Ya estamos aquí con la solución del Desafío GaussianosyGuijarro nº 2 – Las edades secretas y, por tanto, del ganador de Círculos Matemáticos.

Se han recibido 41 respuestas, de las cuales 38 eran correctas. La solución era que las edades de cada uno de los miembros de la familia eran 35 años para el padre, 21 para la madre y 7 para el niño. Recordamos el enunciado del problema:

Un hombre, su mujer y el hijo de ambos guardan sus edades como un secreto familiar. Pero con motivo de esta serie de Desafíos han decidido darnos pistas sobre ellas para comprobar si somos capaces de descubrirlas. Esto es lo que nos ha comentado el padre:

“La suma de nuestras edades es inferior a 70. Mi edad es cinco veces la de mi hijo y dentro de algunos años la relación de mi edad con la de mi hijo será un número entero igual a la relación de la suma de las tres edades que tendremos entonces en la familia con la suma de las tres edades que tenemos hoy.”

Sabiendo que todas las cantidades son números enteros yo ya he descubierto las edades de cada uno de ellos, y he visto que hay algo bastante inusual en alguna de ellas. ¿Podrías averiguar esas edades y ese detalle poco habitual?

La manera de resolverlo que yo conocía era la siguiente:

Sean P,M,E,A,x,y las edades del padre, de la madre, del hijo, la suma de estas tres edades, los «algunos años» que comenta el padre y el valor de las relaciones comunes. Todos ellos son números enteros. Se tienen las siguientes relaciones:

\begin{matrix} P+M+E=A, P=5E \\ \\ \cfrac{P+x}{E+x}=\cfrac{5E+x}{E+x}=y \; (1) \\ \\ \cfrac{A+3x}{A}=y \; (2) \end{matrix}

De (2) obtenemos que \textstyle{x=\frac{A(y-1)}{3}}. Metiendo este valor en (1):

E=\cfrac{A(y-1)^2}{15-3y}

de donde

P=\cfrac{5A(y-1)^2}{15-3y} \; (3)

y

M=A-P-E=\cfrac{A(-2y^2+3y+3)}{5-y} \; (4)

Ahora, y no puede ser 5 (anularía el denominador de (4)) ni tampoco mayor que 5 (en ese caso tendríamos que \textstyle{x \ge \frac{5A}{3}}, cosa que es imposible). Además, y es distinto de 1 (ya que si fuera 1 tanto E como P serían cero).

Todo esto nos lleva a que y solamente puede ser 2, 3 ó 4. Veamos que 2 es el único valor posible.

Tenemos que M y 5-y son positivos, por lo que de (4) obtenemos

-2y^2+3y+3 > 0 \rightarrow 2y^2-3y-3 < 0[/latex] Por tanto [latex]y debe estar comprendido entre las soluciones de 2y^2-3y-3=0 (ya que y es positivo). Estas soluciones son

\cfrac{3-\sqrt{33}}{4} y \cfrac{3+\sqrt{33}}{4}

La primera es negativa y la segunda está entre 2 y 3. Por todo ello la única opción posible para y es que sea igual a 2.

Como este valor de y obtenemos los siguientes resultados de (3) y (4):

E=\cfrac{A}{9}, \; P=\cfrac{5A}{9}, \; M=\cfrac{A}{3}

Como E es un número entero, tenemos que A debe ser múltiplo de 9. El mayor múltiplo de 9 menor que 70 es 63, valor con el que obtenemos que el padre tiene 35 años, la madre 21 y el hijo 7, con lo que obtenemos que la madre tenía 14 años cuando nació su hijo. El resto de valores de A dan edades para la madre menores o iguales a 12. Aunque no son totalmente imposibles, sí que son altamente improbables. De hecho son hasta ilegales en nuestro país, ya que la edad legal de consentimiento sexual en España es de 13 años (gracias por el dato Luis).

Evidentemente, el detalle poco habitual de estas edades es la diferencia de edad entre el padre y la madre en el momento del nacimiento del niño, además de la bajísima edad de la madre en ese momento. Es curioso que algunos de vosotros habéis encontrado otra curiosidad en las edades de los tres: son tres números combinatorios consecutivos:

\displaystyle{7={7 \choose 1}, \; 21={7 \choose 2}, \; 35={7 \choose 3}}

Sobre vuestras soluciones, comentar que algunas han sido algo más cortas que la mía, pero esencialmente son iguales.

El ganador de este desafío ha sido Pablo Rodríguez Sanchez, también conocido como DonMostrenco y autor del blog Science Applets (muy recomendable, por cierto). Las gestiones para el envío del premio ya han comenzado.

No quería dejar pasar la oportunidad de comentar algo que Pablo comentó en la solución que nos envió. En el momento en el que había que considerar qué edades de la madre eran viables, Pablo comentó lo siguiente:

Para escoger una sola de éstas soluciones es necesario tener en cuenta factores biológicos ajenos a las matemáticas concernientes a la edad de la madre en el momento del nacimiento de su hijo…

con un pie de página que decía

Lo cuál, en mi humilde opinión, hace de éste un pésimo problema matemático.

Bajo mi humilde opinión, el hecho de que haya que descartar soluciones en función de ciertos datos relacionados con la realidad no hace que un problema matemático sea pésimo. Más bien al contrario, puede servir para que quede más claro que no todas las soluciones son válidas en todos los casos, aunque matemáticamente sí lo sean.

Muy pronto tendremos el próximo desafío. Espero vuestra participación, como siempre. Muchas gracias a todos.

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