Demostración sin palabras de que un segmento tiene tantos puntos como una recta

Pues eso, lo que dice el título. Una única imagen. Una demostración clara, concisa e irrefutable de que un segmento tiene tantos puntos como toda la recta real:

Nada que objetar, ¿verdad?


Imagen tomada de este hilo de mathoverflow, donde aparecen muchas más demostraciones sin palabras, algunas de ellas también muy interesantes.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

18 Comentarios

  1. Está clarísimo, pero en la Universidad siempre te dicen que: Un dibujo no es una demostración, para darlo por bueno eso habría que llevarlo a lenguaje algebraico, es decir, demostrarlo analíticamente.
    Sin embargo, luego vino un prestigioso profesor de otra Universidad a dar una conferencia cuyo título era: “Como nos gustaría demostrar”, y la conferencia decía eso, que una demostración puede ser más simple y amena que un chorro de cuentas con lemas previos, etc, etc. Y puso muchos ejemplos de varios resultados conocidos con demostraciones del tipo este que tú has puesto.

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    • Estoy de acuerdo con ese profesor , hasta la inversión del álgebra a fines del siglo X las demostraciones era geométricas, y recién a fines del siglo XVIII con el genial Gauss , Euler y contemporáneos se comenzó a sistematizar demostraciones algebraicas
      Las cientos de demostraciones del teorema de Pitágoras son en su mayoría gráficas.
      El libro de matemáticas más editado del mundo, Los Elementos de Euclides basan todas sus demostraciones en demostraciones visuales , nada de álgebra, que se desarrolló casi 1500 ajos después.

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  2. Bueno, un intuicionista diría que es la demostración de que no pueden existir entes continuos como “segmento” y “recta” 🙂

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  3. jajajajajajajajajaja…. También podemos demostrar que las rectas solo tienen un punto. Sabiendo que una circunferencia tiene los mismos que una recta menos un punto (proyecciones estereográficas). Y como también ha dicho @Marcos, tiene el doble que una recta más dos puntos (los del diámetro marcado), por la imagen de arriba. Por tanto, y tirando de cuentas:
    Si x es el número de puntos que tiene una recta:
    2x+2=x-1 …….. x=1.
    Las rectas tienen solo un punto. Demostrado jajajajaja…

    PD: No sé usar LaTeX, pero para lo poco que he escrito se entiende.

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  4. DokiDokiRider, si el segmento es cerrado entonces tiene dos puntos más XD, es lo que si lo llevamos a la recta en análisis consideramos [-Infinito, Infinito] (Cerrado). Creo que se le llama la compactación de R por dos puntos.

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    • El segmento no tiene tantos puntos como toda la recta real; El segmento es un intervalo cerrado, tiene principio y fin o viceversa, la recta real es infinita. Cuando esto no se toman en cuento a la hora de las demostraciones gráficas
      surgen las paradojas. Por todo esto es muy pertinente la pregunta de DokiDokiRider.

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  5. Sí, bueno… Mediante la función tangente te llevas el (0, Pi/2) en R y tomando límites en 0+ y Pi/2- pues sí. ¡Ojo! Nótese que -Infinito y +Infinito no son números, son objetos matemáticos que se usan para ampliar el orden en R, de forma que:
    Infinito>x para todo x de R y -Infinito<x para todo x de R.

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  6. Me es relevante la pregunta de DokiDokiRider. y si el segmento es cerrado? Ahora, pregunto: ¿el segmento es un intervalo abierto?. La interrogante surge porque de alguna manera, un intervalo cerrado es finito (tiene principio y fin).

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  7. Últimamente He descubierto muchas particularidades en esta demostración. Ahora la veo mas clara en el otro idioma. es evidente que cuando se toma en cuenta un comentario cosas nuevas salen a la luz.

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