Pues eso, lo que dice el título. Una única imagen. Una demostración clara, concisa e irrefutable de que un segmento tiene tantos puntos como toda la recta real:
Nada que objetar, ¿verdad?
Imagen tomada de este hilo de mathoverflow, donde aparecen muchas más demostraciones sin palabras, algunas de ellas también muy interesantes.
Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.
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11/08/2011
Está clarísimo, pero en la Universidad siempre te dicen que: Un dibujo no es una demostración, para darlo por bueno eso habría que llevarlo a lenguaje algebraico, es decir, demostrarlo analíticamente.
Sin embargo, luego vino un prestigioso profesor de otra Universidad a dar una conferencia cuyo título era: “Como nos gustaría demostrar”, y la conferencia decía eso, que una demostración puede ser más simple y amena que un chorro de cuentas con lemas previos, etc, etc. Y puso muchos ejemplos de varios resultados conocidos con demostraciones del tipo este que tú has puesto.
11/08/2011
Bueno, un intuicionista diría que es la demostración de que no pueden existir entes continuos como “segmento” y “recta” 🙂
11/08/2011
………y una circunferencia tiene el doble…
11/08/2011
Y si el segmento es cerrado?
11/08/2011
jajajajajajajajajaja…. También podemos demostrar que las rectas solo tienen un punto. Sabiendo que una circunferencia tiene los mismos que una recta menos un punto (proyecciones estereográficas). Y como también ha dicho @Marcos, tiene el doble que una recta más dos puntos (los del diámetro marcado), por la imagen de arriba. Por tanto, y tirando de cuentas:
Si x es el número de puntos que tiene una recta:
2x+2=x-1 …….. x=1.
Las rectas tienen solo un punto. Demostrado jajajajaja…
PD: No sé usar LaTeX, pero para lo poco que he escrito se entiende.
11/08/2011
DokiDokiRider, si el segmento es cerrado entonces tiene dos puntos más XD, es lo que si lo llevamos a la recta en análisis consideramos [-Infinito, Infinito] (Cerrado). Creo que se le llama la compactación de R por dos puntos.
20/06/2018
El segmento no tiene tantos puntos como toda la recta real; El segmento es un intervalo cerrado, tiene principio y fin o viceversa, la recta real es infinita. Cuando esto no se toman en cuento a la hora de las demostraciones gráficas
surgen las paradojas. Por todo esto es muy pertinente la pregunta de DokiDokiRider.
12/08/2011
Seria algo parecido a hacerlo con [0 , pi/2] y tan(x), no?
12/08/2011
Sí, bueno… Mediante la función tangente te llevas el (0, Pi/2) en R y tomando límites en 0+ y Pi/2- pues sí. ¡Ojo! Nótese que -Infinito y +Infinito no son números, son objetos matemáticos que se usan para ampliar el orden en R, de forma que:
Infinito>x para todo x de R y -Infinito<x para todo x de R.
12/08/2011
Las infinitas simetrías de un segmento de una circunferencia.
14/08/2011
zaz fui el único que no entendió
30/08/2011
Me ha encantado esta demostración, por ello he enlazado la entrada en el post que he publicado esta noche en mi blog:
http://elmundoderafalillo.blogspot.com/2011/08/no-es-mio-pero-es-interesante-xxxiii.html
También te enlazo otra entrada 😉
31/08/2011
Te doy las gracias por aquí también Rafalillo :). He enlazado tu entrada en mi Twitter.
31/08/2011
Gracias por el tweet 😀
16/04/2018
Este applet muestra otra forma de hacer una biyección de un intervalo del eje Ox a todo el eje Ox: https://goo.gl/HJL9B0
26/04/2018
Me es relevante la pregunta de DokiDokiRider. y si el segmento es cerrado? Ahora, pregunto: ¿el segmento es un intervalo abierto?. La interrogante surge porque de alguna manera, un intervalo cerrado es finito (tiene principio y fin).