¿Sabía que…

…podemos encontrar series de números compuestos consecutivos tan largas como queramos?

Me explico: dado un número natural n cualquiera (sí, sí, cualquiera) podemos encontrar un conjunto de n números naturales consecutivos tal que todos ellos son compuestos. ¿Cómo? Muy sencillo:

Sabemos que n!=n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 es divisible por 2, 3, \ldots, (n-1), n. Entonces n!+2 es divisible por 2, n!+3 es divisible por 3, … , n!+n es divisible por n. Tenemos aquí un conjunto de n-1 números naturales consecutivos que son compuestos.

Tomando (n+1)! en vez de n! obtenemos que (n+1)!+2 es divisible por 2, (n+1)!+3 es divisible por 3, … , (n+1)!+n es divisible por n y (n+1)!+(n+1) es divisible por n+1. Dado un n número natural cualquiera obtenemos así una serie de n números naturales consecutivos tal que todos ellos son compuestos.

Comentario: Con este procedimiento encontramos una serie de n números naturales consecutivos tal que todos son compuestos, pero no tiene que ser la menor posible. Por ejemplo, para n=3 la serie que encontramos es 26, 27 y 28, pero la más pequeña posible 8, 9 y 10. Aunque eso no es problema ya que lo que nos interesaba es la existencia de esa serie.

Y, como he dicho antes, n puede ser cualquier número natural, da igual lo grande que sea. Es decir, hay series de números naturales consecutivos enormemente grandes entre los cuales no hay ningún número primo. Cosas como esta pueden hacer más difícil creerse que el conjunto de números primos es infinito, pero en realidad es así. En este blog ya hemos visto dos demostraciones de este hecho: la demostración de Euclides y la demostración utilizando números de Fermat.

Author: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

15 Comments

  1. Muy interesante, no se me habia ocurrido, en fin esto probablemente puede usarse para descartar rangos, aun que aun no me familiarizo bien con el problema, en una primera mirada puede ser posible.

    Saludos desde Viña del Mar

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  2. ¿Cómo se llaman éstas series?
    Las series de números compuestos consecutivos que se encuentran entre dos números primos forman lo que se denomina «laguna», «desierto», «hueco», o «gaps between primes». Y así como existe el primo(n) o p(n) también existe la laguna(n) o g(n). El tamaño de la laguna es igual a diferencia entre los dos números primos, menos 1.

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  3. Desde luego, es un resultado sorprendente y, a primera vista, chocante. Sin embargo, teniendo en cuenta que la densidad de números primos en los naturales disminuye a medida que «avanzamos», intuitivamente se puede ver que es cierto.

    Me ha gustado mucho esta demostración, tanto como el resultado, pues es constructiva y se puede visualizar fácilmente con números pequeños.

    Un saludo,

    Solaufein

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  4. Es interesante que se puedan encontrar secuencias de números compuestos consecutivos arbitrariamente largas en los naturales, pero más impactante es el reciente teorema de Green-Tao (al primero le ha valido recientemente el premio SASTRA Ramanujan 2007, mientras que al segundo le valió en parte una medalla Fields). Es fascinante que en los primos existan progresiones aritméticas tan largas como se desee.

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  5. Cierto Domingo, eso es aún más impactante.

    A ver si me acuerdo y escribo algo sobre eso.

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  6. Yo me pregunto hace tiempo si este resultado tiene alguna consecuencia sobre la conjetura de Golbach: se me hace difícil aceptar que frente a estas ‘lagunas’ sea siempre posible encontrar dos números primos para representar cualquier par del ‘hueco’.

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  7. No es tan elegante, pero hay otro conjunto de n números naturales consecutivos entre mcm(2, 3, 4, …, n) + 2 y mcm(2, 3, 4, …, n) + n, que son a lo sumo iguales y generalmente menores que n! + 2 … n! + n.

    Y si n > 3, también sirve (creo, de esto no estoy tan seguro) mcm(2, 3, 4, …, n) – n … mcm(2, 3, 4, …, n) – 2.

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  8. En relación a lo escrito por «otro», se me ocurre proponer las dos siguientes cuestiones:

    1) Probar que existe una constante positiva C, C\leq 1.2, tal que mcm(1,2,\ldots,n)\leq e^{C\cdot n}, si n\succ\succ 1 (n suficientemente grande).

    Esta propiedad es muy interesante. La función mcm crece acotada por una exponencial, mientras que la función factorial no.

    2) Como curiosidad, demostrar que \displaystyle{\lim_{n\to \infty}} \cfrac{mcm(1,2,\ldots,n)}{\Phi^{\frac{5}{2}\cdot n}}=0, siendo \Phi el número áureo.

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  9. También se puede probar con el primorial de n, o sea, n#. n#~es divisible entre cualquier número primo menor o igual que n, así que n#+p (y n#-p, salvo en el caso que indiqué antes cuando mencioné lo de mcm(1, 2, …, n) de p=n=3) es divisible por p si p es un número primo menor o igual que n. Si p no es primo pero es menor o igual que n, es producto de primos que sí entran en el caso anterior, y n#+p y n#-p siguen siendo divisibles entre alguno de los factores de p y por tanto son compuestos.

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  10. Aunque el tema está bastante muerto, me parece de interés que figure aquí una demostración de las dos propiedades que puse en un comentario anterior (en especial de la primera):

    1) «existe una constante positiva C\leq 1.2, tal que m.c.m.(1,2,\ldots,n)\leq e^{C\cdot n}, si n\succ\succ 1»

    Veámoslo. Dado n\in \mathbb{N}, hay \pi(n) primos menores o iguales que n. Además, si p es primo, entonces la mayor potencia de p menor o igual a n es p^k, con k=\left\lfloor \cfrac{log\;n}{log\;p}\right\rfloor.

    Así pues, m.c.m.(1,2,\ldots,n)=\displaystyle{\prod_{i=1}^{\pi(n)}} p_i^{\frac{log\;n}{log\;p_i}}.

    Tomando logaritmos llegamos facilmente a que log\;m.c.m.(1,2,\ldots,n)\leq log\; n\;\cdot \pi(n).

    Finalmente, el teorema de Chebychev sobre primos nos dice que existe una constante C\leq 1.2 tal que \pi(n)\leq C\cdot\cfrac{n}{log\;n}, para n suficientemente grande. Esto demuestra (1).

    (2) es elemental a partir de (1).

    Lo interesante aquí es que podemos acotar el mcm en términos exponenciales, lo cual es útil a la hora de hacer acotaciones, ya que que ésto no ocurre con la función factorial.

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  11. en mi comentario previoo hay una pequeña errata. En la expresión del mcm como producto de primos, los exponentes deben aparecer en términos de partes enteras de lo que aparece escrito.

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  12. ¿Sabía que…
    El apellido de Pafnuty Lvóvich se translitera de varias maneras: Cebisev, Chebychev, Tchebychev, Tchebycheff, Tschebyscheff, etc. Sin embargo la forma más aceptada y utilizada es:
    Chebyshev.

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  13. solo por divertirme:
    ____________
    «…podemos encontrar series de números compuestos consecutivos tan largas como queramos …»

    será más bien:
    EXISTEN series de números compuestos consecutivos tan largas como queramos.

    pero que las podamos encontrar ..hummm
    … o encuentra tu, por decir algo, una serie de G números compuestos, (donde G es el número de graham)
    TOMA!
    _________
    y solo para seguir divirtiéndome, me devuelvo yo mismo el golpe:
    { (G+1)!+2, (G+1)!+3, (G+1)!+2, (G+1)!+4, … , (G+1)!+G, (G+1)!+G+1}
    TOMA tu serie ferchosan6 y SOBATE!

    jajaja
    Ahora si en serio
    …»
    Comentario: Con este procedimiento encontramos una serie de n números naturales consecutivos tal que todos son compuestos, pero no tiene que ser la menor posible. Por ejemplo, para n=3 la serie que encontramos es 26, 27 y 28, pero la más pequeña posible 8, 9 y 10. Aunque eso no es problema ya que lo que nos interesaba es la existencia de esa serie.
    «…
    -para n = 4, 5!+2= 122 [serie 122, 123, 124, 125]
    pero hay una menor: 25, 26, 27, 28
    (relacionada con la anterior, la de n=3)

    -para n = 5, 6!+2= 722 [serie 722, 723, 724, 725, 726]
    pero hay una menor: 121, 122, 123, 124, 125
    (relacionada con la anterior, la de n=4)

    -para n = 6, 7!+2= 5042 [serie 5042, 5043, 5044, 5045, 5046, 5047]
    pero hay una menor: 721, 722, 723, 724, 725, 726
    (relacionada con la anterior, la de n=5)

    …bueno, y ya que 5041 tampoco es primo …
    (captáis? hombres de Dios)
    (no digo ..y mujeres de Dios, porque, segurito segurito, ellas si captaron!)

    preguntas conjeturables:

    se sigue repitiendo para cualquier n eso de que «pero hay una menor..»

    más específicamente
    se sigue repitiendo lo de «relacionada con la anterior»

    y aún más específicamente
    se sigue dando lo de que (n+1)! + 1
    [que hasta ahora nos ha servido para completar, «por abajo», la serie «anterior»] siga siendo compuesto

    ..?? humm ..???

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    • veamos [vía numberempire], por el lado de la conjetura más específica, algunos ejemplos más:

      Número 40321 (8!+1)
      Factorización: 61*661

      Número 362881 (9!+1)
      Factorización: 19*71*269

      Número 3628801 (10!+1)
      Factorización: 11*329891

      Número 39916801 (11!+1)
      Factorización: (es primo)

      se nos acabó la dicha para
      n = 11, cuya serie comienza con 12!+2 [hasta 12!+12]
      y podría tener una menor, completando la anterior,
      la de n=10 (que va desde 11!+2 hasta 11!+11)
      desde abajo, agregandole el miembro 11!+1
      para que así completara 11 miembros
      (..pero no se «puo compita»)

      y por arriba 11!+12 ?

      Número 39916812 (11!+12)
      Factorización: 2^2*3*13*255877

      valla, se salvó la patria, (por ahora), para la conjetura media,
      pero hasta cuando
      ??

      ahora para n, si falla n! + 1 [por abajo]
      habrá que probar n! + (n+1) [por encima]
      ___________________

      Número 479001601 (12!+1)
      Factorización: 13^2*2834329

      n= 12 tiene una serie «menor»

      Número 6227020801 (13!+1)
      Factorización: 83*75024347
      n=13, también!

      HASTA CUANDO?

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