…existen ciertas variantes del factorial que aparecen en situaciones prácticas?
Recordemos antes de nada qué es el factorial de un número natural:
Dado
, se define el factorial de
así:
Es decir, el factorial de un número natural es el producto de ese número natural por todos los naturales que le preceden hasta llegar a 1. Aunque en principio sólo está definido para números naturales, esta definición puede generalizarse, por ejemplo, mediante la función Gamma. Recordemos también que, como ya comentamos aquí, se tiene que .
En esta entrada os voy a hablar de dos variaciones del factorial: el doble factorial y el subfactorial.
Doble factorial
El doble factorial de un número natural , que se denota como
, se define como el producto de
por todos los naturales que le preceden que tienen la misma paridad que el propio
, esto es:
Por definición también se tiene que .
El doble factorial aparece, por ejemplo, en el resultado de la siguiente integral:
Entre las muchas propiedades que cumple este doble factorial voy a destacar un par que me han llamado la atención especialmente. La primera es la siguiente relación entre el doble factorial y la función Gamma:
La segunda es la aparición del doble factorial en esta serie infinita:
En los enlaces al final de este artículo se pueden ver muchas más propiedades de esta operación.
Subfactorial
Además de relacionado con la función Gamma, el factorial también había aparecido por Gaussianos en este artículo sobre combinatoria. En él se dice que el número de permutaciones de elementos es exactamente
. Esto es, el número de formas en las que pueden ordenarse
elementos es
.
Entre todas estas formas de ordenar los están, evidentemente, todas las posibilidades en las que alguno de los mismos ocupa la misma posición. Esto es, hay varias formas entre ellas en las que un elemento ocupa la misma posición en todas. ¿Qué ocurre si pedimos que ningún elemento quede fijo en la misma posición? Pues que aparece el subfactorial de
, que cuenta todas las ordenaciones de
elementos con la condición de que ninguno de ellos ocupe su posición inicial y que se denota por
o
. Esta última es mejor ya que evita que el símbolo
se confunda y se piense que representa el factorial del término que aparece justo antes.
Una de las formas de calcularlo es la siguiente:
y otra es:
donde denota la función parte entera, es decir, el mayor entero que es menor que
.
También hay que destacar que, como en los casos anteriores, .
En principio podría parecer que este subfactorial no tiene mucho que ver con la práctica, que su definición no tiene pinta de ser nada cercano a la realidad. Pero lo cierto es que existen situaciones en las que esta definición cuadra a la perfección.
Hemos dicho que el subfactorial cuenta las ordenaciones de elementos en las que ninguno de ellos ocupa la posición inicial. ¿En qué situaciones reales puede aparecer esto? Pues, por ejemplo, en el conocido amigo invisible. En él, todo el mundo ofrece un regalo a alguien con la condición de que nadie puede recibir su propio regalo. Por ello, el subfactorial cuenta el número de formas en las que pueden repartirse esos regalos.
Igual que en el caso anterior, podéis encontrar más propiedades sobre esta operación en los enlaces del final.
Fuentes:
- Variations on factorial! en The Endeavour.
- Double factorial en MathWorld.
- Subfactorial en MathWorld.
Segunda aportación de Gaussianos a la VI Edición del Carnaval de Matemáticas que organiza el blog de Sangakoo.
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No conocía el subfactorial, gracias. Me parece precioso el desarrollo en fracción continua que indican en MathWorld.
Me has leído el pensamiento con el subfactorial, aunque no sabía que se llamaba así. Hace unos meses estuve calculando las combinaciones «válidas» para que un conjunto de personas se hicieran un regalo como «amigos invisibles». Uno puede aleatorizar la lista de personas y compararla con otra de orden prefijado, emparejando personas de ambas listas en la misma fila. Pero no todas las posibilidades resultantes son válidas, puesto que uno no debería ser su propio amigo invisible. Justamente llegué al resultado que las combinaciones posibles eran aprox. . Y ahora veo que esa forma de contar combinaciones recibe el nombre… Lee más »
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Valora en Bitacoras.com: …existen ciertas variantes del factorial que aparecen en situaciones prácticas? Recordemos antes de nada qué es el factorial de un número natural: Dado , se define el factorial de así: Es decir, el factorial de un núme……
Pregunta: Como lee 4! uno de letras?
Respuesta: CUAAAATROOOOOOOOHHHHHH!!!!!!!!!!
Gran aporte. En ningún texto me había topado con estos conceptos. Gracias.
[…] This post was mentioned on Twitter by gaussianos, Tito Eliatron. Tito Eliatron said: ¿Sabía que… http://ff.im/-qZHDc […]
[…] ¿Sabía que,…?. Gaussianos nos provocan, preguntando si conocemos las aplicaciones del factorial en situaciones […]
El doble factorial aparece en las series de potencias del seno y del coseno inversos.