Ir a Construcciones con regla y compás (I)

Introducción

Los problemas délicos son un grupo de tres problemas relacionados con las construcciones con regla y compás conocidos desde la época de la antigua Grecia. Concretamente son la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo utilizando solamente regla y compás con las reglas que vimos en el artículo anterior. Desde la Grecia clásica hasta nuestros días muchos matemáticos han intentado resolverlos. De hecho muchos han creído haberlo conseguido. El problema es que ninguna de las tres construcciones es posible en general usando sólo regla y compás en el sentido expuesto. En este artículo vamos a comentar cada uno de los problemas y a dar las razones por las que estas construcciones no son posibles.

Conocimientos previos: Entre otras cosas se sabe que para que un número sea construible con regla y compás en el sentido en el que estamos trabajando debe ser necesariamente algebraico y su polinomio mínimo irreducible sobre \mathbb{Q} debe tener grado igual a una potencia de 2 (es decir, debe ser raíz de un polinomio irreducible de grado 2^r, para algún r \ge 0, con coeficientes enteros).

La cuadratura del círculo

La cuadratura del círculo probablemente es el problema délico más conocido por la sociedad (de hecho se utiliza la expresión cuadratura del círculo para designar algo imposible o extremadamente difícil de conseguir). En él se parte de un círculo de área dada y se desea construir un cuadrado de la misma área.

Este problema no es resoluble con regla y compás. La razón es muy sencilla:

Partimos de un círculo de radio R. Por tanto sabemos que su área será \pi R^2. A partir de él queremos construir un cuadrado con su misma área. Supongamos que este cuadrado tiene lado L. Por tanto \pi R^2=L^2. Tomando raíz cuadrado queda \sqrt{\pi} R=L. Como sabemos que R es construible (el círculo es nuestro dato inicial), si L fuera construible tendríamos que, según el artículo anterior, \frac{L}{R} sería construible. Pero \frac{L}{R}=\sqrt{\pi}, que no es algebraico (al no serlo \pi tampoco lo es su raíz). Por tanto L no es construible con regla y compás y no podemos cuadrar un círculo.

La duplicación del cubo

El problema de la duplicación del cubo consiste en construir a partir de un cubo de lado a y (evidentemente) de volumen a^3 otro cubo con el doble de volumen, es decir, de volumen 2a^3.

Este problema tampoco es resoluble con regla y compás por lo siguiente:

Supongamos que nuestro cubo tiene lado a. Por tanto su volumen será a^3. Supongamos que un cubo con el doble de volumen fuera construible con regla y compás. Llamemos al lado de ese cubo b. Entonces b^3=2a^3. Dividiendo entre a^3 y haciendo raíz cúbica obtenemos que \frac{b}{a}=\sqrt[3]{2}. Si b fuera construible con regla y compás también lo sería \sqrt[3]{2} al serlo a.

El polinomio x^3-2 tiene a \sqrt[3]{2} como raíz. Además es un polinomio irreducible en \mathbb{Q}, ya que las únicas raíces racionales que puede tener son \pm 1, \pm 2 y claramente no lo son. Por tanto es el polinomio mínimo irreducible de \sqrt[3]{2}. Como este polinomio es de grado 3 y 3 no es una potencia de 2 por lo comentado antes \sqrt[3]{2} no es construible con regla y compás y en consecuencia tampoco lo es b. Con esto vemos que no podemos duplicar un cubo.

La trisección del ángulo

El problema de la trisección del ángulo consiste en dividir un ángulo dado en tres partes iguales. En general este problema tampoco esa resoluble con regla y compás. En este caso vamos a verlo con un ejemplo: vamos a ver que no se puede trisecar un ángulo de 60^\circ.

A partir de dos puntos \left \{ p_0,p_1 \right \} es muy sencillo construir un ángulo de 60^\circ. Pinchamos en p_0 y trazamos arco de radio la distancia entre p_0 y p_1 y después pinchamos en p_1 y trazamos arco del mismo radio. Esos dos arcos se cortan en un punto p_2. Trazamos después semirrecta que une p_0 y p_2 y tenemos un ángulo de 60^\circ.

Trisecar ese ángulo supondría poder construir un punto p tal que la recta que uno p_0 con p formara con el eje X un ángulo de 20^\circ. Ese punto p tendría de coordenadas ( cos(20^\circ),sen(20^\circ)). Por tanto, en particular, cos(20^\circ) debería ser construible si lo fuera p, ya que si un ángulo es construible su seno y su coseno son fácilmente construibles haciendo proyecciones sobre los ejes. Veamos que cos(20^\circ) no es construible con regla y compás:

\begin{matrix} \frac{1}{2}=cos(60^\circ)=cos(20^\circ+40^\circ)=cos(20^\circ) cos(40^\circ)-sen(20^\circ) sen(40^\circ)= \\ =cos(20^\circ) (cos^2(20^\circ)-sen^2(20^\circ))-sen(20^\circ)(2 sen(20^\circ) cos(20^\circ))= \\ =cos^3(20^\circ)-3 cos(20^\circ) sen^2(20^\circ) \end{matrix}

Por tanto:

\begin{matrix} \frac{1}{2}=cos^3(20^\circ)-3cos(20^\circ)(1-cos^2(20^\circ)) \rightarrow \\ \rightarrow \frac{1}{2}=4cos^3(20^\circ)-3cos(20^\circ) \rightarrow \\ \rightarrow cos^3(20^\circ)-\frac{3}{4}cos(20^\circ)-\frac{1}{8}=0 \end{matrix}

Entonces cos(20^\circ) es raíz del polinomio x^3-\frac{3}{4}x-\frac{1}{8}. Este polinomio es irreducible en \mathbb{Q} ya que las únicas raíces racionales que podría tener son \pm1,\pm \frac{1}{2},\pm \frac{1}{4},\pm \frac{1}{8} y ninguna lo es. Por tanto es el polinomio mínimo irreducible de cos(20^\circ). Pero su grado no es una potencia de 2. Por tanto no es construible con regla y compás y concluimos entonces que no podemos, en general, trisecar un ángulo.

Pero hay ángulos que sí se pueden trisecar. Por ejemplo el ángulo de 90^\circ puede trisecarse de la siguiente forma:

Partiendo de \left \{ p_0,p_1 \right \} trazamos unos ejes de coordenadas. Trazamos circunferencia con centro en p_0 y radio la distancia entre p_0 y p_1. Esta circunferencia corta a la parte positiva del eje Y en un punto, digamos p_2. Con centro en p_1 y p_2 trazamos circunferencias que pasen por p_0. Esas dos circunferencias cortan a la circunferencia anterior en dos puntos, digamos P y Q. Uniendo p_0 con p y con Q obtenemos la trisección buscada.

Sobre trisecciones podemos dar el siguiente teorema:

Teorema

Un ángulo \theta se puede trisecar con regla y compás si y sólo si el polinomio p(x)=4x^3-3x-cos(\theta) es reducible sobre la extensión de los racionales \mathbb{Q}(cos(\theta)).

Como hemos visto antes el polinomio obtenido a partir del ángulo de 60^\circ no es reducible pero el de 90^\circ sí lo es (tiene a {0} como raíz).

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