La singular belleza de las demostraciones visuales (III)

Aunque en Gaussianos ya le hemos dedicado algunos artículos a las demostraciones visuales (al final de esta entrada os dejo algunos enlaces), siempre que encuentro imágenes nuevas relacionadas con este tema intento publicarlas, principalmente porque me parecen magníficas para entender mejor ciertas identidades que pueden parecer complejas en un principio. Bueno, y también porque me encantan.

Hoy os traigo un par de imágenes nuevas en las que podemos ver dos demostraciones visuales relacionadas con las sumas de dos series infinitas. Vamos con ellas:

• Suma de los inversos de las potencias de 3

  Esta serie numérica es una serie geométrica. Aquí la tenéis, junto a su suma:

  

  El cálculo nos puede ayudar a encontrar la suma de esta serie (en el primer enlace que os dejaré al final tenéis la fórmula para sumar estas series), pero nunca viene mal una imagen que nos ayude visualmente a entender este resultado. Para ello, es interesante tener claro que esta serie se puede desglosar de la siguiente manera:

  

  Es decir, sumamos un tercio con un tercio de un tercio con un tercio de un tercio de un tercio…Vamos, lo que se ve en la imagen:

  

  En ella, se ve claramente que la suma de todos esos tercios es…¿cuál? Exacto, la mitad del cuadrado. O, lo que es lo mismo, . Chulísimo.

• Suma de los inversos de las potencias de 4

  La segunda es muy parecida a la primera, pero en este caso hablamos de los inversos de las potencias de 4. La serie, junto a su suma, la tenéis aquí:

  

  Desglosada, quedaría así:

  

  En este caso, sumamos un cuarto con un cuarto de un cuarto con un cuarto de un cuarto de un cuarto, y así sucesivamente. En esta imagen se verá mucho más claro:

  

  ¿Qué queda al sumar todos esos cuartos? Pues, como se puede ver, queda un tercio del triángulo, por lo que la suma, como habíamos comentado, es . Mola, ¿a que sí?

Las imágenes las he tomado de aquí (y la imagen del ojo de aquí). Si conocéis más que todavía no haya publicado, os agradecería que me dejarais enlaces a las mismas en los comentarios. A ver si con vuestras aportaciones podemos publicar un nuevo post.

Otras demostraciones visuales en Gaussianos:

• Cervezas geométricas
• Resolver el cuadrado y el cubo de un binomio de forma gráfica
• Sencilla demostración del teorema de Pitágoras
• Dos demostraciones geométricas del teorema de Pitágoras
• La singular belleza de las demostraciones visuales
• Demostración sin palabras de que un segmento tiene tantos puntos como una recta
• La singular belleza de las demostraciones visuales (II)
• Demostración sin palabras de la fórmula para calcular el área de un círculo (y también el vídeo)

Esta entrada participa en la Edición 7.7: «La máquina de Llull del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión alberga el blog Los matemáticos no son gente seria, de nuestro amigo Juan Martínez-Tébar.