Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.
Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.
Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
Tienes un 20% de descuento y envío gratis en toda la web de La Tostadora con al menos dos artículos. Usa el código GAUSSIANOS entrando con el enlace de la imagen.
Y usando el código REBAJAS tienes un 30% de descuento hasta el 8 de agosto con al menos 3 artículos.
Si quieres recibir los artículos de Gaussianos en tu mail haz click en la imagen.
Únete a la iniciativa Yo construí el poliedro de Császár. Haz click en la imagen para conocer todo los detalles.
Y visita este set de Flickr para ver las construcciones de los lectores de Gaussianos.
funciones integrables y monótonas del mismo sentido en el intervalo 
. Probar que:
[…] This post was mentioned on Twitter by gaussianos, Ignacio M. Hierro R.. Ignacio M. Hierro R. said: Problema de la semana en Gaussianos, RT @gaussianos Desigualdad con integrales http://bit.ly/eLfeuS […]
Pues se me ocurre una demostración algo burda y posiblemente incorrecta, pero bueno, la dejo aquí. Por un lado, tenemos que, al ser las funciones continuas, es el valor medio de la función en el intervalo , y del mismo modo, y son respectivamente los valores medios de y de . Por otro lado, tenemos que la covarianza de dos variables sigue la siguiente fórmula: . Ahora definimos dos variables y , cada una de ellas con un conjunto de valores infinitos correspondiente a los que toma la función homónima en el intervalo . Dado que estas funciones tienen la… Lee más »
La propiedad también se verifica para secuencias de números reales (como es de esperar):
si las secuencias son monótonas del mismo sentido. Además, se tiene la igualdad si y sólo si alguna de las secuencias (o funciones en el caso del problema propuesto hoy) es constante.
Por otro lado, la desigualdad se da con signo
si las funciones son mónotonas de sentido opuesto.
A ver si damos con una justificación más concluyente.
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: Hoy lunes comenzamos la semana con un problema. En esta ocasión el problema semanal tiene el siguiente enunciado: Sean funciones integrables y monótonas del mismo sentido en el intervalo . Probar que: Suerte. Entra en Gauss……
Yo lo he hecho utilizando el teorema del valor medio del cálculo integral, según el cual para una función integrable f (monótona o no) se tiene para un cierto Definimos , para Probaremos que de lo que se sigue la desigualdad del enunciado. Observemos que para ciertos Eso nos permite ver que F es continua en 0 ya que cuando . Sólo nos queda probar que y habremos acabado (ya que tendremos que F es creciente y ) Usando el teorema fundamental del cálculo: Ahora usamos el teorema del valor medio, se simplifican los (x-a) y obtenemos , ya que… Lee más »
Bueno, hay un fallo en lo anterior, cuando digo
quiero decir 
, y la F está definida en 
Hola lucagali,
he estado leyendo tu argumento. Quería comentar que la prueba no es válida, ya que para poder usar el teorema del valor medio integral (TVM-I) se requiere que la función sea continua. En nuestro caso sólo asumimos monotonía (el enunciado es redundante, de la monotonía se deduce integrabilidad en sentido Riemann). Por ejemplo, la función definida a trozos como
en 
; y 
, en 
, es monótona y no verifica el TVM-I (su promedio integral vale 
).
No obstante, ya prácticamente está… 🙂
Cierto, muy cierto… vaya fallo
De todos modos, como dices ya practicamente está. Me he complicado innecesariamente 🙂
Teníamos que
Eso se puede escribir también como:
Si son monótonas crecientes,
por lo que
Si son monótonas decrecientes, las desigualdades anteriores van al revés y de nuevo sale
Bonito problema: Sin pérdida de generalidad (reemplazando por ), podemos suponer que la integral de es cero. De igual forma podemos suponer que ambas son crecientes. Entonces tenemos que mostrar que, si son crecientes en y , entonces Sean tales que en y en , mientras que en y en Como podemos escoger es decir, un punto interior en el intervalo. Notamos que en y en Más aún, Tenemos tres casos: CASO : En tal caso en todo el intervalo y por monotonicidad de la integral. CASO : En tal caso . Como es creciente, si y si . Como,… Lee más »
Hola lucagali, tengo varias cuestiones al respecto: primero que nada comentar que antes me equivoqué cuando dije que el enunciado era redundante con respecto a la monotonía y la integrabilidad. Me confundí pues aquí se asumen esas condiciones en el intervalo abierto, y no en el cerrado. Por ejemplo, es monótona en (0,1), pero no integrable (integral infinita). Y es con respecto a esto que tengo dudas de tu último argumento. 1) La función F(x) que defines para , ¿tiene límite ? Para ver que (usando por ejemplo L’Hôpital) necesitaríamos que como se comportan y . Es decir, no me… Lee más »
Al ser funciones monótonas en el mismo sentido![[f(x)-f(y)]\cdot [g(x)-g(y)] \ge 0](https://s0.wp.com/latex.php?latex=+%5Bf%28x%29-f%28y%29%5D%5Ccdot+%5Bg%28x%29-g%28y%29%5D+%5Cge+0+&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "[f(x)-f(y)]\cdot [g(x)-g(y)] \ge 0")
, por tanto
Faltaría demostrar la integrabilidad de
, 
, y las otras que son similares, pero no parece demasiado difícil a partir de la definición de la integral de Riemann, teniendo en cuenta que las variables son separables.
Muy buena, Gulliver. Esa es la prueba que conocía:
Además, para el caso de sucesiones se aplica igualmente. Esta desigualdad se conoce como desigualdad integral de Chebysev (y a pesar de su simplicidad no parece ser muy conocida al menos a nivel de licenciatura), y se generaliza a un número finito de factores asumiendo no negatividad en las funciones: http://mathworld.wolfram.com/ChebyshevIntegralInequality.html
Bueno, está claro que ayer no era mi día jeje, gracias por la aclaración M
Gulliver, muy elegante la prueba