Recientemente ha caído otro de esos problemas que se han mantenido sin solución muchos años después de su planteamiento. En este caso se trata del problema de los conjuntos generalizados de Sidon. Y en esta ocasión estamos de doble enhorabuena ya que los culpables ha sido tres matemáticos, de los cuales dos son españoles. En concreto, debemos la solución de este problema a Imre Ruzsa y a nuestros compatriotas Javier Cilleruelo y Carlos Vinuesa. La verdad es que es un orgullo para todos nosotros que sigan saliendo matemáticos españoles asociados a soluciones de problemas que han estado tanto tiempo esperando que alguien consiga meterles mano (recordad el también reciente caso de Francisco Santos y la conjetura de Hirsch). Vamos a explicar un poco qué son estos conjuntos y de qué va este problema.

Los conjuntos de Sidon

Un conjunto de Sidon es un conjunto de números naturales (menores que una cantidad dada) que cumple que las sumas de dos elementos cualesquiera del conjunto dan siempre resultados distintos. Por ejemplo, el conjunto

\lbrace 1,2,5,10 \rbrace

es un conjunto de Sidon, pero el conjunto

\lbrace 1,2,3,4 \rbrace

no lo es, ya que 1+4=2+3.

El denominado problema de los conjuntos de Sidon puede enunciarse de la siguiente forma:

¿Cuál es el mayor tamaño de un conjunto de números, menores que una cierta cantidad, tales que las sumas de dos cualesquiera de sus elementos son siempre distintas?

Este problema fue propuesto por el matemático húngaro Simon Sidon al genial Paul Ërdos en 1932. En principio Sidon estaba interesado en el problema por ciertas cuestiones relacionadas con el análisis de Fourier, pero lo que enganchó a Ërdos fue la componente aritmética y combinatoria de dicho problema.

Tanto se interesó Ërdos por el problema de los conjuntos de Sidon que consiguió resolverlo poco después de conocer su planteamiento. Bien, caso resuelto…¿o no? Más bien no. Como en todos los temas relacionados con las matemáticas, la cuestión se puede generalizar, y la demostración de la generalización de este problema es la que quedó si solución.

¿Cómo podemos generalizar este problema? Pues muy sencillo: permitiendo que los resultados de las sumas aparezcan (como mucho) una vez, dos veces, …, en general g veces. Este es el que se denomina problema de los conjuntos generalizados de Sidon, o conjuntos g-Sidon. Bien, pues este problema cuyo enunciado es tan sencillo es el que ha traído de cabeza a más de un matemático desde hace 80 años, y es el que nuestros compatriotas Javier Cilleruelo y Carlos Vinuesa, junto a Imre Ruzsa, han conseguido resolver. Para ello han utilizado técnicas pertenecientes a varias ramas de las matemáticas, como probabilidad, combinatoria, análisis y álgebra. Según las propias palabras de Javier:

Aunque en el pasado hice avances, uno de ellos con este matemático húngaro (Ruzsa), no ha sido hasta ahora que ha salido. Hemos introducido ideas nuevas combinando métodos y al final han dado con la solución, aunque el resultado ha sido un auténtico encaje de bolillos en el que se han engarzado muchas piezas distintas.

Mi más sincera enhorabuena para los tres, ya que se merecen que la historia les brinde la oportunidad de aparecer como los que resolvieron el problema de los conjuntos generalizados de Sidon:

  • Javier lo merece porque, según sus propias palabras, este problema llevaba unos 20 años en su mente. Por cierto, os dejo también este artículo de Javier Cilleruelo sobre el tema que apareció hace un par de años en La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española.

    Javier Cilleruelo

  • Carlos lo merece porque su implicación en el problema ha debido ser tremenda, ya que su tesis Generalized Sidon Sets trata sobre ello (no en vano su director de tesis fue Javier Cilleruelo).

    Carlos Vinuesa

  • Imre lo merece porque sus avances en este problema han sido claves en su posterior resolución.

    Imre Ruzsa

Y para terminar una curiosidad. En cualquier problema abierto se suele prever por dónde va a ir la solución. Es decir, se suele tener una idea de por dónde van a ir los tiros que se va formando conforme se avanza en la investigación de dicho problema. Pues bien, en este problema los investigadores se han llevado una pequeña sorpresa, ya que al final los conjuntos g-Sidon en \lbrace 1, \ldots n \rbrace puede ser más grandes de lo que inicialmente se pensaba.

Fuentes (lo he leído en más sitios, pero quizás estas dos sean las más representativas):

Y gracias a Ignacio, Agustín y Mario por enviarme sendos mails sobre este tema en los últimos días.

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