…existen ciertas variantes del factorial que aparecen en situaciones prácticas?

Recordemos antes de nada qué es el factorial de un número natural:

Dado n \in \mathbb{N}, se define el factorial de n así:

n!=n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1

Es decir, el factorial de un número natural es el producto de ese número natural por todos los naturales que le preceden hasta llegar a 1. Aunque en principio sólo está definido para números naturales, esta definición puede generalizarse, por ejemplo, mediante la función Gamma. Recordemos también que, como ya comentamos aquí, se tiene que 0!=1.

En esta entrada os voy a hablar de dos variaciones del factorial: el doble factorial y el subfactorial.

Doble factorial

El doble factorial de un número natural n, que se denota como n!!, se define como el producto de n por todos los naturales que le preceden que tienen la misma paridad que el propio n, esto es:

n!! = \left \{ \begin{array}{ccl} n \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 4 \cdot 2 & si & n \mbox{ es par} \\ n \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 1 & si & n \mbox{ es impar} \end{array} \right .

Por definición también se tiene que 0!!=1.

El doble factorial aparece, por ejemplo, en el resultado de la siguiente integral:

\displaystyle{\int_0^{\pi /2} (\sin{x})^{2n+1} \; dx}=\cfrac{(2n)!!}{(2n+1)!!}

Entre las muchas propiedades que cumple este doble factorial voy a destacar un par que me han llamado la atención especialmente. La primera es la siguiente relación entre el doble factorial y la función Gamma:

\Gamma \left ( n+\cfrac{1}{2} \right )=\sqrt{\pi} \cfrac{(2n-1)!!}{2^n}

La segunda es la aparición del doble factorial en esta serie infinita:

\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \cfrac{x^{2n}}{(2n)!!}}=e^{x^2/2}

En los enlaces al final de este artículo se pueden ver muchas más propiedades de esta operación.

Subfactorial

Además de relacionado con la función Gamma, el factorial también había aparecido por Gaussianos en este artículo sobre combinatoria. En él se dice que el número de permutaciones de n elementos es exactamente n!. Esto es, el número de formas en las que pueden ordenarse n elementos es n!.

Entre todas estas formas de ordenar los n están, evidentemente, todas las posibilidades en las que alguno de los mismos ocupa la misma posición. Esto es, hay varias formas entre ellas en las que un elemento ocupa la misma posición en todas. ¿Qué ocurre si pedimos que ningún elemento quede fijo en la misma posición? Pues que aparece el subfactorial de n, que cuenta todas las ordenaciones de n elementos con la condición de que ninguno de ellos ocupe su posición inicial y que se denota por !n o n \mbox {!`}. Esta última es mejor ya que evita que el símbolo ! se confunda y se piense que representa el factorial del término que aparece justo antes.

Una de las formas de calcularlo es la siguiente:

n \mbox {!`}=n! \displaystyle{\sum_{k=0}^n \cfrac{(-1)^k}{k!}}

y otra es:

n \mbox{!`}=\left \lfloor \cfrac{n!}{e}+\cfrac{1}{2} \right \rfloor

donde \lfloor x \rfloor denota la función parte entera, es decir, el mayor entero que es menor que x.

También hay que destacar que, como en los casos anteriores, 0 \mbox{!`}=1.

En principio podría parecer que este subfactorial no tiene mucho que ver con la práctica, que su definición no tiene pinta de ser nada cercano a la realidad. Pero lo cierto es que existen situaciones en las que esta definición cuadra a la perfección.

Hemos dicho que el subfactorial cuenta las ordenaciones de elementos en las que ninguno de ellos ocupa la posición inicial. ¿En qué situaciones reales puede aparecer esto? Pues, por ejemplo, en el conocido amigo invisible. En él, todo el mundo ofrece un regalo a alguien con la condición de que nadie puede recibir su propio regalo. Por ello, el subfactorial cuenta el número de formas en las que pueden repartirse esos regalos.

Igual que en el caso anterior, podéis encontrar más propiedades sobre esta operación en los enlaces del final.

Fuentes:

Segunda aportación de Gaussianos a la VI Edición del Carnaval de Matemáticas que organiza el blog de Sangakoo.

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