¿Cómo piensa alguien que esté muy metido en las matemáticas? ¿Qué técnicas utiliza para analizar convenientemente las situaciones que se encuentra en sus quehaceres diarios? ¿Hay alguna manera de que cualquier persona pueda llegar a comprender las matemáticas en profundidad? Quizás no, pero lo que sí se puede hacer es seguir algunos consejos sencillos para facilitar esa comprensión y, en su caso, el aprendizaje de las mismas.

Consejos los hay de todo tipo, y seguro que muchos de vosotros habéis seguido algunos que os han dado vuestros profesores o vuestros familiares. Y estoy convencido de que también vosotros mismos habéis dado consejos «matemáticos» en alguna ocasión. Los que aparecen en esta entrada forman parte de un pequeño manual publicado por Kevin Houston, matemático de la Universidad de Leeds, y bajo mi punto de vista forman una lista bastante interesante de ideas para mejorar el aprendizaje y la comprensión de las matemáticas. En lo que sigue podréis leer una traducción de lo más importante que Kevin Houston comenta de cada uno de dichos consejos (en algunos quizás meta algún comentario mío), y al final de este artículo encontraréis el enlace a su manual

Consejo 1: Pregúntate todo

Una de las cosas más bellas de las matemáticas es que pueden ser comprobadas, que no tienes que fiarte de la palabra de nadie. Si alguien dice que algo es cierto, tú puedes pedirle que lo demuestre. O mejor, puedes intentar probarlo tú mismo.

Tu reacción ante un enunciado debería ser desconfiar de él e intentar encontrar un ejemplo que muestre que es falso. Aunque al final dicho enunciado resulte ser cierto, el trabajo mental que conlleva esta búsqueda será beneficioso para ti.

Consejo 2: Escribe con palabras

Se entiende que hablamos de escribir las matemáticas con palabras. ¿Cómo nos puede ayudar esto? Las frases son los ladrillos de los argumentos, y las matemáticas (de alto nivel principalmente) tratan de argumentos en forma de demostraciones (¡no solamente de obtener la respuesta numérica correcta!).

Escribir con palabras en vez de con símbolos te obliga a comprender muy bien el tema del que estás hablando y a pensar muy cuidadosamente tus argumentos. Si no puedes escribirlo bien en una frase quizás es porque no lo has comprendido a la perfección.

Consejo 3: ¿Qué ocurre con el recíproco?

Los enunciados tipo A \rightarrow B aparecen continuamente en matemáticas. Podemos traducirlo como «Si A es cierto, entonces B es cierto». El recíproco de A \rightarrow B es B \rightarrow A.

Ante un enunciado tipo A \rightarrow B, un buen matemático se preguntará si el recíproco también es cierto por la sencilla razón de que no tiene por qué serlo. Ahí va un ejemplo:

El recíproco de la expresión (cierta) siguiente

Si nací en Madrid, entonces nací en España

es

Si nací en España, entonces nací en Madrid

enunciado que, claramente, no tiene por qué ser cierto.

Por tanto, plantéate si el recíproco es cierto o no, ya no solamente por la propia veracidad o falsedad del recíproco en el caso que estés estudiando, sino porque ese esfuerzo que realizarás te ayudará a mejorar tus habilidades matemáticas.

Consejo 4: Usa el contrarrecíproco

El contrarrecíproco de un enunciado tipo A \rightarrow B es

no \; B \rightarrow no \; A

Por ejemplo, el contrarrecíproco de

Si nací en Madrid, entonces nací en España

es

Si no nací en España, entonces no nací en Madrid

Para mucha gente es sorprendente que sea así, pero la realidad es que la veracidad o falsedad del contrarrecíproco es la misma que la del enunciado inicial. Esto es, ambas sentencias son equivalentes: si una es falsa la otra también, y si una es verdadera también lo es la otra.

Esto debería aprenderse correctamente, ya que el contrarrecíproco se utiliza con bastante frecuencia tanto en las demostraciones matemáticas como en nuestro razonamiento diario.

Consejo 5: Considera casos extremos

Los resultados obtenidos al aplicar un teorema a los casos triviales y extremos de las hipótesis puede ayudar a su comprensión: ¿qué pasaría si cierto número es 0 ó 1? ¿O si consideramos la función trivial f(x) \equiv 0? ¿Qué ocurriría si tomamos el conjunto vacío? ¿Y la sucesión \{1 ,1,1, \ldots \}? ¿Qué obtenemos con un círculo o una recta?

Por ejemplo, utilizando un «caso extremo» es sencillo mostrar que el siguiente resultado es falso:

«Teorema«: Dados a,b,c,d números enteros, si ab=cd y a=c, entonces b=d.

Consejo 6: Crea tus propios ejemplos

Un matemático crea sus propios ejemplos, tanto ejemplos estándar como ejemplos extremos, e incluso no-ejemplos.

Veamos uno. El método utilizado para calcular los máximos y mínimos de una función de una variable es bastante conocido. Vamos a quedarnos con el método simplificado:

Dada una función f(x), calculamos su derivada, f^\prime (x), la igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante. Los puntos obtenidos son los posibles máximos y mínimos del problema.

Después calculamos la segunda derivada, f^{\prime \prime} (x), y sustituyendo dichos puntos en ella los clasificamos como máximos, si el valor obtenido al sustituir es negativo, o mínimos, si el valor obtenido al sustituir es positivo.

Con este procedimiento podemos calcular los máximos y los mínimos de una función dada siguiendo estos pasos. Ahora, ¿y si nos piden lo contrario? Es decir, ¿y si nos piden crear una función que, por ejemplo, tenga un máximo en x=1 y un mínimo en x=3? Esto es mucho más complicado que lo anterior, pero por contra nos permite aprender mucho más sobre matemáticas.

Por tanto, dado un método para resolver un cierto tipo de ejercicios es interesante revertir el proceso y crear nuevos problemas yendo del final al principio.

Consejo 7: ¿Dónde se usan las hipótesis?

A menudo comprender la demostración de un resultado es muy complicado. Esto es algo esperado, ya que en muchas ocasiones en las demostraciones no se entra en dar una idea sobre el enunciado del teorema en cuestión o en cómo se descubrió dicha demostración. En definitiva, comprender las demostraciones es una de las cosas más difíciles a las que puede enfrentarse alguien en matemáticas.

Por ello es importante tener alguna idea sobre cómo comenzar a entender una demostración. Y analizar las hipótesis del teorema es un buen comienzo. Investigar dónde se utilizan las hipótesis de nuestro teorema puede ser de gran ayuda a la hora de comprender la demostración. Y encontrar «hipótesis ocultas» (por ejemplo, viendo si dentro de la demostración se usa algún otro resultado que tenga sus propias hipótesis) también puede ser interesante. Además, si encontramos algún resultado que se utilice varias veces a la hora de demostrar teoremas quizás eso indique que el resultado es muy importante o muy útil, por lo que posiblemente nos convenga aprenderlo bien.

Consejo 8: Comienza por el lado complicado

Éste es un consejo interesante a la hora de probar que una igualdad es cierta. Para ello, generalmente es mejor comenzar por el «lado difícil» de la misma y realizar operaciones en él para simplificarlo y así intentar llegar a la expresión que tenemos al otro lado.

Por ejemplo, para demostrar que tg(x)+cotg(x)=2 \; cosec(2x), \; \forall x \in \mathbb{R} tales que x \ne {{n \pi} \over 2}, \; \forall n \in \mathbb{Z}, es mucho mejor comenzar por la parte «más complicada», la que tiene «más cosas», la de la izquierda, y realizar operaciones en ella hasta obtener la de la derecha (os lo dejo como ejercicio; si queréis intentarlo no miréis el documento original de Kevin Houston, ya que allí está la solución)

Partir de la igualdad completa y realizar operaciones o reordenaciones en ella puede no ser lo más adecuado, ya que corremos el riesgo de caer en razonamiento circulares o incluso de suponer como cierto lo que queremos demostrar sin darnos cuenta de que lo estamos haciendo.

Consejo 9: Pregúntate qué ocurriría si…

A los buenos matemáticos les gusta preguntarse «¿qué pasaría si…?». Por ejemplo, «¿qué ocurriría si elimino cierta hipótesis?». Pensar en esto quizás nos ayude a ver mejor por qué cierto resultado es cierto o por qué una definición es como es. Y hasta podríamos encontrar un nuevo teorema debilitando las hipótesis si encontramos alguna que no sea necesaria.

Otro ejemplo. con frecuencia los objetos matemáticos son conjuntos de elementos que cumplen ciertas condiciones. Y a partir de ciertos conjuntos podemos construir otros conjuntos nuevos. Pues es interesante preguntarse si estos conjuntos nuevos «heredan» las propiedades de los antiguos. Por ejemplo, «si A y B son conjuntos finitos, ¿también lo es su producto cartesiano A \times B?». «si A y B son conjuntos compactos, ¿también lo es su unión?».

Consejo 10: ¡Habla!

Cuando Sir Christopher Zeeman fundó el Instituto de Matemáticas de la Universidad de Warwick, una de sus ideas clave para fomentar una atmósfera matemática fue que hubiera pizarras en los pasillos (además de en las clases), para facilitar que la gente pudiera hablar con los demás y explicar su trabajo en cualquier momento (el instituto Isaac Newton de Cambridge tiene pizarras en los baños y hasta en el ascensor…que sólo recorre dos plantas).

Son muchas las ventajas de comunicar tu trabajo a otros. Por un lado, al explicarlo te fuerzas a pensar con claridad. Y por otro lado, puedes aprender de los demás, ya que ellos pueden sugerirte ideas para resolver un problema o avanzar en él o, por otra parte, pueden encontrar errores en tus razonamientos.

Como decía al principio, interesante lista de consejos para pensar «como un matemático». Creo que todos son muy acertados y muy necesarios para que nuestra mente se acostumbre a pensar de forma matemática. De todas formas, seguro que hay más ideas interesantes que no aparecen en esta lista. Los comentarios son vuestros para plasmarlas.

Aquí tenéis el enlace al manual de Kevin Houston: 10 Ways to Think Line a Mathematician.

Por cierto, la portada del manual incluye varias demostraciones visuales interesantes. Echad un ojo:

Las entendéis todas, ¿verdad?

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