Vamos con el problema de esta semana. El enunciado es el siguiente:
Sea
un número complejo. Discutir la convergencia de la sucesión
en función de
, e indicar el valor del límite en caso de convergencia.
Que se os dé bien.
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no se si me equivoco pero .. ¿no es dicha sucesion una aplicacio del metodo de Newton par caluclar raices cuadradas con
Para números reales sí, Jose. Para complejos… no sé si sirve. Una cosa es clara, la sucesión solo puede converger a -1 ó a 1.
Desde luego nos podemos limitar a trabajar en el disco complejo (cerrado) de radio 1 y centro (0,0), puesto que converge para 1/x0 si y solo si lo hace para x0. Y como cualquier complejo o está en el disco antes indicado o su inverso está en el disco podemos limitarnos a dicho estudio.
Creo que tengo una idea más o menos de como ir simplificando el problema (corregidme si me equivoco). La idea tiene dos pilares básicos: La sucesión compleja convergerá si y solo si convergen en módulo y argumento y además lo hará hacia lo que podemos llamar (1,0º), (1,180º). Esto último sale de hacer xn+1=xn Se puede acotar la convergencia de la sucesión compleja por una real. …………….. Observación: Es obvio que el módulo de cualquier iterante distinto de x0 es mayor que uno. También si denotamos por yn la sucesión de módulos es fácil ver que para un término genérico… Lee más »
Estoy viendo que en los imaginarios puros habría un problemilla. Y en particular si el primer iterante es i o -i no está definido como seguir. (dado que el segundo iterante es el 0)
Después de todas estas vueltas, tiene pinta de que converge salvo para imaginarios puros. Resaltar el caso de +i y -i. También añadir que antes hice una observación con el módulo que es falsa y solo válida para reales. Aunque no lo he comentado hasta ahora, muy bonito el problema.
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: Vamos con el problema de esta semana. El enunciado es el siguiente: Sea un número complejo. Discutir la convergencia de la sucesión en función de , e indicar el valor del límite en caso de convergencia. Que se os dé bien……
Esta claro que si
, cuando 
, entonces 
. Es decir, si la sucesion converge lo hara a 
o a 
.
Ahora, sabemos que no converge para cualquier
. Como dice Daniel, 
no converge y sabemos que si 
, 
.
Si perturbamos un poco el punto inicial,
, en que condiciones convergera?
Parece claro que si Re(x0) > 0, converge a 1, y si re(x0)<0 converge a -1. A lo largo del eje imaginario, la cosa es algo más complicado. Si x0 = 0, la sucesión termina ahi (o en el punto del infinito …). Pero si arranca en +/-1, solo dura un paso, dos si lo hace en fi*i ó (-1/fi)*i, donde fi es el número de oro, fi = (1 + rq(5))/2. Hay que estudiarlo más despacio, pero el comportamiento parece períodico o fractal en el valor inicial del que se parta en el eje imaginario… Pero ahora mismo, tengo… Lee más »
¡Guarda con pasarse la luz roja compañeros!
Sea el complejo a+bi. se presentan varios casos: Si a es 0 la sucesión diverge, es decir, para 0 y para para imaginarios puros. Si a es significativo y b es 0 converge a +1 o -1 según sea el signo de a, esto es, para números reales no nulos. Si a y b son significativos se dan 3 casos: Si a y b tienen igual valor absoluto la sucesión tiene como límite +1 0 -1 (según sea el signo de a) como parte real e infinito como parte imaginaria. Si el valor absoluto de a es mayor que el… Lee más »
Por si alguien quiere jugar un poco:
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Iteraciones_Complejas.html
Para la circunferencia unidad x0 = e^(i * theta) x1 = 1/2 * [e^(i * theta) + e^(- i * theta)] x1 = cos(theta) y desde este momento ha perdido su parte imaginaria y puede estudiarse como sucesión de números reales. En el caso especial x0 = 1 (theta = 0) converge a 1 ya que la sucesión es constante xn = 1 para todo n : (1+1/1)/2 = 1 Y, del mismo modo, en el caso x0 = -1 (theta = PI) converge a -1 : (-1 + 1/-1)/2 = -1 En el caso theta = PI/2 : cos(theta)… Lee más »
Está fantásticamente explicado, pero en el caso de que el iterante inicial sea complejo pongamos por ejemplo se puede ver que el hecho de que un iterante sea mayor en módulo que 1 no te garantiza que el siguiente lo sea. Quiero decir que el módulo puede oscilar con respecto a 1 (tomando valores mayores y menores en función de la iteración) y no ser monótono decreciente (como se puede ver en este código R que te adjunto abajo), igualmente el argumento puede oscilar respecto a 0º o 180º en vez de ser monótono decreciente xo=0.5*cos(pi/6)+0.5*(0+1i)*sin(pi/6) print(xo);print(abs(xo)) for (i in… Lee más »
Resumiendo un poco lo ya dicho, de la definición sigue que y de aquí . Luego: 1) ; 2) . He usado el símbolo para denotar menor estricto. Lo anterior vale siempre que y , para todo . Por un lado, si para algún , entonces se tiene y la sucesión es constante. Por otro, si para algún , entonces es que . Finalmente, en el caso de que , entonces está en la circunferencia unidad: , y la única posibilidad de que converja es que , . En este caso, la sucesión se estabiliza en , y por tanto… Lee más »
El primer paso que deduces de la definición, M, es magistral y brillantísimo (e intrigante porque… ¿cómo se te ocurrió?). Desmorona y simplifica el problema de una tacada.
Maelstrom, la sucesión está definida como
, con lo cual 
, y de ahí sale la relación eliminando 
.
No, no, si ya. Lo intrigante era que te diera ese chispazo. Pensamiento de ese que dicen lateral.
Tanto que se ha usado en otros problemas el método de simular con el ordenador y después demostrar, que raro que nadie haya lanzado unos cientos de puntos a ver donde acaban.
Yo hubiera pensado que podría haber salido una superficie solida simplemente conexa, múltiple mente conexa o hasta un fractal. Seguro que aquí una imagen vale más que mil palabras. Alguien se anima?
Como me acuerdo de la identidad:
veo que ese fue el criterio para elegir la sucesión 🙂
Así que resulta:
con 
Donde se ve lo mismo que antes en cuanto a la convergencia cuando la parte real de zo es mayor o menor que 0.
es imaginario puro: 
resulta oscilante no acotada.
Cuando