El conocido como teorema de Ptolomeo es uno de esos resultados interesantes en geometría plana que además de ser sencillos de enunciar también lo son de demostrar, y que además de tener distintas formas de demostrarse es una herramienta muy útil para usarla en la demostración de otros teoremas de interés.

En esta entrada vamos a ver una prueba totalmente visual recogida en una única imagen. Pero no vamos a quedarnos ahí, sino que vamos a explicarla para que se comprenda mejor.

Pero para comenzar creo que lo mejor es ver el enunciado del teorema de Ptolomeo. Este resultado parte de una circunferencia y de un cuadrilátero convexo cuyos vértices están todos sobre dicha circunferencia, lo que se denomina cuadrilátero cíclico, y dice lo siguiente:

Teorema de Ptolomeo

En un cuadrilátero ciclíco, la suma de los productos de lados opuestos es igual al producto de sus diagonales.

Esto es, dado un cuadrilátero cíclico ABCD cuyos lados (consecutivos) son a, b, c y d y sus diagonales son e y f, entonces

ac+bd=ef

La demostración visual que comentaba al principio, que he visto en Cut-The-Knot es la siguiente:

(Si hacéis click en la imagen la veréis a mayor tamaño.)

Está todo claro, ¿verdad? Bueno, para quien tenga alguna duda sobre ella o no vea claro alguno de los detalles de la misma vamos a «destriparla» en lo que resta de entrada.

El primer detalle a destacar es la razón por la que ciertos ángulos que se forman entre los lados del cuadrilátero y sus diagonales. La razón es una interesante propiedad sobre ángulos inscritos en una circunferencia que dice que dos ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan el mismo arco son iguales. Por ello, por ejemplo, los dos ángulos \alpha que aparecen en la imagen son iguales, ya que abarcan el mismo arco de circunferencia (en rojo):

Podéis comprobar que ocurre lo mismo con los dos \beta, los dos \gamma y los dos \delta.

Bien, vamos a comentar la demostración. Tomamos el triángulo de lados bcf y multiplicamos todos sus lados por a. Con ello los ángulos no se modifican y obtenemos el siguiente triángulo:

Ahora tomamos el triángulo daf, multiplicamos sus lados por b y lo colocamos de forma conveniente, obteniendo este otro triángulo (los ángulos, como antes, siguen siendo los mismos):

Si ahora unimos estos dos triángulos por el vértice superior derecho del primero y el vértice superior izquierdo del segundo obtenemos la siguiente figura:

Y ahora analicemos lo que hemos obtenido. Si unimos los dos vértices inferiores obtenemos un cuadrilátero convexo en el que los lados «laterales» (izquierda y derecha) son iguales. Fijémonos en los dos segmentos verdes, af y bf. ¿Qué ángulo forman entre sí? Pues debe ser \gamma + \delta, para que al sumar con los dos que hay a los lados, \alpha y \beta, obtengamos un ángulo de 180º (recordemos que \alpha+\beta+\gamma+\delta=180^\circ, por ser la suma de los ángulos del triángulo bcf, por ejemplo).

Vayamos ahora a la circunferencia inicial, donde estaba nuestro cuadrilátero cíclico. Si nos fijamos veremos un triángulo con lados los segmentos abe y tal que el ángulo que forman los lados a y b es \gamma + \delta. Si multiplicamos los lados de este triángulo por f obtenemos el triángulo de lados af, bf y ef, que además cumple que el ángulo que forman af y bf es, precisamente, \gamma + \delta. Esto significa que el lado que falta en la parte interior de la figura anterior es ef:

Y por tanto los ángulos del triángulo «interior» serán los ángulos del abe inicial:

Si nos fijamos ahora en el cuadrilátero exterior, vemos que los ángulos opuestos son iguales: \alpha+\delta arriba a la izquierda y abajo a la derecha y \beta+\gamma abajo a la izquierda y arriba a la derecha.

Tenemos entonces un cuadrilátero que tiene dos lados opuestos iguales (los «laterales», ab) y que tiene sus ángulos opuestos iguales. Esto nos lleva a que nuestro cuadrilátero es en realidad un paralelogramo. Y esto nos asegura que los lados «superior» e «inferior» son iguales, por lo que

ac+bd=ef

que es precisamente lo que dice el teorema de Ptolomeo.

Como comentaba al principio, existen diversas formas de demostrar este teorema, pero la que protagoniza esta entrada me ha parecido realmente bella. ¿Qué opináis vosotros?

Esta es mi primera aportación a la Edición 3.14159265 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organizan en pimedios.

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