Estoy seguro de que todos sabéis de que hablo si nombre el teorema de Pitágoras. Es uno de esos resultados que se nos quedan grabados a todos desde el colegio. Pero probablemente mucha gente no haya visto o no recuerde ninguna demostración de este hecho y no sepa cómo demostrarlo.

Hay muchísimas demostraciones de este teorema (en la Wikipedia podéis ver unas cuantas). Yo os quiero presentar en este post una que a mí particularmente me parece muy sencilla de comprender.

Vamos con ella:

Supongamos que tenemos un cuadrado de lado r y en cada uno de sus lados colocamos un triángulo rectángulo de catetos x e y. Como en esta situación la hipotenusa de cada uno de los triángulos es r, queremos probar que x^2+y^2=r^2. La figura que hemos obtenido es la siguiente:

Es claro que la parte exterior en conjunto es un cuadrado de lado x+y. Por tanto, el área de ese cuadrado es (x+y)^2 (recordemos que el área de un cuadrado se calcula elevando al cuadrado lo que mide su lado). Por la misma razón, el área del cuadrado que queda dentro es r^2. Y el área de cada uno de los triángulos es xy \over 2 (recordemos que el área de un triángulo es base por altura partido por 2). Como el cuadrado exterior está formado por el cuadrado interior y los cuatro triángulos se tiene que el área de aquél es la suma de las áreas de éstos, es decir:

(x+y)^2 = r^2 + 4 \cdot \cfrac{xy}{2} (1)

Desarrollamos la parte izquierda de la igualdad:

(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2

Sustituímos en (1):

x^2 + 2xy + y^2 = r^2 + 2xy

Y ahora restamos a ambos lados de la igualdad 2xy, obteniendo así el resultado buscado:

x^2+y^2=r^2

Espero que todos la hayáis entendido.

Fuente: Math Fun Facts

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