a mi no me lo ha parecido).
Necesitaría la demostración del teorema del coseno a través del uso de Potencia de un punto.
Tengo la del Teorema de Pitágoras. Y me falta muy poco para la del coseno. Dónde la puedo encontrar?
[…] La importancia de este teorema radica en que la trisección de un ángulo no es resoluble con regla y compás. Esta es la razón principal por la cual se cree que el enunciado y demostración de este teorema tan sencillo e intuitivo se le escapó a los griegos, ya que ellos no consideraban los resultados relacionados con operaciones que no pudieran hacerse con regla y compás, y no se publicó hasta finales del siglo XIX, cuando los matemáticos se atreven a considerar propiedades de figuras no construibles con estas normas. […]
[…] trisección del ángulo es uno de los problemas clásicos de la geometría griega (consistente en construir un ángulo que […]
¿Qué consecuencias tendría resolver los problemas delicos?
[…] Una de las aplicaciones más conocidas de la trascendencia de es la imposibilidad de cuadrar un círculo. […]
[…] españoles de la segunda mitad del siglo XIX. Nos referimos al conocidísimo problema de la cuadratura del círculo, que, como todos los lectores de este blog deben saber, está íntimamente relacionada con la […]
Hola hace algún tiempo (cuando tenía tiempo de mantener actualizado el blog) escribí sobre el problema de trisecar un ángulo utilizando sólo regla (sin marcas) y compás, aquí va el link:
https://cosas.wordpress.com/2010/04/11/problemas-imposibles/
Saludos
Elio
Recomiendo el artículo: A Brief History of Impossibility de Jeff Suzuki – Mathematics Magazine Volume 98 – February 2008 N° 1 pp 27-38 de lo mejor que leí sobre el tema, de aquí lo pueden bajar: http://www.mediafire.com/file/xn9pfjbn583zkib/MM-A_Brief_History_of_Impossibility-JSuzuki.pdf