…podemos encontrar series de números compuestos consecutivos tan largas como queramos?

Me explico: dado un número natural n cualquiera (sí, sí, cualquiera) podemos encontrar un conjunto de n números naturales consecutivos tal que todos ellos son compuestos. ¿Cómo? Muy sencillo:

Sabemos que n!=n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 es divisible por 2, 3, \ldots, (n-1), n. Entonces n!+2 es divisible por 2, n!+3 es divisible por 3, … , n!+n es divisible por n. Tenemos aquí un conjunto de n-1 números naturales consecutivos que son compuestos.

Tomando (n+1)! en vez de n! obtenemos que (n+1)!+2 es divisible por 2, (n+1)!+3 es divisible por 3, … , (n+1)!+n es divisible por n y (n+1)!+(n+1) es divisible por n+1. Dado un n número natural cualquiera obtenemos así una serie de n números naturales consecutivos tal que todos ellos son compuestos.

Comentario: Con este procedimiento encontramos una serie de n números naturales consecutivos tal que todos son compuestos, pero no tiene que ser la menor posible. Por ejemplo, para n=3 la serie que encontramos es 26, 27 y 28, pero la más pequeña posible 8, 9 y 10. Aunque eso no es problema ya que lo que nos interesaba es la existencia de esa serie.

Y, como he dicho antes, n puede ser cualquier número natural, da igual lo grande que sea. Es decir, hay series de números naturales consecutivos enormemente grandes entre los cuales no hay ningún número primo. Cosas como esta pueden hacer más difícil creerse que el conjunto de números primos es infinito, pero en realidad es así. En este blog ya hemos visto dos demostraciones de este hecho: la demostración de Euclides y la demostración utilizando números de Fermat.

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