Que el conjunto de los números trascendentes es un conjunto no numerable es un hecho bastante conocido, y hasta diría que sencillo de demostrar. De hecho, en este mismo blog ya hemos publicado alguna demostración del mismo, aunque dicha prueba es, por decirlo de alguna manera, «indirecta» (en realidad se demuestra que el conjunto de los números algebraicos sí es numerable, por lo que el de los trascendentes no puede serlo). Hoy vamos a ver una prueba «directa» de la no numerabilidad de los trascendentes.

Pero comencemos por el principio. Aunque podría apostar a que la mayoría de los lectores de este blog saben qué es un número algebraico y un número trascendente, creo que no está de más recordarlo. A saber:

– Un número real \alpha es un número algebraico si existe algún polinomio de grado finito cuyos coeficientes sean todos números enteros

p(n)=a_nx^n+ \ldots+ a_1x+a_0

que tenga a \alpha como raíz (es decir, tal que p(\alpha)=0).

– Un número real \beta es un número trascendente si no es algebraico (es decir, si no existe ningún polinomio con las características descritas antes que lo tenga como raíz).

Todo número real puede clasificarse como algebraico (si existe tal polinomio) o trascendente (si no existe dicho polinomio). Por tanto, el conjunto \mathbb{R} de los números reales puede expresarse como la unión del conjunto \mathbb{A} de los números algebraicos y el conjunto \mathbb{T}=\mathbb{R} \backslash \mathbb{A} de los números trascendentes.

La demostración habitual de la no numerabilidad de los números trascendentes parte del conocido hecho de que los números reales forma un conjunto no numerable. Teniendo en cuenta esto, se demuestra que el conjunto de los números algebraicos sí es numerable y de ahí se deduce que el de los trascendentes (el resto de número reales) no puede serlo, con lo que la demostración está terminada.

Pero, como decíamos al principio, esto no es una demostración «directa», no demostramos directamente que los trascendentes son no numerables, sino que los algebraicos sí lo son, y nuestro objetivo se obtiene como consecuencia de esto.

Pero el caso es que dicha prueba «directa» existe, y hoy la vamos a ver aquí. Comencemos definiendo la siguiente función del intervalo [0, + \infty) en los números trascendentes

f:[0,+ \infty) \longrightarrow \mathbb{R} \backslash \mathbb{A}

de la siguiente forma:

f(x) = \begin{cases} \pi+x & \mbox{, si } \pi+x \not\in \mathbb{A} \\ \pi-x & \mbox{, si } \pi+x \in \mathbb{A} \end{cases}

Veamos para comenzar que nuestra función f(x) está bien definida (es decir, que para todo valor de x obtenemos un número trascendente). Si x es un número mayor o igual que cero tal que \pi+x no es algebraico entonces no hay problema, ya que el valor de la función es el propio \pi+x, que como hemos dicho antes no es algebraico (y por tanto es trascendente). Ahora, si x es un número mayor o igual que cero tal que \pi+x sí que es algebraico, entonces \pi-x debe ser obligatoriamente trascendente. ¿Por qué? Muy sencillo. Si \pi-x también fuera algebraico en este caso, y usando que

  • Si sumamos dos algebraicos obtenemos un algebraico.
  • Si dividimos un algebraico entre un número entero obtenemos un algebraico.

tendríamos que

\pi=\cfrac{(\pi+x)+(\pi-x)}{2}

sería algebraico, pero ya sabemos que en realidad \pi es un número trascendente. Por tanto, si \pi+x es algebraico entonces \pi-x no lo es, y en consecuencia la función f(x) está bien definida.

Nos falta el toque final, pero para ello necesitamos comentar algo antes. El intervalo [0,+ \infty) es un conjunto no numerable, por lo que si encontramos otro conjunto que contenga como subconjunto algo tan grande como dicho intervalo entonces ese otro conjunto también será no numerable. Pues eso mismo es lo que vamos a hacer: demostrar que dentro del conjunto \mathbb{R} \backslash \mathbb{A} de los números trascendentes hay un conjunto tan grande como el intervalo [0,+ \infty). Y eso lo vamos a ver comprobando que nuestra función f(x) es inyectiva, pero antes de nada vamos a definir dicha propiedad de ciertas funciones:

Una función g:A \longrightarrow B es inyectiva si dados x,y \in A, el hecho de que f(x)=f(y) implica que x=y.

En otras palabras, si x \ne y, entonces f(x) \ne f(y). Es decir, el conjunto B tiene un elemento por cada uno de los elementos de A, por lo que, dicho informalmente, B tiene al menos tantos elementos como tiene A.

Veamos que nuestra función es inyectiva:

Sean x,y \in [0,+ \infty) y supongamos que f(x)=f(y). Hay tres casos:

  1. Tanto \pi+x como \pi+y son algebraicos

    Entonces f(x)=\pi-x y f(y)=\pi-y, por lo que de f(x)=f(y) tenemos que \pi-x=\pi-y. De aquí, restando \pi a ambos lados y multiplicando después la expresión completa por -1 llegamos a donde queríamos, x=y.

  2. Tanto \pi+x como \pi+y son trascendentes

    Entonces f(x)=\pi+x y f(y)=\pi+y, por lo que de f(x)=f(y) tenemos que \pi+x=\pi+y. De aquí, restando \pi a ambos lados llegamos también a que x=y.

  3. Uno de ellos, por ejemplo \pi+x, es algebraico y el otro, \pi+y, es trascendente

    Entonces f(x)=\pi-x y f(y)=\pi+y. De f(x)=f(y) tenemos que \pi-x=\pi+y, y restando \pi a ambos lados obtenemos que -x=y. Pero tanto x como y son mayores o iguales que cero, por lo que la única posibilidad real de que esto ocurra es que ambos sean cero, por lo que también llegamos a que x=y.

Es decir, sean cuales sean x,y \in [0,+ \infty) se tiene que partiendo de f(x)=f(y) obtenemos que x=y. Por tanto f(x) es inyectiva, y esto en nuestro caso significa que el conjunto \mathbb{R} \backslash \mathbb{A} de los números trascendentes contiene un conjunto no numerable, por lo que él mismo es también no numerable.

Espero que la demostración que os traigo hoy os haya parecido interesante, y también espero que si conocéis alguna otra demostración que siga esta línea la compartáis con nosotros en los comentarios.

Fuente: la página de Facebook de The American Mathematical Monthly. Yo lo vi en la página de Facebook de Matgazine.

Esta entrada es la primera aportación de Gaussianos a la edición 4.12310562561 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza nuestro amigo Cuentos Cuánticos.

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