Pues eso, lo que dice el título. Una única imagen. Una demostración clara, concisa e irrefutable de la fórmula para calcular el área de un círculo a partir de la expresión de la longitud de su circunferencia. Ahí va:

Ha quedado claro, ¿a que sí?

La imagen corresponde a este pdf de la MAA, del cual tuve conocimiento gracias a @MathUpdate.

Bueno, por si no ha quedado suficientemente claro vamos a ponerle alguna palabra a esta demostración. Partimos de un círculo de radio R, por lo que la longitud de la circunferencia exterior es 2 \pi R. Para cada punto representamos círculos concéntricos dentro del círculo inicial, y después cortamos por un radio y abrimos el círculo hasta que la circunferencia exterior quede como una línea recta. Lo que nos queda es que nuestro círculo se ha convertido en un triángulo, del cual podemos calcular el área, que es \frac{\mbox{base} \cdot \mbox{altura}}{2}.

Pero realizar este cálculo es sencillo. ¿Cuál es la base? Pues 2 \pi R, la longitud de la circunferencia exterior inicial. ¿Cuál es la altura? Pues R, el radio del círculo inicial. Por tanto tenemos que el área de ese triángulo, que es precisamente el área del círculo inicial, es

A=\cfrac{2 \pi R \cdot R}{2}=\pi R^2

que es precisamente la fórmula que conocemos.

Bonita demostración, ¿verdad?

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