Suma con combinatorios

Publicado por ^DiAmOnD^ | 24 febrero, 2009 | Juegos | 4 |

El problema de esta semana es el siguiente:

Calcular justificadamente el valor de la siguiente expresión:

$\cfrac{1}{2^{n-1}}\displaystyle{\sum_{j=0}^{\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor}} {n \choose 2j+1} 5^j$

( $\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor$ denota la parte entera de $\frac{n-1}{2}$ )

Ánimo y a por ello.

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Sobre el Autor

^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook. También tengo un blog dedicado a las "escape rooms", por si te apetece pasarte: XRooMers.

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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$ .

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

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4 Comments

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Bitacoras.com

24/02/2009 09:06

Información Bitacoras.com…

Si lo deseas, puedes hacer click para valorar este post en Bitacoras.com. Gracias….

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hernan

24/02/2009 18:22

Me parece que la cosa viene por considerar $(1 + \sqrt 5 )^ n - (1 - \sqrt 5 )^ n$ y operar un poquito, no ?

Que el 5 sea 5 no debería influir, aunque quizás por este lado podemos relacionarlo con el número de oro o alguno de Fibonacci…

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hernan

24/02/2009 18:47

Ehm, perdón:

$\displaystyle (1 + \sqrt 5 )^ n + (1 - \sqrt 5 )^ n = 2 \sum$

donde $\sum$ es la sumatoria que aparece en el planteo. Entonces, dividiendo todo por $2^n$ , el valor buscado es

$\displaystyle (\frac{1 + \sqrt 5}{2})^n + (\frac{1 - \sqrt 5}{2})^n$

Notar que $\frac{1 + \sqrt 5}{2} = \phi$ y $\frac{1 + \sqrt 5}{2} = 1- \phi$ con $\phi =$ número aureo.
Si no son números de Fibonacci le pegan cerca.

Responde

josem

25/02/2009 01:41

Para resolver el problema solo nos hace falta saber como sumar los números combinatorios con impar. Consideremos la función, . Se tiene que, Dado que, se tiene que, Operando un poco llegamos a, Ahora sí nos ponemos rigurosos con los índices de sumación. Para empezar, expresamos como , obteniendo, No defino el límite de sumación superior ya que, cuando supera a , los coeficientes binómicos se definen (o al menos yo definiré aquí, con sentido claro, creo..) como . Tomando en la expresión anterior, se tiene que la parte fuerte de nuestro problema vale, Moviendo un par de cosillas de… Lee más »