Pues eso, lo que dice el título. Una única imagen. Una demostración clara, concisa e irrefutable de que un segmento tiene tantos puntos como toda la recta real:
Nada que objetar, ¿verdad?
Imagen tomada de este hilo de mathoverflow, donde aparecen muchas más demostraciones sin palabras, algunas de ellas también muy interesantes.
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Está clarísimo, pero en la Universidad siempre te dicen que: Un dibujo no es una demostración, para darlo por bueno eso habría que llevarlo a lenguaje algebraico, es decir, demostrarlo analíticamente.
Sin embargo, luego vino un prestigioso profesor de otra Universidad a dar una conferencia cuyo título era: «Como nos gustaría demostrar», y la conferencia decía eso, que una demostración puede ser más simple y amena que un chorro de cuentas con lemas previos, etc, etc. Y puso muchos ejemplos de varios resultados conocidos con demostraciones del tipo este que tú has puesto.
Estoy de acuerdo con ese profesor , hasta la inversión del álgebra a fines del siglo X las demostraciones era geométricas, y recién a fines del siglo XVIII con el genial Gauss , Euler y contemporáneos se comenzó a sistematizar demostraciones algebraicas
Las cientos de demostraciones del teorema de Pitágoras son en su mayoría gráficas.
El libro de matemáticas más editado del mundo, Los Elementos de Euclides basan todas sus demostraciones en demostraciones visuales , nada de álgebra, que se desarrolló casi 1500 ajos después.
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: Pues eso, lo que dice el título. Una única imagen. Una demostración clara, concisa e irrefutable de que un segmento tiene tantos puntos como toda la recta real: Nada que objetar, ¿verdad? Imagen tomada de este hilo de mat……
Bueno, un intuicionista diría que es la demostración de que no pueden existir entes continuos como «segmento» y «recta» 🙂
………y una circunferencia tiene el doble…
Y si el segmento es cerrado?
jajajajajajajajajaja…. También podemos demostrar que las rectas solo tienen un punto. Sabiendo que una circunferencia tiene los mismos que una recta menos un punto (proyecciones estereográficas). Y como también ha dicho @Marcos, tiene el doble que una recta más dos puntos (los del diámetro marcado), por la imagen de arriba. Por tanto, y tirando de cuentas:
Si x es el número de puntos que tiene una recta:
2x+2=x-1 …….. x=1.
Las rectas tienen solo un punto. Demostrado jajajajaja…
PD: No sé usar LaTeX, pero para lo poco que he escrito se entiende.
DokiDokiRider, si el segmento es cerrado entonces tiene dos puntos más XD, es lo que si lo llevamos a la recta en análisis consideramos [-Infinito, Infinito] (Cerrado). Creo que se le llama la compactación de R por dos puntos.
El segmento no tiene tantos puntos como toda la recta real; El segmento es un intervalo cerrado, tiene principio y fin o viceversa, la recta real es infinita. Cuando esto no se toman en cuento a la hora de las demostraciones gráficas
surgen las paradojas. Por todo esto es muy pertinente la pregunta de DokiDokiRider.
Seria algo parecido a hacerlo con [0 , pi/2] y tan(x), no?
Sí, bueno… Mediante la función tangente te llevas el (0, Pi/2) en R y tomando límites en 0+ y Pi/2- pues sí. ¡Ojo! Nótese que -Infinito y +Infinito no son números, son objetos matemáticos que se usan para ampliar el orden en R, de forma que:
Infinito>x para todo x de R y -Infinito<x para todo x de R.
Las infinitas simetrías de un segmento de una circunferencia.
zaz fui el único que no entendió
[…] de Pitágoras, aquí y aquí, con las potencias de un binomio, con algunas sumas infinitas o con segmentos y rectas hace bien poco. Hoy os traigo dos demostraciones gráficas relacionadas con series que aparecieron […]
Me ha encantado esta demostración, por ello he enlazado la entrada en el post que he publicado esta noche en mi blog:
http://elmundoderafalillo.blogspot.com/2011/08/no-es-mio-pero-es-interesante-xxxiii.html
También te enlazo otra entrada 😉
Te doy las gracias por aquí también Rafalillo :). He enlazado tu entrada en mi Twitter.
Gracias por el tweet 😀
Este applet muestra otra forma de hacer una biyección de un intervalo del eje Ox a todo el eje Ox: https://goo.gl/HJL9B0
Me es relevante la pregunta de DokiDokiRider. y si el segmento es cerrado? Ahora, pregunto: ¿el segmento es un intervalo abierto?. La interrogante surge porque de alguna manera, un intervalo cerrado es finito (tiene principio y fin).
Últimamente He descubierto muchas particularidades en esta demostración. Ahora la veo mas clara en el otro idioma. es evidente que cuando se toma en cuenta un comentario cosas nuevas salen a la luz.
Siempre me ha parecido muy discutible esa idea. Que una parte de la recta tenga la misma «cantidad» de puntos que toda la recta es intuitivamente difícil de asimilar. Supongamos que tenemos dos segmentos paralelos, uno debajo del otro, y que uno de ellos tiene el doble de la longitud del otro. Si se compara la mitad del segmento mas grande con la longitud del otro, vemos que muy seguramente tienen la misma cantidad de puntos porque son iguales. Pero si a esa mitad del segmento mayor se le agregan mas y mas puntos, la lógica y el pensamiento racional… Lee más »