Como el problema de esta mañana ha resultado más sencillo de lo esperado os dejo otro para el día de hoy. Ahí va el enunciado:
Si
son enteros positivos, demostrar que el producto
es cuadrado perfecto si y sólo si cada uno de los factores
,
,
es un cuadrado perfecto.
Que se dé bien.
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Aplicamos la propiedad distributiva de la raiz respecto a la multiplicación:
Aplicamos la propiedad conmutativa de la multiplicación:
Aplicamos la propiedad asociativa de la raiz respecto a la multiplicación:
*
Si
son cuadrados perfectos, quiere decir que:
1.
Reemplazando 1 en *:
Me parece que no era así, ¿no?.
Seguramente hay una fórmula con sumatoria para demostrarlo pero me ha parecido sencillo hacerlo así…
Aioz.-
Ircopcito, tu definición de cuadrado perfecto no parece correcta, el enunciado dice que
[1] (ab+1)(bc+1)(ca+1)=u^2 con u natural
sii
[2] ab+1=r^2 y bc+1=s^2 y ca+1=t^2
con r, s y t naturales.
de [2] a [1] es trivial pues es
r^2 s^2 t^2 = u^2 -> u=rst
pero de [1] a [2]…
@josejuan: Toda la razón. Lo mío es una igualdad, no la definición de cuadrado perfecto.
Como dije, me parecía estar errado. Diferencias horarias, estaba dormidísimo. 🙂
Gracias por corregir.
Aioz.-
Primero se verifica que un cuadrado perfecto puede ser expresado como el producto de dos factores, siempre y cuando ambos sean cuadrados perfectos. Si un cuadrado perfecto puede expresarse de otra forma que no sea esta, entonces las unicas posibilidades que quedan es que sean dos numeros impares cuando uno de los dos no es un cuadrado perfecto, o dos numeros pares que cumplen la misma condicion. Entonces, suponiendo que esas posibilidades existen, se tiene que: , ya que una forma de tratar dos numeros impares y que siempre uno de los dos no sea un cuadrado, es tomando un… Lee más »
Superman, si no me equivoco la suposición que hace de un numero impar y su anterior es demasiado fuerte y restrictiva. Quiero decir, por qué toma precisamente un número impar y su inmediatamente anterior? Hay números impares (o pares) que, sin ser necesariamente sucesivos, y siendo cuadrados perfectos, su producto forma también un cuadrado perfecto.
Ejemplo: 729=3^6=(3^3)^2 (luego cuadrado perfecto)= 3^2*3^4=9*81 (luego producto de dos cuadrados perfectos).
Lo que tomo son numeros impares,los cuales por lo menos uno de los dos no es un cuadrado, para demostrar que en esa condicion no se puede obtener un cuadrado. En el caso que propones tanto 9 como 81 son cuadrados.
Quedan más opciones: que sea producto de un par y un impar ambos cuadrados perfectos, que sea producto de un par y un impar solo uno de ellos cuadrado perfecto, y, finalmente, que ninguno de los dos sea cuadrado perfecto
Hay varios, en apariencia, non sequitur y hipótesis inconcluyentes. Tratar simplemente un número impar y su anterior, ya que así estamos en el caso de que uno sea cuadrado perfecto y el otro no es innecesariamente restrictivo. ¿Qué pasa con: «… ya que una forma de tratar dos numeros impares y que siempre uno de los dos no sea un cuadrado, es tomando un impar y su anterior»? Sí, es una forma, pero no la única hasta donde podemos saber. Puede haber otras formas de tratar números impares que cumplan esa condición y no precisamente esa, ad hoc, para llegar… Lee más »
Por último, después de toda su argumentación, ha sacado de la manga, de repente:
«Entonces: (ab+1)=m^2
(bc+1)=n^2.»
¿Entonces cómo? No enlaza para nada con lo anterior, no existe tal hilo argumental. ¿Que de que un número perfecto sea al final producto de dos cuadrados perfectos, se deduce al final que (ab+1)=m^2 y que (bc+1)=n^2?
Por ahi me exprese mal. Lo que quise poner es que, en general (sin importar si son pares o impares), las opciones son las siguientes: uno cuadrado y el otro cuadrado, uno cuadrado y el otro no, ninguno cuadrado. La primera es la que demostraria la propuesta, la segunda es la que demostre imposible, y la tercera (y ahora lo pienso) es aquella que nunca refute. Todo esto se trato de refutar las dos ultimas opciones (aunque solo refute la segunda, en la cual ademas pueden ser pares o impares), para luego concluir que la unica opcion posible es que… Lee más »
Creo, pero quizás me equivoque -peer review! donde está cuando se le necesita, jeje!-, que lo único que ha probado es que un número cuadrado perfecto no puede expresarse como producto de dos impares (o dos pares) consecutivos, independientemente de si esos dos números son cuadrados perfectos o no. Fíjese bien. Y es un gran resultado, ¿eh? Es muy posible que yo también me haya expresado mal (hablar de matemáticas a veces tiene eso, cuesta captar y expresar con lenguaje la sutileza de una implicación). My fault. Sin embargo voy a intentar expresarme mejor. Primero dice: «Primero se verifica que… Lee más »
Sobre lo ultimo, como al principio habia propuesto que solo habia DOS posibilidades (lo que es falso) y prove que una de ellas era falsa, lo que quedaba era la otra, cuando digo: «Entonces la unica opcion es que los dos terminos sean cuadrados perfectos». Y con respecto a la prueba en si, digo consecutivos, porque lo que me importo desarrollar era que sean dos factores cuando por lo menos uno no es un cuadrado. Esos factores pueden ser pares o impares, y cualesquiera que sean, si uno de ellos es un cuadrado, o bien el siguiente o bien el… Lee más »
No, no. Fíjese bien. Usted no lo está demostrando para cualquier número, usted solo lo esta demostrando para dos números impares o pares CONSECUTIVOS. Y sí, lo demuestra bien. Pero SOLAMENTE demuestra eso. ¿Por qué han de ser consecutivos? Demuestre primero que estos han de ser precisamente CONSECUTIVOS. Usted parte directamente de que (2k-1)*(2k+1)=d^2. ¿Por qué precisamente han de ser así? Una vez demostrada esta parte, entonces bien, puede pasar a demostrar, cosa que hace, que esos dos números no cumplen la propiedad que busca: que son cuadrados perfectos. Pero, y aqui radica el quid de la cuestión, pueden cumplirla… Lee más »
Si tal vez es como usted dice, ya que no lo pruebo para todos los numeros (impares y pares con la diferencia que sea). Pero, sin embargo lo que yo digo es que queria dos numeros cualesqueira que cumplan con que uno de ellos no es un cuadrado y el otro si. Ahora bien, para generalizar esos numeros digo que son ambos naturales. Ademas son ambos impares, ambos pares o uno impar y el otro par (esto ultimo no lo dije). Entre los numeros impares encuentro que una forma de tomar dos numeros impares que siempre al menos uno de… Lee más »
Demuestre «1) Cuando se esta hablando del producto de dos numeros no cuadrados diferentes, entonces los resultados que se obtengan nunca pueden ser cuadrados». O dicho de otra manera, demuestre que: sean n y m dos enteros positivos no cuadrados. Entonces no existe d entero positivo tal que d^2=n*m. O más fuerte aun, demuestre que: sean n y m, dos enteros positivos, entonces, no existe d entero positivo tal que d^2=n*m si y solo si dichos n y m no son cuadrados perfectos. Usted solo lo ha demostrado para el caso particular de que dos números sean pares o impares… Lee más »
Muchas gracias maelstrom, gracias por corregirme. Intentare demostrar eso y vere que pasa.
Saludos.
|||Para «1) Cuando se esta hablando del producto de dos numeros no cuadrados diferentes, entonces los resultados que se obtengan nunca pueden ser cuadrados”. ||| Supongamos un numero , con x, m y n numeros naturales. Entonces se debe tener que no es un cuadrado y que ni ni lo son. Tambien, m y n pueden ser primos o compuestos. Para m y n primos, y el producto de dos primos diferentes no es nunca un cuadrado. Para m primo y n compuesto: con a, b, etc. numeros primos y , etc. potencias de ellos (esta es la factorizacion de… Lee más »
«…Para m primo y n compuesto:…»
Si es
y es 
, tenemos que ninguno son cuadrados perfectos pero su producto sí.
Jose juan: entonces cuando uno es primo y el otro es compuesto, su producto puede ser cuadrado o puede no serlo. Ahora tal vez cuando se trata de
hay que ver que si uno de ellos es primos, el otro pueda ser compuesto. Es decir: como comparten b, tal vez si 
es primo entonces 
no puede ser compuesto, y si 
es compuesto entonces 
solo puede ser compuesto. Habria que ver eso.
Superman, por qué deja de banda los números que, siendo compuestos, dan un cuadrado (siendo ellos cuadrados o no?):
9 es cuadrado, 4 también, su producto, 36 también lo es… ¿Y? ¿Estos números no valen? Son tan números como cualquier otro.
No entendi a lo que se refiere, perdon jaja.
En resumidas cuentas: 1) que sigue atacando el problema en casos muy restringidos; y 2) que como ha señalado Josejuan, encima le han dado un contraejemplo que malbarata un poco el esfuerzo.
Temo que por ahí el problema está lejos de resolverse…
Un saludo!
Sisi el contraejemplo lo vi, pero por eso: la resolucion del problema se encuentra en que tal vez como, por ejemplo, el primer factor ( y el segundo comparten a entonces puede ser que si uno de los dos factores es primo (por ej) el otro no puede ser otra cosa que primo. Si uno de los factores es compuesto el otro no puede ser otra cosa que compuesto. Y para dos factores primos o dos factores compuestos no cuadrados (ya que un primo y uno compuesto no se podria) no se podria obtener un producto cuadrado. Entonces lo unico… Lee más »
Bueno, no lo he solucionado, pero creo que aclaro el batiburrillo que se ha formado. Antes de nada, veamos que , y deben ser diferentes: Supongamos que dicho producto es un cuadrado perfecto cuya raíz es . Si de donde lo cual sabemos no es posible por no tener raíces reales (no digamos enteras). Si entonces que tampoco puede ser, por tanto, caso de existir , y , deben ser diferentes dos a dos. Sean pues , y diferentes. Los multiplicandos pueden expresarse como al producto lo podemos expresar como Nótese que podemos intercambiar , y sin pérdida de generalidad… Lee más »
Creo haber entendido lo que propones. Pero lo que no entendi es de donde proviene
ni tampoco 
Disculpame ya lo entendi. Me parece que no habia prestado suficiente atencion.
Creo que ya he dado con la solución. Aunque seguro que hay cosas que pulir. Permítame usar su notación, Josejuan, para no aumentar el número de letras innecesariamente. Primero notemos que: (ab+1)=R, (bc+1)=S y (ca+1)=T son primos entre sí (dos a dos). Esto hará que, como no tienen ningún factor en común, la suma de los exponentes de cada factor común en R, T y S cuando multiplicamos R*T*S=U, no se da, porque no habría factores comunes a los que sumar los exponentes y cuya suma fuera par. Esto nos ahorra buscar combinaciones entre exponentes que sumen par (para que… Lee más »
«…son primos entre sí…» Me temo que no, tienes diversos casos, pero los tripletes siguientes muestran casos en que un multiplicando perfecto comparte factor con otro que no lo es, entre varios que lo son, etc… Por tanto y si he entendido bien, no es cierto que «…Ya tenemos que R, S y T son primos entre sí…» Habrá que seguir buscando! 😉 Per 0 1 0, Div 0 1 0 // ( 2, 3, 4 ) Per 0 0 1, Div 0 0 1 // ( 2, 3, 5 ) Per 0 0 0, Div 0 0 0 //… Lee más »
Mmmm, no entiendo bien lo que quiere decir. Por ejemplo, en el primer caso: Per 0 1 0, Div 0 1 0 // ( 2, 3, 4 ), tendríamos que en «Per 0 1 0» lo que quiere decir es que S es perfecto (de ahí el 1), mientras que R y T no (y de ahi su 0), ¿no?. ¿Y en «Div 0 1 0» si comparten algún divisor R y T? En el caso ya de la primera terna (2, 3, 4) no se da lo que, corríjame por favor, creo entender que dice. Pues para esa terna… Lee más »
Fíjese, si no me he equivocado en entenderle antes claro está, que la única terna que cumple la condición que mencioné en mi esbozo de demostración, es la que dice: Per 1 1 1, Div 1 1 1 // ( 2, 4, 12 ). En este caso, y siempre según lo que yo he entendido, tenemos (a, b, c)=(2, 4, 12); R=9=3^2, S=49=7^2 y T=25=5^2. Es el único caso en que R, S, T son primos entre sí y a la vez cuadrados perfectos, haciendo que U=R*S*T sea cuadrado perfecto. En el resto de casos U no da un cuadrado… Lee más »
Vaya perdona, el triplete Div lo he explicado mal, si hay un 1 es que RS, RT o ST respectivamente son coprimos (y no que comparten divisores que es lo contrario).
Entonces lo que tu muestras es que para U cuadrado perfecto R, S y T deben ser coprimos, que es una restricción más fuerte que la conjetura propuesta…
¡Pues igual sí lo tienes!, pero aquí es la 1 y estoy que me caigo…
Si parece correcto… GENIAL!
Uhm… ahora que estoy más fresco no veo tu solución maelstrom. Si entiendo bien, cuando dices «…Veamos pues, que R=ab+1, S=bc+1 y T=ca +1 son primos entre sí dos a dos…» no impones (ni/o usas, ni/o demuestras) que son primos sii R y S y T (y por tanto U) son cuadrados perfectos. Como no hay restricción, la primalidad (entre R, S y T) que muestras (baile de ab, ac y bc) no se da en todos los casos, que es lo que pretendía mostrar en mi listado. Por ejemplo, para , y , R, S y T no son… Lee más »
A continuación indico una demostración para el enunciado. Lamento no haber podido atender a los argumentos que se han indicado anteriormente. La prueba que escribo es por descenso infinito. Supongamos por reducción al absurdo que es cuadrado y que no todos los factores , , lo son. En estas condiciones suponemos que es una terna cumpliendo y que la suma es mínima. Sea , que es un número entero. Mostraremos a continuación que 0<<, que es cuadrado, y que no todos los factores , , lo son, lo cual contradiría la minimalidad de . 1º) resuleve la ecuación de segundo… Lee más »
Tela…
PD: me ha entrado la risa tonta.
Sí; no es por incordiar, M, pero… hágalo un poco más inteligible. Bueno, un mucho más inteligible. Sin acritud.
No entendi lo que propuso M.
Complicado, sí. Os recomiendo que vayáis escribiendo vosotros mismos cada paso y comprobando que todos son ciertos, pra entender mejor el razonamiento. Y así será más sencillo localizar qué pasos no entendéis.
Bueno, en el caso de lo propuesto por M, entiendo la estrategia: descenso infinito y contradicción (por tratarse de enteros positivos) y se demuestra pues que no todos los R, S y T pueden ser no-perfectos, es decir, que han de ser cuadrados perfectos los tres. Lo que no entiendo son sus pasos intermedios. ¿De dónde saca que d es tal, cumple (1) (el sistema 2i-2ii-2iii sí sé cómo llega) y etc., etc. en todos los pasos? Los cálculos necesitan, almenos para mí, ser un poco más explícitos. Parece que las definiciones de d, y la algorítmica usada, hayan sido… Lee más »
Bueno, los pasos ya los he entendido. Queda por determinar cómo halla la definición de ‘d’ justo antes del paso 1º); qué es la ecuación (1) y de dónde sale y en qué variable está la ecuación (¿’d’ solución de qué manera?); y finalmente qué quiere decir que ‘e’ es raíz de (1) en su determinación positiva.
Si no es mucha molestia, señor/a M…
Ya veo que esas pocas cuestiones permanecerán en el limbo de las Ideas… 🙁
Tranquilo maelstrom, todo se andará. No todo el mundo puede contestar en todo momento. Paciencia.
Saludos.
Hola, siento la tardanza en responder. Desde luego el problema es bastante difícil. El paso fundamental es que las ecuaciones (2i)-(2ii)-(2iii) son iguales, y de ahí parte todo. Esta cuestión tiene que ver con determinar conjuntos de números naturales de modo sea cuadrado para cualesquiera elementos. En el caso del problema propuesto se nos da un conjunto de tres elementos que cumplen la propiedad. Pues bien, Euler obtuvo que se puede añadir un cuarto número de tal modo que cumpla que sean cuadrados. Para conseguirlo, la genialidad de Euler consiste en considerar el sistema (2) en sus tres versiones: de… Lee más »
«Euler, Euler… The Master of us all!». Bueno, la frase fue pronunciada en francés, pero en fin. Gracias, M! Buena, o buenísima resolución. Algunos nos hemos quedado de piedra y todo.
Espectaculaar!
[…] Producto cuadrado perfecto […]