Un juego sencillito para comenzar la semana de Gaussianos:
Dados
números enteros demostrar que la diferencia de las expresiones
y
es un múltiplo de 6
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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
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$latex código-latex-que-quieras-insertar$.
Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.
Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
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¡Qué divertido! Por un lado, podemos expresar la resta como . Tenemos la resta de dos términos. El primer término es una resta de dos números congruentes módulo 2: o ambos son pares o ambos son impares. Por tanto, su resta es par. Lo mismo le ocurre al segundo término: si es (im)par, también lo será , y su resta será par. Así pues, una resta de dos pares es par. Ya hemos demostrado que la diferencia de ambas mitades es par, y por tanto la expresión del enunciado es múltiplo de 2. Para demostrar que la expresión es múltiplo… Lee más »
Y como en cada sumando tenemos el producto de 3 números consecutivos, evidentemente el resultado de cada producto es múltiplo de 2 y de 3 a la vez, es decir, múltiplo de 6. Como esto ocurre para ambos números, la diferencia también es múltiplo de 6.
Es posible demostrar que x³-x es múltiplo de 3 de manera análoga a como se hizo para demostrar que es múltiplo de 2.
Tenemos que:
x³-x=x*(x²-1)=x*(x+1)*(x-1).
Si x es múltiplo de 3 el problema es trivial. No menos trivial resulta en otro caso, puesto que x no es multiplo de 3 necesariamente han de serlo ó x-1 ó x+1, con lo que queda demostrado que x³-x es múltiplo de 3 además de de 2
Una duda:
¿Y si x=y?
Si x=y la diferencia es 0. Y como al 0 lo dividen todos menos él, pues entonces el 6 es divisor de 0 igualmente.
Hay que reconocer que la demostracion de Asier es preciosa 🙂
edmond:
Existe cierto vapuleado diagrama que sirve como modelo de los divisores del número cero.
Se puede demostrar que:
Con h=n-2
y
son los números triangulares.
No sé si saldrá bien, es la primera vez que uso Látex, pero sabiendo eso, ya sabemos que:
Si hay algún error comunicádmelo, espero no haberme equivocado en nada.
Gracias Oleg.
Cierto, Señor J, solamente que para ello hay que saber que la suma de los primeros k números triangulares es
, la cual ya nos indica que el producto de 3 números consecutivos es múltiplo de 6. Haciendo k=n-1 obtenemos que efectivamente, 
es divisible por 6.
Buena observación el relacionarlo de alguna manera con los números triangulares!
Yo también lo reconozco Asier, tu demostración es genial, pero lo verdaderamente interesante de esto es ver que cada uno sigue un camino completamente distinto a los demás, aunque todos queramos llegar a lo mismo :D, un saludo.
Me gustaría retomar este post para proponer un problema relacionado:
EDITADO POR ^DiAmOnD^
El problema propuesto aquí junto con otro aparecerán el próximo martes en el blog. Aunque en el comentario siguiente a éste ya tenéis una pequeña pista.
entre congruencias (por ejemplo) anda el juego…