Hoy martes os dejo el problema de esta semana. Ahí va:
Hallar todos los polinomios
con coeficientes reales tales que la ecuación
tiene al menos una solución racional para cada número racional
.
Que se os dé bien.
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No entiendo el problema, ¿no valdría
, con ![r,s\in\mathbb{Q}, \ q(X)\in\mathbb{R}[X]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=r%2Cs%5Cin%5Cmathbb%7BQ%7D%2C+%5C+q%28X%29%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D%5BX%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "r,s\in\mathbb{Q}, \ q(X)\in\mathbb{R}[X]")
?
Si existe un número racional
tal que 
, entonces el polinomio 
, es divisible por 
y por tanto 
para algún ![q(X)\in\mathbb{R}[X]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=q%28X%29%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D%5BX%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "q(X)\in\mathbb{R}[X]")
. El recíproco es obvio, cualquier polinomio de esa forma tiene un cero racional 
.
Supongo que no he entendido bien el problema.
@RB: el polinomio
debe prefijarse de antemano, mientras que el número 
recorre todos los racionales. En tu sugerencia, el polinomio 
cambia con 
.
Información Bitacoras.com…
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No he podido anular el comentario anterior, que es erróneo. Si a y b son racionales es cierto sino hay que revisarlo.
Gracias M. Es claro que los polinomios de primer grado con coeficientes racionales cumplen la hipótesis del enunciado. Supongamos que , es un polinomio que verifica las condiciones del problema. Si vemos dicho polinomio como una función real de variable real, el polinomio correspondiente a la composición , también cumple las condiciones del problema. En efecto, dado un número racional , existe tal que . Para existe tal que , luego . En general, los polinomios formados por composiciones finitas de sí mismos también pertenecen al conjunto solución. Esta es una forma de generar polinomios solución. Otra forma, es la… Lee más »
RB, ¿por qué es evidente que hay que buscar en polinomios que sean impares?
Porque las funciones polinómicas pares tienen máximos o mínimos absolutos y por tanto, eligiendo
suficientemente grande en valor absoluto, se obtiene que 
, es decir, la ecuación 
no tiene solución.
——————–
En mi comentario anterior, también se pueden componer dos polinomios solución, para obtener otra solución:
Supongamos que
y 
son polinomios con coeficientes reales tales que 
y 
, entonces 
. Por tanto, dados dos polinomios que cumplan las condiciones del problema, su composición también las cumple.
RB, con que un polinomio sea impar te refieres a que su grado sea impar por lo que deduzco. Yo creí que te referías a que tuviese simetría impar y por eso no lo veía obvio. Aclarada entonces la pregunta.
Repito (corregido) lo que había escrito.
Para el grado 1 con coeficientes racionales es evidente: ax + b = r y por tanto x = (r – b)/a con todos racionales es racional.
En los polinomios de grado par no hay solución.
En los de grado impar puede haber solución o no.
Me voy a dedicar a intentar ver que con a y/o b no racionales no hay solución para el grado 1
Juanjo, eso se deduce de la fórmula x=(r-b)/a. Como se tiene que cumplir para r=0, entonces se tiene que cumplir que b=r’a, siendo r’ un número racional. Sustituyendo en la fórmula, se obtiene x=r/a-r’. Para que x sea racional, r/a tiene que ser racional y por tanto a es racional, y b también.
La intuición me dice que no va a haber soluciones para grados mayores, pero no sé cómo demostrarlo.
Golvano
OK y gracias. Ahora me pongo a revisar los grados superiores
El polinomio p(x) tiene los coeficientes racionales: Para un polinomio p(x) de grado n, denoto los coeficientes como a_k, p(x_0)=0 p(x_1)=1 p(x_2)=2 … p(x_n)=n siendo x_i racionales Creamos una matriz A de n+1 filas con n+1 columnas de esta forma: 1 x_0 (x_0)^2 (x_0)^3 … (x_0)^n 1 x_1 (x_1)^2 … 1 x_n (X_n)^2 (x_n)^3 … (x_n)^n Creamos un vector B con los coeficientes a_k y un vector C con los números desde 0 hasta n: B=Transpuesta( [a_0 a_1 a_2 a_3 … a_n] ) C=Transpuesta( [0 1 2 3 4 … n] ) Como se comprueba AB=C, y por ello B=inversa(A)C… Lee más »
Mi anterior comentario está mal, porque para que la matriz tenga inversa su determinante debería ser distinto de cero, cosa que no demuestro.
@FG, tu comentario previo es correcto. Los valores
son distintos dos a dos pues lo son los valores del polinomio 
, 
. Luego, efectivamente, un polinomio 
en las condiciones del problema debe tener coeficientes racionales.
Este comentario incluye una solución al problema. Pongamos , siendo y , . Llamemos Entonces . Sea la sucesión de números primos. Entonces, por hipótesis, para cada existe tal que . Pero entonces, dado que tiene coeficiente director y término independiente , debe ser, para cada , que o con cierto divisor de : . Además, ya que si , entonces si . Dado que sólo puede tomar un número finito de valores y los valores son distintos dos a dos, debe existir un divisor tal que existen infinitos ’s de la forma Pero entonces el polinomio tendría infinitas raíces… Lee más »
Muy buena RG y M, la forma de probar que el polinomio debe tener coeficientes racionales, me recuerda a las asignaturas de numérico cuando explicaban la interpolación por polinomios. M, me ha gustado mucho el truco de quitar el término independiente del polinomio para «sustituirlo» por un número primo. También el razonamiento de la última parte al considerar el polinomio . Sólo añadir un par de cosas sin importancia, al principio del razonamiento, te faltó exigir que . También, los son de la forma ó , pero no afecta al razonamiento, ya que, quedaría con (independiente de ) y .… Lee más »
Quise decir,
ó 