…0′999… = 1?. Veámoslo:
x = 0′999… (1)
10x = 9′999… (2)
Restamos (2) – (1):
9x = 9
Despejando x:
x = 1 (3)
Por (1) y (3):
0′999… = 1
Curioso, ¿verdad?
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Esa igualdad es mitica. La demostración que yo suelo explicar es la siguiente:
Sean x=0’9… y 1 dos numeros reales distintos.
-> 1-x~=0 -> restamos:
1.000000000…0…
– 0.999999999…9…
——————–
siempre te llevas uno de atras por lo tanto la resta da 0 llegando a un absurdo.
Luego son iguales.
Otra podia hacerse partiendo de la premisa de que entre dos numeros reales siempre hay infinitos numeros reales, por lo tanto al menos uno y obviamente no se puede encontrar.
Me ha gustado esto 🙂
Yo creo que se puede explicar diciendo que simplemente no existe un número entre el 0.999 y el 1 y por lo tanto son el mismo número.
Si, yo conocía ambas. Normalmente uso la que ha propuesto ^DiAmOnD^ si no me quiero complicar la vida (es rápida, sencilla y fácil de entender). Si quiero que la persona a la que se lo explico reflexione un buen rato sobre la grandeza de los números reales uso lo de:
«Entre dos números reales siempre hay al menos otro»
Y le pido que me encuentre un número mayor que 0,99999… y menor que 1.
Esta última demostración implica con
Entonces, 0’9999…. es igual a 1 ¿sí o no? Ya me haceis dudar, sin vergüenzas.
OMFG, esto esta chido :-D, le voya decir ami profe que esta mal lo que me dice ajajaj
neok que sí hombre, que sí :P.
Michoacano ¿qué es OMFG?
Con esto cambiamos la definición de igualdad entre dos números: dos números son iguales cuando al restarlos nos acercamos al 0 tanto como queramos. ¿Os parece?
Salud!
omalaled me gusta 🙂
primero , felicitaciones por el blog, segundo creo que estan buscando contables en Marbella y los anteriores hacían operaciones parecidas a la del post de hoy 😉
Me gusta la idea de ghostDancer, lo único malo sería el tema de la cárcel, pero vamos que con un buen viaje a una isla desierta o un país sin tratado de extradición uno se lo pasa pipa, tipo Roldán.
OMFG ^DiAmOnD^
XD OMFG= es como OH MY GOD pero mas grocero ajjajaaj
La definición de número real está basado en la definición de límite de una serie racional; y la igualdad de estos números reales es si podemos hacer la serie diferencia tan pequeña como queramos (más o menos).
Los números reales pueden definirse de varias maneras: axiomáticamente, por cortaduras de Dedekind… Creo que tú te refieres a esta última.
Respecto al tema, eso es precisamente lo que pasa. Tomando 0’999… como una serie racional su límite es 1. Por tanto la diferencia es tan pequeña como queramos. Esa es la idea de la igualdad.
Se puede ver mas o menos lo mismo en:
1 = 3/3 = 1/3 + 1/3 + 1/3 = 0.3333..3.. + 0.3333..3.. + 0.3333..3.. = 0.9999..9..
Saludos!
La verdad es que no soy un experto en matematicas, y por eso desconozco teoremas y teorias, simplemente creo que es jugar con la «gramatica» matematica…
Dani es que es justamente eso. Lo que pasa es que llegar a ciertos niveles del juego no es nada fácil.
Esto es como el ajedrez: puedes saber las reglas pero combinarlas con una buena táctica no es sencillo.
Voy a aprovechar que habláis de la densidad de Q en R,para hacer una defensa de Bolzano,al que se condenó al ostracismo,debido a que compartió época con Cauchy . Bolzano es el que «visualizó» que los números irracionales eran «límites de sucesiones de números racionales «,así raíz de 2 ,es el límite de la sucesión de números racionales cuyos cuadrados tienden a 2. Weierstrass,conoció antes que nadie los razonamientos de Bolzano,que se tardaron en publicar ¡¡100 años¡¡ ,en 1962 ,de hecho hay un teorema que lleva el nombre de los dos,cortesía de Weierstrasss. Otra manera de entender los números irracionales… Lee más »
Un crack Bolzano, siempre me han encantado los resultados de este matemático.
Sobre los fractales: está en proceso. Dentro de no demasiado tiempo espero tener preparado un post sobre estos entes matemáticos. Tiempo al tiempo :).
P.D.: nieves, como siempre un comentario muy interesante. Saludos 🙂
Con la emoción de hablar de Bolzano ,se me olvidó decirle a Neok lo que yo opino de este asunto de 0,999999…. =1. NEOK dice :Entonces, 0′9999…. es igual a 1 ¿sí o no? Ya me haceis dudar, sin vergüenzas. Pues ,tu hazme caso a mí… Si eso fuera cierto,entonces (1-1/n) cuando n fuera infinito,sería «exactamente » 1,lo cual querría decir que «1/e » sería 1,ya que se genera través de la expresión (1-1/n) elevada a «n».Eso nos llevaría a concluir que «e =1 «,lo cual no puede ser porque el número que Napier nos regaló,no es una quimera,está en… Lee más »
Nieves, puedes intentar lo de la explicación. Yo soy un estudiante de 1º de Bachillerato que no ha dado nada de límites ni cortaduras.
Lo de Boltzano, lo he entendido.Puedes probar con las cortaduras (que no sé lo que son) y te cuento.
¡Ah!, y esto no sé de dónde lo sacas:
Si eso fuera cierto,entonces (1-1/n) cuando n fuera infinito,sería “exactamente ” 1
Según tengo entendido, un número partido por infinito es cero.
[1-(1/n)] – siendo n=∞ – [1-(1/n)] = [1-(1/∞)] = (1 – 0) = 1 Otra cosa, nieves, «la expresión (1-1/n) elevada a “n” » no es «1» (siendo n=∞), sino 1^∞, ¡lo que es una indeterminación! Luego sería 1^∞ = 1/e según el resto de tu deducción, y solo en este caso, ¿no? Respecto al problema planteado arriba, creo que el quiz de la cuestión se encuentra en que el número usado para la operación es un decimal infinito periódico puro. Si probais a hacerlo con un número que no lo sea, por ejemplo «0,9999» y realizais todas las operaciones… Lee más »
¿Y por qué no hallar la fracción generatriz de 0.999…, como buen número racional que es?
0.999… x 10 = 9.999…
0.999… x 1 = 0.999…
Restando obtenemos que:
(0.999…)x(10-1) = 9
Luego 0.999… = 9/(10-1) = 1.
Seguimos suponiendo que el número se expande hasta el infinito, y que «0,999…» y «10 x 0,999… = 9,99…» tienen el mismo número de 9’s tras la coma. Desde mi punto de vista, si 0,999… fuera 1, escribiríamos «1», luego 1 ≠ 0,999…
Lo que está claro es que 0.9^ (léase 0.9 con un gorro en forma de semicircunferencia encima del 9) es 1. El que se escriban distinto no quiere decir nada, también puedo escribir exp(-j·pi) y sigue siendo 1.
Y ahora que me doy cuenta, mi comentario precisamente es el postulado inicial… eso pasa por leer sólo las respuestas :D. No sé, yo no veo que sea tan ‘curioso’. Lo dicho, al ser periódico puro, es racional, luego debe tener una fracción generatriz. No existe ninguna fracción de enteros que dé 0.9^, o mejor dicho, sí, todas aquellas de forma N/N (por la demostración inicial, precisamente, llegamos a que 5/5, -7/-7 o 446528/446528 son iguales a 0.9^).
Retomando lo de antes, ¿Alguien podría explicarme lo que son las cortaduras que se mencionaron antes?
Aquí lo explican bastante bien
DedekindCuts
Basicamente se define cada real como el conjunto de racionales que son menores que el.
e.g.
real2={x:x racional y x<2}
sqrt(2)={x:x racional y (x^2<2 o x<0)}
Naka te borro tu comentario anterior que estaba incompleto.
[…] Por cierto, una ayuda: recordad que 0.9…=1. […]
¿Nadie ha hablado de límites? (corrijo veo que arriba está una idea parecida) supongo que alguien lo habrá puesto, pero allá va:
1=0,9+0,1=0,9 + 0,09 + 0,01=
[…] un clásico: La extraña igualdad entre un número periódico puro (0,9999999…), que repite de forma infinita todas sus cifras […]