Determinante divisible entre 25

Vamos con el problema de esta semana. Ahí va:

Demostrar que con 25 números enteros cualesquiera se puede formar una matriz 5 \times 5 cuyo determinante es divisible entre 25.

Que se os dé bien.

Author: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

14 Comments

  1. Extensión natural del problema:

    Dados n^2 enteros cualesquiera, ¿para qué valores de n es posible formar una matriz n x n cuyo determinante sea divisible por n^2?

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  2. Para n=1 y n\geq 5 siempre es posible formar una matriz n\times n con los n^2 enteros de partida de modo que el determinante sea divisible por n^2.

    Para n=2 la propiedad no es cierta: basta elegir los números 1,1,1,2. A ver si sale un contraejemplo para n=3,4.

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  3. No se si entendi el problema, pero si los numeros no han de ser necesariamente iguales entonces no es cierto, ya que una matriz con 25 unos va a tener un determinante igual a 0 si o si.

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  4. Luis, y cero es divisible entre 25.

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  5. M, entiendo lo de n=1 y el contraejemplo de n=2. Estoy tratando de encontrar uno para n=3 pero… ¿podrias explicar el caso de n=5? (Que es concretamente lo que pedia el problema original) ¿Como has llegado a la conclusion de que con cualquier conjunto de 25 numeros se puede encontrar siempre una matriz 5×5 con determinante divisible por 25?

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  6. Es largo de explicar, pero si se ordena la matriz 5×5 de forma que para las filas 2 y 3, los dos elementos de cada columna sean equivalentes módulo 5, y lo mismo para las filas 4 y 5, entonces el determinante será múltiplo de 25. Eso siempre se puede conseguir, porque sólo hay 5 tipos de números módulo 5, y por lo tanto, no pueden quedar más de 5 números desemparejados, y se pueden conseguir las 10 parejas necesarias.
    Se basa en que todas las matrices 2×2 formadas con los números de las filas 2 y 3 tendrán determinante múltiplo de 5, y lo mismo las matrices 2×2 formadas con los números de las filas 4 y 5. Al final, el determinante de la matriz original se obtendrá mediante sumas y restas de productos de un número de la primera fila, por el determinante de una matriz 2×2 de las filas 2 y 3, por el determinante de una matriz 2×2 de las filas 4 y 5.

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  7. Lo mismo vale para cualquier n>5.

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  8. Golvano

    Muy buena explicación y no tan larga como decias al principio.

    Siguiendo la misma idea, para el 7, podría hacer 3 pares de columnas y sería divisible por 7^3, para el 9 podría hacer 4 y sería divisible por 9^4 y así sucesivamente (salvo que lo haya entendido mal).

    Para el 6, 8 ,10, … correspondería el exponente del nº anterior a él.

    Para el 3 y el 4 solo puedo hacer un par de comlumnas, por lo que este método constructivo no nos es válido y hay que seguir buscando si hay un contraejemplo u otro método constructivo.

    De todas maneras creo que la generalización debe ir en la línea que he indicado:

    Cualquier determinante NxN es divisible por n^a donde a es el nº de pares de columnas que puedo construir = |(n-1)/2|

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  9. Muy buena solución Golvano y muy buena observación Juanjo. Efectivamente, en general se puede conseguir un determinante divisible por n^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}.

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  10. Como me gusta matizar lo que se escribe, matizo mi comentario

    Juanjo Escribano

    una corrección menor:

    Donde dice Cualquier determinante NxN es divisible por n^a donde a es el nº de pares de columnas que puedo construir = |(n-1)/2|

    debe decir

    Cualquier conjunto de números enteros de cardinal n^2 se puede ordenar en una matriz NxN cuyo determinante es divisible por n^a donde a es el nº de pares de columnas que puedo construir conforme al criterio marcado por Golvano = |(n-1)/2|

    y no contento con ello voy a votarla faborablemente

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  11. Se puede explorar también la divisibilidad respecto a otros números. Por ejemplo, para matrices 5×5, ¿siempre se puede conseguir que el determinante sea múltiplo de 13? Sí. Para matrices 6×6, ¿siempre se puede conseguir que el determinante sea múltiplo de 35? Sí.

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  12. madre mia, me podria haber llevado meses encontrar el camino… muy chulo y muy impresionante que se pueda demostrar algo asi en unas lineas

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  13. Con la conocida fórmula de Leibniz (aquella con la signatura de las permutaciones etc.) la explicación de Galvano queda más clara. Siempre podemos elegir disponer los números de manera que cada sumando de dicha fórmula contenga números congruentes mod (5) y con lo cual, al tratarse de sumas, siempre en cada sumando habrá un producto múltiplo de 5. Con lo que la suma de sumandos múltiplos de 5 es múltiplo de 5. Como en cada cada sumando se repite ese producto 2 veces, es múltiplo de 25.

    Carajo, sí que es largo de explicar por culpa del manejo extenso de las matrices y determinantes y su notación laboriosísima. No se si se entiende lo que quiero decir.

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