Vamos con el problema de la semana. Ahí va:
Un cubo de
está construído con cubitos de
, algunos negros y otros blancos, de manera que en cada uno de los subprismas de
, de
y de
hay exactamente dos cubitos negros y entre ellos hay un número par (posiblemente 0) de cubitos blancos intermedios. Por ejemplo, en la siguiente ilustración se muestra una posible rebanada del cubo
(formada por 6 subprismas de
):
Muestra que es posible sustituir la mitad de los cubitos negros por cubitos blancos para que en cada subprisma de
Que se os dé bien.
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En la representación te falta un cubito negro, en la posición (6,2) poniendo el origen (1,1) en el cubito de abajo a la izquierda.
En un cubo de nxnxn hay exáctamente 2n^2 cubitos negros según las condiciones del problema.
Numero los cubos con 0 y 1 de modo que no haya dos números iguales adyacentes.
En cada subprisma un cubo negro tiene un 0 y el otro un 1 porque su distancia es impar.
Si substituyo todos los cubos negros que tienen un 1 por un cubo blanco, queda un cubo negro en cada subprisma.
Mmonchi,
creo que lo que dices no es válido.
Contraejemplo:
Sea n=4
Veamos una rebanada:
0101
1010
0101
1010
Donde 1 representa donde están los negros. (y no me refiero a África)
Además, este diagrama coincide con el que has propuesto, si no te entendí mal.
En cada subprisma todos los negros tienen un 1 y no como dijiste tú (dijiste que uno de ellos debía ser 0 y el otro 1)
Si sustituyes todos los negros que tienen 1 por uno blanco quedarán 0 negros en cada subprisma.
Acido,
si no entendí mal el problema, la configuración que tu propones es inválida. Dice que entre los cubitos negros «hay un número PAR (posiblemente 0) de cubitos blancos » y tu configuración no lo respeta (entre cada negro hay 1 solo blanco).
ç
Ah, de acuerdo… no había entendido esa parte del enunciado. Y por eso tampoco entendí por qué Mmonchi aseguraba tan tajantemente que la distancia entre cubitos negros era impar jejeje
Enhorabuena, Mmonchi.
Hola,
en la fila 5 ¿no falta un cubo de color negro?
En el enunciado dice: «en cada uno de los subprismas de nx1x1, 1xnx1 y de 1x1xn hay exactamente dos cubitos negros».
Por tanto, en cada cubo nxnxn hay 2n cubos negros.
El primer caso simple sería para n=2.
Que me queda la primera cara// y la segunda cara de la siguiente manera:
01 // 10
10 // 01
Total= 4 cuadrados negros y 4 blancos.
Para n = 3, una posible solución
La primera// segunda y tercera cara
000 // 001 // 100
011 // 000 // 000
000 // 010 // 100
Total= 6 cuadrados negros y 21 blancos.
Otra forma de resolver:
Suponemos unos ejes coordenados orientados con las aristas, con el lado de cubito como unidad y con origen en el centro de cualquier cubito.
Sumamos las coordenadas del centro de cada cubito negro y pasamos a blanco cada cubito cuya suma sea par. También funciona si los que cambiamos son los de suma impar.
Juan Carlos, En cada subprisma hay 2, pero el cubo se completa con n^2 subprismas (habiendo 3 formas diferentes de componerlo: subprismas en dirección x de tipo nx1x1, en dirección y de tipo 1xnx1 ó en dirección z de tipo 1x1xn). Así que en total hay 2*n^2 cubitos negros. Para n=2 sería así cada rebanada: 11 11 sería la rebanada z=1 y la rebanada z=2 también tiene 4 negros que hacen 8 = 2*2^2 Si haces como propones 01 10 resultaría que el subprisma z=1, y=1 (x pertenece a {1, 2}) que sería de tipo nx1x1 es 10 y sólo… Lee más »
Para n par siempre hay solución. La demostración es constructiva: Tomo un subprisma de nxnx1 con n par y lo numero con ceros y unos no consecutivos. Marco de negro un cero y elimino su fila y su columna, y repito el proceso hasta marcar n cubos. Llamo solución S.1.0 (primera solución en ceros) al conjunto obtenido de n celdas pintadas de negro. Comienzo de nuevo marcando ceros que no estén previamente marcados de negro hasta construir la solución S.2.0. Sigo hasta la última que será la S.n/2.0, con la que estarán todos los ceros marcados de negro. Ahora repito… Lee más »
Para n impar no hay solución porque no la hay para subprismas de nxnx1. Tomamos un subprisma de nxnx1 y numeramos los cubos con unos y ceros no consecutivos, de modo que los de las esquinas tengan un 0. Vamos a buscar una solución en cubos con unos. Comenzamos pintando de negro un cubo con 1 de la primera fila y tachamos su fila y su columna. Hacemos lo mismo en la segunda fila, y así sucesivamente. Cuando tachamos una fila par, tachamos una columna impar y al revés, cuando tachamos una fila impar tachamos una columna par. Al tachar… Lee más »
Para n impar las condiciones del problema no se cumplen, con lo que no tiene sentido buscar solución con n impar.
Tendría sentido demostrar que, efectivamente, para n impar no se puede realizar una disposición con las condiciones del enunciado. Basta con probarlo para una rebanada del tipo nxnx1 (o 1xnx1 0 nx1xn), o lo que es lo mismo, para el caso de la cuadríacula nxn con n impar.
Ácido, si no exigimos que la distancia entre cubitos negros sea par, creo que el problema se puede formular para n impar, por ejemplo, una disposición de cubitos negros para el caso 3x3x3 sería la siguiente: Pongo X cuando es negro y 0 cuando es blanco, estas serían 3 rebanadas de 3x3x1: X0X XX0 0XX XX0 0XX X0X 0XX X0X XX0 Y una solución (en este caso) sería: 00X X00 0X0 X00 0X0 00X 0X0 00X X00 Por otra parte, para n par, con las distancias pares es claro que hay solución (la propuesta por Mmonchi en su primer comentario).… Lee más »
Si Acido, tienes razón.
He confundido, estaba pensando en una rebanada de 1xnxn, no de nx1x1.
MarcoTac, bien visto todo lo que dices. Aunque creo que no aseguras mucho. * Que hay casos con n impar que cumplen que todos los subprismas tienen 2 cubitos negros (y alguna distancia entre cubos negros no impar, no separados por un número par de cubos blancos). A esto añadiría: ** para todo n, aunque sea impar, se pueden formar cubos donde todos los subprismas tengan 2 cubitos negros. * Que de esos casos de n impar, hay alguno que permite la condición final: pasar de 2 cubitos por subprisma a 1 cubito por subprisma. La pregunta aquí es: ¿es… Lee más »