Con un poquito de retraso respecto a lo que es habitual llega el nuevo desafío de la serie Desafíos GaussianosyGuijarro (GyG), de Gaussianos y Libros Guijarro. El de este mes lo propone Antonio Rojas, profesor del departamento de Álgebra de la Universidad de Sevilla y, por qué no decirlo, medalla de plata en la Olimpiada Matemática Internacional de 1993. El problema en cuestión se titula Una sucesión muy particular y su enunciado es el siguiente:

Definimos la siguiente sucesión de números enteros, a(n), de forma recurrente:

\begin{matrix} a(1)=1 \\ \\ a(n)=\begin{cases} -a(n/2), & \mbox{ si } n \mbox{ es par} \\ 1+a(n-1), & \mbox{ si } n \mbox{ es impar} \end{cases} \end{matrix}

Este noveno desafío consiste en responder correctamente a estas dos cuestiones:

1) Demostrar que para todo número entero k existen infinitos números enteros positivos n tales que a(n)=k.

2) Hallar el menor entero positivo n tal que a(n)=1000.

Como siempre se pide tanto la solución del problema como el razonamiento que ha llevado a la misma. Teniendo en cuenta las fechas en las que vamos a entrar bien pronto he decidido dejar más tiempo para el envío de las respuestas. Deberán enviarse antes de que termine el domingo 27 de enero de 2013 a la dirección de correo electrónico desafiosgyg (arroba) gmail (punto) com. Vamos, el doble de lo habitual, para que así os dé tiempo a pensarlo con calma y tranquilidad.

Entre los que envíen una solución correcta para este desafío sortearemos el libro El número en la Naturaleza. Matemáticas y comprensión de la realidad observable, 1, de Alfredo Tiemblo y Mara Izcue. La descripción que aparece sobre él en Libros Guijarro es la siguiente:

¿Son difíciles las matemáticas? ¿Qué está pasando en las Escuelas e Institutos para que la matemática sea una de las asignaturas con mayor fracaso escolar? Para salir al paso de estas preguntas, los autores pretenden descubrir, en los tres libros de esta colección, que existe un lenguaje común entre la naturaleza y la mente humana, las matemáticas. La colección va dirigida a todo aquel que quiera descubrir el maravilloso mundo de las matemáticas y principalmente a los estudiantes. ¿Son difíciles las matemáticas? ¿Qué está pasando en las Escuelas e Institutos para que la matemática sea una de las asignaturas con mayor fracaso escolar? Los autores creen que se debe a que la enseñanza inicial se da de un modo abstracto y muy formalizado. Seguimos en las aulas transmitiendo los conocimientos matemáticos de la misma forma que a nosotros se nos transmitieron, con poca experimentación y mucha teoría. A las matemáticas muy formalizadas llaman el algoritmo de Sherlock Holmes. Cuando llegaba un señor le decía: usted es un marinero holandés que viene de Sumatra, el interpelado lo veía como si fuera magia, para él ese hombre era un adivino. Cuando le explicaba el conjunto de cosas que le había llevado a esa conclusión decía el marino: ah! No es tan difícil. El presentar las cosas como Sherlock Holmes sirve para maravillar al oyente pero no para instruirle. A la hora de presentar los conceptos matemáticos siempre tendremos que dar un gran peso al método histórico, a cómo se han generado esos conocimientos; eso para los autores está claro porque creen que son los mismos que se producen en la mente del niño. El niño tiene la misma curiosidad ancestral que el hombre primitivo y hay que dar respuesta a esas curiosidades. Para salir al paso de las preguntas iniciales, los autores pretenden descubrir, en los tres libros de esta colección, que existe un lenguaje común entre la naturaleza y la mente humana, las matemáticas. La colección va dirigida a todo aquel que quiera descubrir el maravilloso mundo de las matemáticas y principalmente a los estudiantes, futuros profesores de matemáticas que impartirán docencia en Educación Infantil y Educación Primaria.

Que se os dé bien.


Recordad que en principio los comentarios están abiertos para que habléis sobre el problema y, si acaso, deis alguna ayuda, pero nada más. Por favor, no publiquéis la solución, dejad que la gente se divierta con el problema. Gracias.

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