…la división del conjunto 
y
son disjuntos (es decir, no tienen elementos comunes).
- Por construcción, si unimos los elementos de
de partida.
- Todos los pares
tienen exactamente un elemento en
- Tanto en
- La suma de los elementos de
Y lo que es más sorprendente:
- La suma de los cuadrados de los elementos de
Y por si no teníamos suficiente:
- La suma de los cubos de los elementos de
Pero la cosa no queda ahí. Se puede hacer algo parecido con cualquier conjunto de números que contenga una cantidad de elementos que sea una potencia de 2 comenzando desde el 1. Y además se van añadiendo propiedades a las que ya teníamos. Por ejemplo, si tomamos 
y
obtenemos las siguientes curiosas propiedades:
- La suma de los elementos de
- La suma de los cuadrados de los elementos de
- La suma de los cubos de los elementos de
Y:
- La suma de las potencias cuartas de los elementos de
Y si seguimos la cosa aumenta. Para 
La verdad es que me ha sorprendido esta propiedad de los conjuntos cuya cantidad de elementos es una potencia de dos. ¿Alguien podría darle explicación a esta sorprendente curiosidad?
Visto en Wild About Math!.
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Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: …la división del conjunto en los subconjuntos y nos conduce a unas propiedades muy curiosas? Lo vemos: y son disjuntos (es decir, no tienen elementos comunes). Por construcción, si unimos los elementos de y obtenemos el con…
¿ que patron de seleccion se utiliza para obtener los dos conjuntos ? no lo consigo ver.
Enhorabuena por el blog
Y que logica o serie logica usas en la separacion del conjunto en esos subconjunto, no sera que estas forzando el resultado??
De echo los subgrupos son iguales y al expresar en el segundo subgrupo un numero menor o mayor que en primero subgrupo, la siguiente cifra del subgrupo corrige de forma inversa esa diferència. Siendo par el numero de cifras que tiene el grupo y los subgrupos estas siempre estaran compensadas entre si.
es muy lògico, pues no se porque te sorprendieron los resultados.
de echo si pruebas lo mismo con otras cifras haciendo la misma separación de subgrupos obtendràs los mismos resultados, si aún así te sorprende pues…es que no lo entendiste.
Oriol, eso explica que la suma de los elementos de cada conjunto sea la misma, pero no explica que lo sean las sumas de los cuadrados, de los cubos, de las potencias cuartas…
Igual es muy evidente y yo no lo veo, pero me parece curioso que si tomamos el conjunto
coincidan las sumas de los cuadrados de los elementos de cada conjunto pero las de los cubos no y si tomamos el conjunto 
coincidan también las de los cubos pero no las de las potencias cuartas, y así sucesivamente.
S1 es la posición del enésimo 1 en la secuencia Thue-Morse. S2 es su complemento.
Cierto, Omar. Estamos ante la aplicación de la secuencia de Thue-Morse al problema de Prouhet-Tarry-Escott.
[…] Curiosidades sobre las potencias de dosgaussianos.com/curiosidad-sobre-las-potencias-de-dos/ enviado por Facso […]
Lo mismo sucede si sumamos o restamos a todos los elementos de una misma constante c. La siguiente demostración está tomada de Savchev-Andreescu, «Mathematical miniatures». Sea el conjunto de los que tienen un número par de unos en su representación binaria, y el conjunto de de los que tienen un número impar de unos en binario. Observamos que y Teorema. Si es un polinomio de grado , La prueba es por inducción sobre k. Si k=0, f(x) es constante y el resultado es trivial. Sea g(x) un polinomio de grado . Entonces es un polinomio de grado y, por la… Lee más »
Preciosa demostración, fede. Gracias.
¿Cómo sabes
?
Porque hasta entonces solo tienes probado
Naka Cristo,
es un polinomio 
del mismo grado que 
y se ha demostrado que para cualquier polinomio 
de grado 
, 
Ah, claro. Se me había ido la cabeza al final.
Muy buena demostración.
Gran entrada, y grandes comentarios con perfectas explicaciones. Esta curiosidad me ha dejado fascinado.
[…] Este post sobre una curiosa propiedad de determinadas particiones en dos conjuntos de algunos conjuntos finitos de números me recordó una curiosa propiedad de cualquier partición en dos conjuntos infinitos del conjunto de todos los números naturales que leí en algún libro de Honsberger. […]