…la división del conjunto S=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16 \} en los subconjuntos S_1=\{1,4,6,7,10,11,13,16 \} y S_2=\{2,3,5,8,9,12,14,15 \} nos conduce a unas propiedades muy curiosas? Lo vemos:

  • S_1 y S_2 son disjuntos (es decir, no tienen elementos comunes).
  • Por construcción, si unimos los elementos de S_1 y S_2 obtenemos el conjunto S de partida.
  • Todos los pares \{1,2 \},\{3,4 \}, \ldots , \{15,16 \} tienen exactamente un elemento en S_1 y otro en S_2.
  • Tanto en S_1 como en S_2 hay exactamente cuatro números pares y cuatro números impares.
  • La suma de los elementos de S_1 es igual a la suma de los elementos de S_2.

Y lo que es más sorprendente:

  • La suma de los cuadrados de los elementos de S_1 es igual a la suma de los cuadrados de los elementos de S_2.

Y por si no teníamos suficiente:

  • La suma de los cubos de los elementos de S_1 también es igual a la suma de los cubos de los elementos de S_2.

Pero la cosa no queda ahí. Se puede hacer algo parecido con cualquier conjunto de números que contenga una cantidad de elementos que sea una potencia de 2 comenzando desde el 1. Y además se van añadiendo propiedades a las que ya teníamos. Por ejemplo, si tomamos S=\{1,2, \ldots , 31,32 \} y lo dividimos en los siguientes subconjuntos:

S_1=\{1,4,6,7,10,11,13,16,18,19,21,24,25,28,30,31 \}

y

S_2=\{2,3,5,8,9,12,14,15,17,20,22,23,26,27,29,32 \}

obtenemos las siguientes curiosas propiedades:

  • La suma de los elementos de S_1 es igual a la suma de los de S_2.
  • La suma de los cuadrados de los elementos de S_1 es igual a la suma de los cuadrados de los de S_2.
  • La suma de los cubos de los elementos de S_1 es igual a la suma de los cubos de los de S_2.

Y:

  • La suma de las potencias cuartas de los elementos de S_1 es igual a la suma de las potencias cuartas de los de S_2.

Y si seguimos la cosa aumenta. Para S=\{1,2, \ldots ,63,64 \} podemos encontrar una subdivisión en dos conjuntos del estilo a las anteriores con la que se cumple todo lo comentado en el caso anterior además de cumplirse también para las potencias quintas. Y así sucesivamente: para S=\{1,2, \ldots ,127,128 \} añadimos lo mismo para las potencias sextas, para S=\{1,2, \ldots ,255,256 \} añadimos la misma propiedad para las potencias séptimas…

La verdad es que me ha sorprendido esta propiedad de los conjuntos cuya cantidad de elementos es una potencia de dos. ¿Alguien podría darle explicación a esta sorprendente curiosidad?

Visto en Wild About Math!.

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