Hoy miércoles os dejo el problema de esta semana:
Sea
un paralelogramo con ángulo obtuso en
. Sea
un punto sobre el segmento
de manera que la circunferencia con centro en
en
, y corte a la recta
en
. La recta
interseca a
en
y a
en
, respectivamente. Muestra que
A por él.
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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
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Algunas ideas … Sea q la circunferencia con centro P que pasa por A (y por X e Y). Sea E el otro punto en que la recta AP corta a Q. Este punto E se mueve en la paralela a BD por C. Entonces el ángulo XEY es el suplementario del ángulo BAD (es entonces igual al ABC). Por tanto, el ángulo XPY, central que abarca el mismo arco que XEY, es el doble del suplementario de BAD, y por tanto independiente de P. Se trata entonces de mostrar la relación entre ángulos: XEY = (XQY + XRY)/2. Una… Lee más »
De momento una pista…
La circunferencia corta a QX en S, y a QY en T
Ángulos XTY=XSY=1/2XPY
Con los ángulos de los cuadriláteros, AXPY, AXTY, AXSY, AXRY y AXQY, fácilmente se demuestra, en caso de atasco continuaré…
Tomando ángulos ‘orientados’, se cumple la igualdad en condiciones más generales:
No hace falta que los puntos X,Y estén en las rectas AB y AD. Pueden ser cualesquiera dos puntos situados en la circunferencia con centro P. Y el ángulo del paralelogramo en A no necesita ser obtuso.
Aquí se puede ver una figura Como los triángulos PQB y PAD son semejantes, PQ/PA = PB/PD. Como los triángulos PRD y PAB son semejantes, PA/PR = PB/PD. Por tanto PQ/PA = PA/PR. Si X es un punto cualquiera distinto de A de la circunferencia con centro P, PX = PA y PQ/PX = PX/PR. Los triángulos PXR, PQX tienen un ángulo común XPQ = XPR y los lados adyacentes proporcionales y por tanto son semejantes y los ángulos PXQ y PRX son iguales. Entonces por ser el ángulo XPA externo al triángulo PXQ tenemos que XPA= PQX + PXQ… Lee más »
Aquí hay un ejemplo de que se necesita usar ángulos orientados, de lo contrario el resultado es falso
http://i62.tinypic.com/16bzty8.png
Continuando a mi anterior comentario,
Del cuadrilátero AXTY deducimos el ángulo XTY, mitad del XPY, por inscrito y central
Del cuadrilátero AXSY deducimos el ángulo XSY, mitad del XPY, por inscrito y central
Del cuadrilátero AXRY deducimos el ángulo XRY
Del cuadrilátero AXQY deducimos el ángulo XQY
Del cuadrilátero AXPY deducimos el ángulo XPY
Si efectuamos la suma de las igualdades de los ángulos XTY y XSY, veremos que coincide con la suma de las de XRY y XPY, que a su vez coincide con la de XPY